《商務統(tǒng)計學》隨機變量及其分布

商務統(tǒng)計學5隨機變量及其分布5.1隨機變量對一項試驗的結果進行數(shù)值描述，稱為隨機變量（randomvariable）。隨機變量通常用大寫字母X、Y、Z表示，它們的取值用小寫字母x，y，z等表示。2隨機變量的特點：一是取值的隨機性，事先不能確定X的取值；二是取值的統(tǒng)計規(guī)律，能夠確定X取某個值或在某區(qū)間的概率。根據(jù)隨機變量所取數(shù)值的不同，可以分為兩種類型：離散型隨機變量（discreterandomvariables）和連續(xù)型隨機變量（continuousrandomvariables）。3離散型隨機變量是指取值為可數(shù)個值的隨機變量，其取值不需要都是正數(shù)，只需要從一個可能的值“跳躍”到另一個值。連續(xù)型隨機變量是指隨機變量可以取區(qū)間上的任一值，即可能的取值有不可數(shù)個。其取值連續(xù)地從一個轉移到另一個，任意兩個值之間沒有任何間斷。45.2概率分布概率分布是指由隨機變量的取值和相應概率所構成的分布，能夠具體描述一個隨機變量的所有取值和相應概率之間的關系。55.2.1離散型隨機變量的概率分布離散型隨機變量的概率分布（probabilitydistribution）由離散型隨機變量X的取值和相應的概率P組成。常用表5-1來反映。6離散型隨機變量的概率分布滿足以下兩個條件：（1），對所有的取值成立（2）7把離散型隨機變量取小于等于某一值的概率稱為累積概率分布（cumulativedistributionfunction），記為，即

8例5-1投資者擬從創(chuàng)業(yè)板新上市的10只股票中選4只。但他并不知道這10只股票中有3只股票將使購買者盈利，其余的將使購買者虧損。試求：（1）購買者選中的獲利股票數(shù)目X的概率分布和累積概率分布；（2）至少選中1只獲利股票的概率；（3）至多選中2只獲利股票的概率。9解：（1）

所以X的概率分布為10（2）（3）

115.2.2連續(xù)型隨機變量的概率分布設X為連續(xù)型隨機變量，且函數(shù)滿足下列條件：（1）（2）（3）則稱為概率密度函數(shù)（probabilitydensityfunction）12連續(xù)型隨機變量的累積概率分布稱為分布函數(shù)（distributionfunction）。設X是一個連續(xù)型隨機變量，對任意實數(shù)x，事件的概率稱為隨機變量X的分布函數(shù)，記為，即有：

易見，對任意實數(shù)，有13分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）是非降函數(shù)，即若

則145.2.3隨機變量的期望和方差（1）離散型隨機變量的期望和方差離散型隨機變量X表示出現(xiàn)不同的可能結果，其均值一般稱為期望（expectation），用表示（有時也用表示）：15我們常常需要計算隨機變量的離散性或變異性，而方差就可以解釋隨機變量的變異性。離散型隨機變量方差(variance）的數(shù)學表達式如下：標準差16例5-2某野生動物保護區(qū)每個季度發(fā)生少數(shù)違反保護條例的事件，其次數(shù)的概率分布如表5-2所示：請計算野生動物保護區(qū)每季度違反保護條例的事件次數(shù)的期望值。17解：根據(jù)期望公式可得：即野生動物保護區(qū)每季度違反保護條例的事件次數(shù)的期望值為1.4。18（2）連續(xù)型隨機變量的期望和方差設X是連續(xù)型隨機變量，為概率密度函數(shù)，其數(shù)學期望（expectation）定義為：連續(xù)型隨機變量的方差（variance）為:19（3）期望和方差的性質(zhì)期望的性質(zhì)：?設C為常數(shù)，則?若a，b是常數(shù)，則?若X和Y為相互獨立的隨機變量，則

