測井數(shù)據(jù)的多重分形特征

測井數(shù)據(jù)的多重分形特征

0ctal的時間序列分析在應用差分分析技術時，對測量數(shù)據(jù)的應用取得了很大進展，主要體現(xiàn)在應用差分分析技術可以幫助開展測量數(shù)據(jù)重建。提高測量數(shù)據(jù)的分辨率。對測量數(shù)據(jù)進行校正。沉積相分析、裂縫研究、儲層研究、巖石力學領域的井測量數(shù)據(jù)分析等。重標度極差分析(R/S分析)和功率譜分析是單一分形(monofractal)時間序列分析中最常用的2個方法。R/S分析的結果是Hurst指數(shù)(Hu),其數(shù)值范圍為0<Hu<1;功率譜分析求得全域標度指數(shù)(H),而H的數(shù)值范圍在理論上為-∞<H<+∞。筆者在實際應用中發(fā)現(xiàn),Hu和H往往被誤認為是可以互相替代或可對比的,這顯然是不恰當?shù)?不但給初學者帶來混淆,還為正確認識時間序列的復雜性帶來麻煩和困難,這是因為Hu和H是2個物理意義基本不同的參量,盡管在特定的情況下它們具有相似的功能,即代表了時間序列的復雜性和相關性。另外一個非常重要的問題是如何看待R/S分析方法的適用性以及如何在R/S分析中采取恰當?shù)臄?shù)據(jù)處理步驟。不恰當?shù)姆治鼋Y果常常會導致Hu趨近于1,而且似乎對幾乎所有的地球物理時間序列都是如此,這就使得R/S分析失去其應用意義。本文對R/S分析和功率譜分析方法進行了仔細的研究和對比,提出了工作中的問題及可能的合理解決方案,為進一步的工作提供依據(jù)。文章中還將簡單討論具1/fβ現(xiàn)象的分形特征在測井數(shù)據(jù)中普遍存在的成因問題。1時間序列預處理功率譜分析方法幾乎對所有復雜的時間序列都是適用的,因為對任何時間序列人們都可以通過傅立葉變換來獲得其功率譜,然后分析其全域標度指數(shù)的大小,進而可以估計時間序列的分數(shù)維。然而R/S分析方法的直接應用只對靜態(tài)(stationary)數(shù)據(jù)(比如以分形高斯噪聲fGn為模型的時間序列)適用。R/S分析的數(shù)學公式為R(τ)S(τ)=max[1≤t≤τ∑i=1S(ξi-?ξ?τ)]-min[1≤t≤τ∑i=1S(ξi-?ξ?τ)][1ττ∑i=1(ξi-?ξ?τ)2]1/2=(aτ)Ηu(1)R(τ)S(τ)=max[∑i=11≤t≤τS(ξi??ξ?τ)]?min[∑i=11≤t≤τS(ξi??ξ?τ)][1τ∑i=1τ(ξi??ξ?τ)2]1/2=(aτ)Hu(1)式中,1≤t≤τ∑i=1S∑i=11≤t≤τS表示從1到τ時間段內的逐項累積相加;?ξ?τ=1ττ∑i=1ξi?ξ?τ=1τ∑i=1τξi,代表了時間序列ξi在τ時間段內的平均值。依據(jù)式(1)列出R/S分析的6個主要步驟。①取初始τ值,求得時間序列ξi在τ時間段內的平均值〈ξ〉τ,然后觀測時間序列相對于平均值的擺動情況ξi-〈ξ〉τ;②ξi-〈ξ〉τ逐項相加累積,得到時間序列ξi相對于其平均值〈ξ〉τ的累積偏離(accumulateddeparture)程度1≤t≤τ∑i=1S(ξi-?ξ?τ)∑i=11≤t≤τS(ξi??ξ?τ)。顯然,如果ξi是一隨機時間序列(如高斯白噪隨機序列),其累積偏離中不可能會有明顯的趨向;相反,如果ξi是相關的分形高斯噪聲,且具有持續(xù)或反持續(xù)的空間分布,其累積偏離的程度就會隨著累積點數(shù)或區(qū)間τ的增加而益趨明顯,所以累積偏離是對時間序列的持續(xù)或反持續(xù)程度的一種度量;③在區(qū)間τ范圍內確定累積偏離的極大值與極小值之間的極差R;④為了對具不同幅度的時間序列分析結果作對比,應用區(qū)間τ范圍內的標準差S將極差R歸一化,得到比值R/S;⑤選取不同的τ值,重復步驟①到④;⑥最后在(R/S)-τ的雙對數(shù)坐標下做線性回歸分析來估計Hu。步驟①要求先去掉時間序列平均值,而對于非靜態(tài)(或被稱為偽平穩(wěn))時間序列(如分形布朗運動fBm,其點的數(shù)值代表某一時刻粒子運動所在的位置,其算術平均值沒有清楚的物理意義)用式(1)來求得的Hu很難代表任何物理意義。