?若X和Y為任意的兩個隨機變量，則20方差的性質(zhì)：?設C為常數(shù)，則?若a，b是常數(shù)，則?若X和Y為相互獨立的隨機變量，則

?215.3幾種常見的離散型隨機變量的概率分布5.3.10-1分布0-1分布又稱兩點分布，或伯努利分布（Bernoullidistribution）。服從0-1分布的隨機變量X的取值有這樣的特征：試驗產(chǎn)生的結果只有兩種可能，“是”或“不是”。22在統(tǒng)計學中經(jīng)常把我們感興趣的表現(xiàn)稱為“成功”，則另一種稱為“失敗”，每次試驗結果不是“成功”就是“失敗”。我們可以規(guī)定用“0”表示失敗，“1”表示成功，因此稱為0-1分布。23設隨機變量X只能取0或1兩個值，其概率分布為：或者整理成表5-3的形式：240-1分布的期望和方差分別為：25例5-3檢查一批產(chǎn)品的合格情況，從中任意抽取一件產(chǎn)品，記為“不合格品”，為“合格品”，則隨機變量服從0-1分布：試求隨機變量X的期望和方差。26解：期望方差275.3.2二項分布在0-1分布的條件下，進行一系列結果為“成功”或“失敗”的獨立試驗，也就是n重伯努利試驗（n-Bernoullitrials）。因此出現(xiàn)“成功”的次數(shù)不再是1，而是一個不能確定的隨機變量28試驗成功的次數(shù)的概率分布就是二項分布（binomialdistribution），記作

。其中，n表示試驗次數(shù)，p表示試驗成功的概率。每次試驗相互獨立，任一次試驗結果都對其他試驗結果沒有影響。29二項分布中“成功”次數(shù)k的概率表達式為：式中，n為試驗次數(shù)；k為試驗成功的次數(shù)；p為一次試驗成功的概率；q為一次試驗失敗的概率，則。二項分布的期望和方差分別為：30例5-4某課程測驗由20道選擇題構成，每題有5個選項，但只有一個正確選項。一個同學參加該測驗打算全憑猜測來答題，則：（1）該同學全部答錯的概率是多少？（2）該同學全部答對的概率是多少？31解：設=“答對的題數(shù)”根據(jù)二項分布計算概率的公式得：全部答錯的概率為全部答對的概率為325.3.3超幾何分布從一個有限總體中進行不放回抽樣得到超幾何分布（hypergeometricdistribution）。超幾何隨機變量X的特征為：從N個總體中隨機且無放回地抽取n個單元，總體中有M個單元被標記為“成功”，其余都標記為“失敗”。。33X表示在抽取的n個單元中被標記為“成功”的個數(shù)，則。超幾何分布的試驗不具有獨立性，本次試驗抽中“成功”或“失敗”的概率與上次試驗結果有關。34通常情況下，在已知n，N，M時，得到k個成功數(shù)的超幾何分布的概率為：式中，；。超幾何分布的期望和方差分別為：35當時，即抽取的個數(shù)遠遠小于總數(shù)N，每次抽取后，總體中的“成功”概率改變不明顯，因此不放回抽樣可以看成是放回抽樣，這時可以用二項分布近似：

式中，。36例5-5假設一位教授打算從10位申請人（6男4女）中隨機挑選3人為助教。令X是3位申請人中女性的人數(shù)，求：（1）X的均值以及標準差；（2）受聘者中沒有女性的概率。37解：（1）X服從超幾何分布，其中均值方差標準差

38（2）受聘者中沒有女性，則，其概率為：

395.3.4泊松分布泊松分布主要應用于某一段時間，或某一距離，或某一空間范圍內(nèi)，某個事件的發(fā)生次數(shù)。例如，我們感興趣的是某一段時間進入麥當勞餐廳的人數(shù)，某一長度管材的瑕疵點數(shù)，某段生產(chǎn)時間內(nèi)的工傷人數(shù)，以及某一時期的結婚率等。40如果在一段時間或空間內(nèi)，事件出現(xiàn)的次數(shù)X同時滿足以下條件，則稱此隨機變量服從泊松分布（Poissondistribution），記為：（1）在某一間隔內(nèi)事件發(fā)生與否和其他任何一個間隔內(nèi)該事件發(fā)生與否相互獨立；41（2）任意兩個相等的間隔內(nèi)事件發(fā)生的概率相等；（3）事件發(fā)生的概率僅與間隔長度有關；（4）如果把事件區(qū)間或空間區(qū)間分成許多很小的區(qū)間，兩個或兩個以上某事件發(fā)生的概率小到可以視為0。42泊松分布的概率分布為：我們稱隨機變量X服從參數(shù)為（為某事件發(fā)生的概率）的泊松分布。泊松分布的期望和方差為：43因為是常數(shù)，若很大時，就很小，因此有：即二項分布近似為泊松分布（通常在

）時。44例5-6已知某種產(chǎn)品的不合格率為0.02，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機抽取100件進行檢查，問：（1）至多有3件不合格的概率是多少？（2）恰好有4件不合格的概率是多少？45解：設X為不合格品數(shù)，p為不合格品率，則X服從二項分布，由于n很大，p很小，可以近似認為X服從參數(shù)為的泊松分布，從而得到：（1）至多有3件不合格的概率為：（2）恰好有4件不合格的概率為：465.4幾種常見的連續(xù)型隨機變量的概率分布5.4.1均勻分布如果連續(xù)型隨機變量所能取到的每個值的概率都相等，那么隨機變量服從均勻分布（uniformdistribution）。47若連續(xù)型隨機變量X在有限區(qū)間內(nèi)取值，且其概率密度函數(shù)為：則稱X在區(qū)間上服從均勻分布，記為。48均勻分布的分布函數(shù)為：49均勻分布的概率密度圖和分布函數(shù)圖，如圖5-1和圖5-2所示。50均勻分布的期望和方差分別為：51例5-7假設鋼鐵廠的一臺軋鋼機可以生產(chǎn)不同厚度的鋼板，其厚度為取值在150200毫米的均勻隨機變量。厚度小于160毫米的鋼板被認為是廢品，請計算：（1）該機器生產(chǎn)的鋼板厚度X的均值和標準差；（2）該機器生產(chǎn)的鋼板被認為是廢品的概率有多大？52解：（1）（2）求機器生產(chǎn)的鋼板是廢品的概率，即求鋼板厚度小于160毫米的概率，運用均勻分布的公式，得：因此，20%的鋼板被認為是廢品。535.4.2指數(shù)分布在描述各種“壽命”，比如電子元件的壽命、人或動物的壽命、電話的通話時間，給一輛卡車裝貨所需要的時間等，都可以假定隨機變量服從指數(shù)分布（exponentialdistribution）。54若隨機變量服從指數(shù)分布，記為，其概率密度函數(shù)為：55指數(shù)分布的形狀和位置取決于參數(shù)，如圖5-3。56指數(shù)分布的分布函數(shù)為：指數(shù)分布的期望和方差分別為：57指數(shù)分布的無記憶性：如果隨機變量

，則對任意的和，有我們稱指數(shù)分布具有無記憶性。58指數(shù)分布與泊松分布有著密切的聯(lián)系。泊松分布描述的是在某一給定區(qū)間（時間、距離）內(nèi)，事件發(fā)生的次數(shù)；而指數(shù)分布描述的是兩次事件發(fā)生之間的間隔長度。如果說某事件發(fā)生的次數(shù)服從泊松分布，那么兩次發(fā)生的時間間隔一定服從指數(shù)分布。59例5-8為描述在一小時內(nèi)到達洗車店的汽車數(shù)，假定該隨機變量服從均值為10的泊松分布。請寫出：（1）每小時到達洗車點的汽車數(shù)X的概率分布；（2）兩輛車到達的時間間隔Y的概率密度函數(shù)。60解：（1）因為隨機變量X服從均值為10的泊松分布，所以泊松分布的參數(shù)，其概率分布為：

61（2）因為每小時有10輛車到達洗車點，所以兩輛車到達的時間間隔是，從而兩輛車到達的時間間隔Y的指數(shù)分布的均值為，相應的概率密度函數(shù)為：

62例5-9為確定某燈泡的使用壽命，根據(jù)初步測試證明燈泡的壽命X服從指數(shù)分布，參數(shù)為，求：（1）X的均值和標準差；（2）設保修期為5年，當