實際研究表明,如果不對非靜態(tài)時間序列做任何預處理,直接應用R/S方法最終算得的Hu數(shù)值常常偏大,并且非常接近甚至大于1,這就是為什么在文獻中會看到Hu大于1的情況。從許多學者的研究成果分析表明,在全域一階近似上,原始測井數(shù)據(jù)是類似于分形布朗運動的非靜態(tài)時間序列。這樣,應用R/S方法對原始測井數(shù)據(jù)直接進行分析往往會帶來很大誤差。許多學者在研究類似的時間序列中也注意到了這些問題并對R/S分析技術做了不同程度的改進[19,20,21,22,23,24]。為了消除這些問題,在R/S方法的實際操作中,人們嘗試將原始的測井數(shù)據(jù)進行一些預處理,主要目的是為了消除時間序列中的短周期(或波長)變化,使原始的非高斯分布、非靜態(tài)序列變?yōu)榻咏吒咚狗植嫉撵o態(tài)序列,以此來希望提高R/S分析的準確性。這些預處理手段包括趨向消除和歸一化。然而在這些方法的具體操作中,人為因素常常會由于參數(shù)選擇的不同而使最終分析結果差別較大。實際上,這些預處理手段所隱含的目的或最終結果是將非靜態(tài)的具fBm特征的時間序列轉化為相應靜態(tài)的具fGn特征的時間序列,然后在新的時間序列上采用R/S技術。那么,這些預處理手段與直接采用某一時間序列相對應的靜態(tài)的具fGn特征的時間序列所得的結果之間是否可類比?如果可以,哪種方法更準確可靠一些?分析結果表明,采用某一時間序列相對應的靜態(tài)的具fGn特征的時間序列(逐項增量序列successiveincrement)所得結果從(R/S)-τ的雙對數(shù)圖上看,具有更長的可用于回歸分析的τ值范圍和更高的回歸相關系數(shù)(見圖1),從而使得Hu的分析結果更準確。圖1中的垂直虛線表示了不同預處理方法過渡帶(Transientzone)的大小。另外,在數(shù)據(jù)處理上直接求得fBm序列中相鄰2點的差值(即逐項增量序列)也比趨向消除和歸一化等方法更客觀,沒有人為的受參數(shù)選擇的影響而影響分析結果。更重要的是,采用某一時間序列相對應的靜態(tài)的具fGn特征的逐項增量時間序列所求得的Hu值與應用功率譜分析對原始fBm時間序列的直接分析而得到的H結果具有較高的可類比性,從而使不同分析方法對同一數(shù)據(jù)分析所得到的結果可以互相對比并用以分析物理意義。在具體應用中,有些學者也是這樣處理的,但是由于事先并不知道所要分析的時間序列是否具fGn特征還是fBm特征,如此的分析往往具有一些盲目性,且沒有明確的標準來遵循。另外,這種R/S分析中的做法除了為了提高分析精度和可應用性外,有許多經驗性成份?？紤]到R/S分析中諸多誤差影響和缺乏明確的理論依據(jù),建議在實際應用中盡量避開R/S分析方法,而采取功率譜分析來估計全域標度指數(shù)H。2時間序列的物理含義在功率譜分析方法中,首先需要明確這種分析是對時間序列本身還是對時間序列的逐項累積(successiveaccumulation)而產生的序列。我們已經看到在R/S分析方法中,為了觀測靜態(tài)時間序列相對于其平均值的累積偏離,對時間序列逐項依次累積相加,得到與原來時間序列相同長度的新的時間序列。如果這種做法對于R/S分析方法還可以理解,若對功率譜分析則不應該采取同樣的處理,因為這樣的處理不但缺乏理論基礎,而且還會影響人們對時間序列本身物理含義的正確認識。對于任何時間序列F(t),若有F(σt)=σΗF(t)(2)那么F(t)的功率譜S(f)與其頻率f成冪指數(shù)關系S(f)∝f-β(3)可以證明β=2Η+1(4)需要注意的是式(4)對符合式(2)的時間序列本身,或是其逐項累積或逐項相減而產生的新的序列同樣是成立的。由于H是通過傅里葉變換后在頻率域中求得的,而功率譜反映的是時間序列的整體信息,H顯然是對時間序列整體特征復雜性的度量,所以筆者稱H為全域標度指數(shù)。與全域標度指數(shù)相對應用來描述信號局部標度(scaling)變化特征的量是H?lder指數(shù)α,又被稱為Lipschitz指數(shù)。