時，必須更換燈泡的概率是多少？

63解：（1）（2）求必須更換燈泡的概率，即求即廠商必須更換燈泡的概率為55%。

645.4.3正態(tài)分布（1）一般正態(tài)分布德國10馬克的鈔票上印有德國著名數(shù)學家高斯的頭像，鈔票上同時印有正態(tài)分布的密度曲線?？梢娫诟咚沟囊磺锌茖W貢獻中，對人類文明影響最大的，就是正態(tài)分布。因此正態(tài)分布（normaldistribution）也稱為高斯分布（Gaussiandistribution）。65如果隨機變量X的概率密度函數(shù)為：則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布，記為。式中，為正態(tài)隨機變量的均值；為標準差。66正態(tài)分布的分布函數(shù)為：正態(tài)分布的概率密度圖和分布函數(shù)圖，如圖5-5和圖5-6所示。6768根據(jù)正態(tài)分布的概率密度圖，可以看出正態(tài)曲線的特點：?關于中心位置對稱，在處取得最大值。?可以用目測的方法找出它的標準差：想象你從山頂開始滑雪，山的形狀和正態(tài)曲線一樣。69起先當你開始下滑時，往下的角度非常陡，當你還沒有直墜下去以前，陡度變得緩和起來，你越往下滑越平坦。這個陡度開始發(fā)生改變的點就代表了標準差的位置。圖5-7給出了當和發(fā)生變化時，相應的正態(tài)密度曲線的變化情況：7071從圖中可以看出，如果固定，改變，則圖形的形狀不發(fā)生變化，只是沿著x軸平移，因此稱為位置參數(shù)（locationparameter）。如果固定，改變，則圖形的位置不發(fā)生改變。越小，圖形越尖峭，分布較為集中；越大，圖形越平坦，分布較為分散。因此稱為尺度參數(shù)（scaleparameter）。72（2）標準正態(tài)分布（standardnormaldistribution）當，時，稱為標準正態(tài)分布，記為。其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為：73標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：??,和為常數(shù)；?，且為常數(shù)；?；?概率密度函數(shù)關于y軸對稱，在處取得最大值74一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關系為：如果隨機變量X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布，即，則隨機變量

服從標準正態(tài)分布，即

，這一變換稱為標準化變換。75的分布函數(shù)可以寫成：

則對于任意的，有：76通過標準化變換，可以計算出隨機變量取值落在任何區(qū)間內(nèi)的概率，如圖5-8所示。77例5-10學生《商務統(tǒng)計學》課程的考試成績服從均值為70分，標準差為12分的正態(tài)分布，請問某個學生的成績在70分到80分之間的概率有多大？78解：設是學生的成績，則有

查附表1的標準正態(tài)分布表，得到因此也就是說學生的成績在70分到80分之間的概率為29.67%。79例5-11超市里每天的牛奶銷售量服從均值為500千克，標準差為50千克的正態(tài)分布，若早上營業(yè)前超市有牛奶庫存600千克，當天牛奶脫銷的概率是多大？80解：設是每天的牛奶銷售量，則有

查標準正態(tài)分布表，得到因此也就是說牛奶脫銷的概率為2.28%。81（3）正態(tài)分布的原則對于任何正態(tài)分布，大約有68.27%的觀測值落在距離均值1個標準差的范圍內(nèi)，95.45%的觀測值落在距離均值2個標準差的范圍內(nèi)，99.73%的觀測值落在距離均值3個標準差的范圍內(nèi)。8283例5-12根據(jù)近期數(shù)據(jù)資料，某地18歲男青年的身高服從平均數(shù)為172.7cm，標準差為4.01cm的正態(tài)分布。請根據(jù)原則，分析該地男青年身高的分布規(guī)律。84解：根據(jù)原則，該地：

大約有68.27%的男青年身高介于168.69-176.71之間，大約有95.45%的男青年身高介于164.68-180.72之間，大約有99.73%的男青年身高介于160.67-184.73之間。85（4）管理原則管理原則是一種以數(shù)據(jù)為基礎，追求幾乎完美無瑕的現(xiàn)代企業(yè)質(zhì)量管理策略。一般企業(yè)的瑕疵率大約是3到4個。以

為例，假設一個機場，每天起降100架飛機。86若每架起飛的飛機安全質(zhì)量以標準管理，那么這100架飛機都安全的概率是

，說明至少有一架飛機不安全的概率為0.2369。若采用管理原則，則這100架飛機都安全的概率是。875.5由正態(tài)分布導出的三個重要分布5.5.1卡方分布設隨機變量互相獨立，并且都服從標準正態(tài)分布，則稱

的分布是自由度為的

分布，記為

。

88卡方分布（Chi-squaredistribution）的概率密度函數(shù)為：其中，是伽馬函數(shù)。通常我們稱為伽馬函數(shù)，參數(shù)。89伽馬函數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）（2），若為自然數(shù)，則

。90卡方分布的概率密度圖是一個取值為非負的偏態(tài)分布，如圖5-10所示，從左到右依次為自由度為2，4，10，20的概率密度圖。其期望和方差分別為：91卡方分布具有下面的重要性質(zhì)：若來自正態(tài)總體，其樣本均值和方差分別為：則有：（1）與相互獨立（2）（3）925.5.2F分布設隨機變量，，且與

相互獨立，則稱的分布是自由度為和的F分布，記為。設F的取值為，對，其密度函數(shù)為：

93F分布（Fdistribution）的概率密度圖如圖5-11。圖中，1、2、3、4、5、6分別表示、

、、、的概率密度圖。94F分布一般為正偏分布。若，則

，對于給定的，有

F分布一般可用于兩個正態(tài)總體方差的比較檢驗，方差分析和線性回歸模型的檢驗。955.5.3t分布設隨機變量，，則稱

的分布是自由度為的t分布，記為。其密度函數(shù)為

96t分布（tdistribution）的概率密度圖關于Y軸對稱（如圖5-12），與標準正態(tài)分布的圖形類似，都是均值為0的鐘形曲線，但t分布的峰比標準正態(tài)分布的峰低，且兩尾較高。97圖中，1、2、3、4分別表示、、和的概率密度圖形。t分布的期望和方差分別為：t分布具有下面的重要性質(zhì)：若都是來自正態(tài)總體的樣本，和分別是樣本均值和方差，則有98t分布多用于小樣本（）情況下的區(qū)間估計和假設檢驗，或是在總體方差未知時正態(tài)總體均值的區(qū)間估計和假設檢驗，以及線性回歸模型中回歸系數(shù)的顯著性檢驗等。995.6大數(shù)定理和中心極限定理5.6.1大數(shù)定理（1）伯努利大數(shù)定理（Bernoulli'sLawofLargeNumbers）設是重伯努利試驗中事件發(fā)生的次數(shù)，是每次試驗中事件出現(xiàn)的概率，則對于任意的正數(shù)，有

100伯努利大數(shù)定理說明：隨著試驗次數(shù)

的增大，事件發(fā)生的頻率與其概率無限接近，它們的偏差要多小有多小。這就說明了頻率的穩(wěn)定性。而在許多實際應用中，當試驗次數(shù)很大時，可以用事件發(fā)生的頻率代替事件發(fā)生的概率。

101（2）切比雪夫大數(shù)定理（Chebyshev’sLawofLargeNumbers）設為一列兩兩不相關的隨機變量序列，若每個的方差存在，且有共同的上界，即（），則對于任意的正數(shù),有：

102切比雪夫大數(shù)定理說明：隨著試驗次數(shù)趨于無窮大，隨機變量變化的均值依概率收斂到這個隨機變量的期望的均值

103切比雪夫大數(shù)定理只要求兩兩不相關，并未對其分布做出說明。因此可以得到：若是獨立同分布的隨機變量，方差有界，則一定服從大數(shù)定理。伯努利大數(shù)定理是切比雪夫大數(shù)定理的特例。

104（3）辛欽大數(shù)定理（Khinchin’sLawofLargeNumbers）設為一獨立同分布的隨機變量序列，若每個的期望存在且有相同的期望值，則對于任意的正數(shù)，有：

105辛欽大數(shù)定理提供了求隨機變量數(shù)學期望

的近似方法。假設現(xiàn)在對隨機變量重復觀察次，每次的觀察值相互獨立且與同分布。在期望存在時，按照辛欽大數(shù)定理，若足夠大，可以把平均觀察值，作為期望的近似。