因為α刻劃了某一點上或在某一點周圍很小區(qū)域內的奇異性,α又被稱為奇異指數(shù),其數(shù)值的估計一般是在小波域中實現(xiàn)的,因為與傅立葉變換相比,小波變換具有優(yōu)異的局部分析功能。對于單一分形時間序列,由于H?lder指數(shù)a在所有點上變化很小,可以認為全域標度指數(shù)H是所有點的H?lder指數(shù)的算術平均值Η≈1ΝΝ∑i=1(5)認識到H和α之間的密切聯(lián)系,不僅它們在定義上接近,在算法上相似,而且這種聯(lián)系揭示了H的物理意義,即H表征了時間序列整體上的復雜性。同時還說明H的估計應該是在原始時間序列上直接進行的,而不應該也沒有必要在時間序列逐項累積序列上進行。與Hu不同,H的范圍并不局限在,而主要是在[-3,3]的數(shù)值范圍內,這樣H比Hu更精確地反映了時間序列的復雜性。3靜態(tài)fag類型的時間序列如果對fBm時間序列直接應用R/S方法或者用時間序列的逐項累積序列做功率譜分析,所求得的Hu或H往往會接近于1,這會使人們錯誤地認為幾乎所有的地球物理數(shù)據(jù)都有Hu或H→1。那么對于任一地球物理測井數(shù)據(jù),正確地應用R/S方法分析它的分形特征,其合理的步驟如下。①首先確定待分析的時間序列是靜態(tài)fGn類型的時間序列,還是非靜態(tài)fBm類型的數(shù)據(jù)。②應用功率譜分析技術估計時間序列的全域標度指數(shù)H,若H>0則表明該時間序列為fBm類型的數(shù)據(jù);相反,若H<0則為fGn類型的時間序列(見圖2)。③如果待分析的時間序列是非靜態(tài)fBm類型的數(shù)據(jù),應該先通過逐項相減而獲得其相應的靜態(tài)fGn類型的時間序列,然后對新的時間序列作R/S分析。如果待分析的時間序列已經是靜態(tài)fGn類型的數(shù)據(jù),可以直接對其做R/S分析。④比較2種估計方法所得到的Hu和H的大小。注意只有當待分析的時間序列是非靜態(tài)fBm類型的數(shù)據(jù)時,按上述步驟所得到的Hu和H才具有可對比性。如果待分析的時間序列是靜態(tài)的fGn類型的數(shù)據(jù),則Hu>0,而H<0。由于所分析的測井數(shù)據(jù)幾乎都是非靜態(tài)fBm類型的數(shù)據(jù),按上述步驟所得到的Hu和H應該接近,具有可對比性。同時認識到,只用其中的一種方法做分形分析有很多潛在的誤差因素,所以應該采用至少2種不同的相對獨立的分析方法,通過互相驗證來確定所分析的結果。4多重分形譜的特征前面提到,原始測井資料在一階近似上是fBm類型的數(shù)據(jù),即通過傅里葉變換分析所得到的全域標度指數(shù)H>0。這樣在一階近似上從測井數(shù)據(jù)的整體上看,測井數(shù)據(jù)具有單一分形的特征。而在小波域中的分析結果表明,表征局部標度特征的H?lder指數(shù)在空間上變化很大。從圖3可以看出,H?lder指數(shù)在不同點上變化明顯。這說明測井數(shù)據(jù)并不只是簡單的單一分形,而且還具有多重分形(multifractal)的特征。對數(shù)據(jù)的多重分形分析主要是通過對其多重分形譜的數(shù)值和形狀的研究分析來實現(xiàn)。分析多重分形譜時需要注意分析的幾個量是,(1)αmax和αmin;(2)αmax-αmin;(3)α0,f(α),在α0點達到最大值;(4)多重分形譜在某一點的斜率。多重分形譜在平面圖上表現(xiàn)為向上突起的拱形,縱坐標f(α)代表了具不同奇異值數(shù)據(jù)點相對含量或分形維,其橫坐標的數(shù)值分布范圍或其寬度(αmax-αmin)則指示了數(shù)據(jù)中奇異值的分布范圍。寬度越大表明了測井數(shù)據(jù)中的奇異值大小差別較大,寬度小表明了測井數(shù)據(jù)中的奇異值分布比較窄。αmax和αmin是數(shù)據(jù)中奇異性最小和最大點的奇異值,而時間序列中似乎存在一條在每一點上奇異值都為α0的虛擬序列,所以f(α0)=1。多重分形譜在某一點切線的斜率反映了具不同奇異值點的相對含量是如何變化的,在某奇異值點上對應的斜率越大,表明具有此奇異值的點的相對含量向相鄰奇異值的點的相對含量有較快速的變化,反之則表明變化較慢。與具對稱多重分形譜的二項乘積過程不同,實測的測井數(shù)據(jù)多重分形譜很少是對稱的(見圖4)。一般是奇異值小于α0的分支比奇異值大于α0的分支斜率要大,顯示了較奇異的點的維數(shù)(或相對含量)隨著奇異值的變化而變化較快。51沉積過程對總體成分的影響許多人對不同的地球物理數(shù)據(jù)的觀測和分析結果表明,地球物理數(shù)據(jù)具有普遍的1/fβ現(xiàn)象,即在頻率域內功率譜與頻率的β次方成反比。這一現(xiàn)象表明不同尺度或量級的事件或物理參數(shù)(譬如波速度、密度、電導率,反射系數(shù)等)以不同的頻率重復出現(xiàn)或集中,而且不同尺度或量級的事件或物理參數(shù)在頻率-功率譜幅度的雙對數(shù)坐標下呈現(xiàn)線性改變關系。一般原始地球物理測井數(shù)據(jù)具有更多的低頻成份,與之相反,反射系數(shù)頻率分布則具有更多的高頻成份。這樣當?shù)卣鸩ㄔ诮橘|中傳播時,地震波的高頻成份與反射系數(shù)成更多更活躍的相互作用,這或許可以部分解釋高頻地震波衰減較快的原因。對于測井數(shù)據(jù)中普遍存在的1/fβ現(xiàn)象,不同學者對其成因有不同的觀點。主要有兩大派:地層成因和裂隙成因。筆者認為無論是地層成因,還是裂隙成因還是多因素的復合,都可能會導致1/fβ現(xiàn)象,只傾向于某一成因而擯棄其他成因的態(tài)度是不科學的。當然對于某一特定的研究目標,某些因素可能較其他因素占有更重要的地位。筆者在研究江西北部上寒武統(tǒng)西陽山組碳酸鹽巖巖石學與地層分布的特征中發(fā)現(xiàn),整套地層由一系列不同級別的旋回層組成。小尺度的旋回層鑲嵌于大尺度的旋回層內,而大尺度的旋回層又鑲嵌于更大尺度的旋回層內。剖面中泥、炭質含量的變化有其獨特的規(guī)律性,無論是整個剖面,還是大旋回層或小旋回層,泥、巖質含量自底到頂都呈增加趨向,直到最后碳酸鹽巖消失而被頁巖所代替。另外,就整個剖面而言,自底至頂,每個大尺度旋回層的厚度變小,旋回交替加快;就大尺度旋回層而言,自底到頂,其中的小旋回層的厚度也變小,旋回交替也加快。這說明這一地層的分布既不是隨機的,又不是周期性的重復,而是具有內在規(guī)律的分形分布。這一碳酸鹽巖沉積層序的奇特的分布特征很難用傳統(tǒng)的馬爾可夫鏈-蒙托卡羅方法(Markovchain-MonteCarlo)來模擬,但是可以很好地用二項乘積過程(binomialmultiplicativeprocess)來模擬,而二項乘積過程是產生多重分形的最基本的方法。這一簡單的例子表明,單純的沉積過程中各因素間復雜的相互作用而形成的沉積層本身就會具有很好的自相似和多重分形特征。當然其他因素的疊加,譬如裂隙的發(fā)育,有可能會進一步導致測井數(shù)據(jù)的1/fβ特征。6數(shù)據(jù)處理及分析地下介質物性參數(shù)的分布不是隨機的,而是具有復雜的分形和多重分形的特征。這就需要精確刻劃和描述地下介質,從而幫助物性參數(shù)(如孔隙度、含油性等)的預測和統(tǒng)計。下面以具體的測井數(shù)據(jù)分析結果說明分形分析方法正確合理運用的重要性。我們選擇美國堪薩斯州西南部某油田的γ射線測井數(shù)據(jù),該測井長度為1296.162m,測井數(shù)據(jù)間隔為0.125m,主要巖性為灰?guī)r與頁巖互層。對該組數(shù)據(jù)分別做R/S分析和功率譜分析,發(fā)現(xiàn)當對數(shù)據(jù)直接進行R/S分析時,Hu=0.91。這一數(shù)值明顯偏高。然后對測井數(shù)據(jù)進行一些基本的預處理(見圖1),包括歸一化、趨勢消除和計算逐項增量序列等。預處理后的數(shù)據(jù)Hu值在0.38～0.54之間。而功率譜分析的結果是H=0.27,顯然與R/S分析的結果相差很大。類似的由于不同的分析技術對同一數(shù)據(jù)的分析結果的明顯差異也在前人的研究中出