1065.6.2中心極限定理中心極限定理（CentralLimitTheorem）是研究隨機變量和的極限分布在什么條件下為正態(tài)分布的問題。（1）樣本平均數(shù)的中心極限定理

107考慮從均值為，標準差為，服從任意概率分布的總體中抽取容量為的樣本，當趨于無窮大時，樣本平均數(shù)的分布近似服從均值，標準差的正態(tài)分布。108由中心極限定理我們可以知道，無論總體服從何種概率分布，只要知道它的均值和標準差，對于足夠大的樣本，樣本平均數(shù)

的分布近似為正態(tài)。一般認為樣本量的是大樣本，大樣本的平均數(shù)近似服從正態(tài)分布。

109例5-13某公司1000名員工的人均年獎金為2000元，標準差500元，從中隨機抽取36人進行調(diào)查，問該樣本中人均年獎金在1900-2200元之間的概率是多少？

110解：，根據(jù)樣本平均數(shù)的中心極限定理可知111查標準正態(tài)分布表，得到因此即樣本中人均年獎金在1900-2200元之間的概率是0.8767。112（2）樣本成數(shù)的中心極限定理從任一總體成數(shù)為，方差為的0-1分布總體中，抽取容量為的樣本，隨著樣本容量的增大，當且時，樣本成數(shù)的分布近似服從均值為，標準差的正態(tài)分布。

113例5-14某股民判斷股票漲跌正確的概率為0.6，且每次判斷相互獨立，假設該股民作了100次判斷，至少有50次判斷正確的概率有多大？114解：設為第次判斷正確，判斷正確取值為1，否則為0。記的和為，則至少有50次判斷正確的概率為：

查標準正態(tài)分布表，得到1155.7抽樣和抽樣分布5.7.1統(tǒng)計推斷在很多實際統(tǒng)計問題中，由于人力物力等諸多條件的限制，我們不能獲取全部數(shù)據(jù)，只能從中抽取一部分數(shù)據(jù)，依據(jù)這部分觀測數(shù)據(jù)對全部研究對象的數(shù)量特征或數(shù)量規(guī)律進行推斷，稱為統(tǒng)計推斷（statisticalinference）。

116統(tǒng)計推斷包括兩方面的內(nèi)容：一是參數(shù)估計，即通過樣本數(shù)據(jù)對總體的數(shù)量特征進行估計；二是假設檢驗，由樣本數(shù)據(jù)對總體的數(shù)量規(guī)律性是否具有某種指定特征進行檢驗。

1175.7.2抽樣的基本概念抽樣（sampling），也叫抽樣調(diào)查（samplingsurvey），是按照隨機原則，以一定的概率從總體中抽取部分樣本進行調(diào)查，根據(jù)樣本統(tǒng)計量對總體參數(shù)的數(shù)量特征做出可靠的估計和推斷。抽取樣本時，個體可以按照相等的概率被抽到，也可以按照不等的概率被抽到，前者稱為等概率抽樣，后者稱為不等概率抽樣。

118為什么要進行抽樣調(diào)查呢？因為在很多情況下抽樣比研究總體更切實可行。一方面有些試驗具有破壞性，不適合全面調(diào)查，如調(diào)查燈泡壽命。也有一些總體在理論上可以進行全面調(diào)查，但在實際中不具有可行性，如調(diào)查森林中有多少棵樹。

119（1）樣本容量和樣本可能個數(shù)樣本中包含的個體數(shù)稱為樣本容量。樣本可能個數(shù)是指從一個總體中可能抽取多少組樣本，即容量相同的所有可能樣本有多少組。樣本可能個數(shù)的多少與抽樣方法有關。

120（2）總體參數(shù)和樣本統(tǒng)計量總體分布的數(shù)量特征就是總體參數(shù)，其數(shù)值是唯一的，確定的。即總體參數(shù)為常數(shù)，但多為未知的。常見的總體參數(shù)有：總體平均數(shù)、總體比例（成數(shù)）、總體方差或總體標準差等，它們都能反映總體的分布特征。

121以未加權的情況為例，總體平均數(shù)、總體方差和總體標準差分別為：122與總體參數(shù)對應的是樣本統(tǒng)計量，即根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算出的指標。由于樣本是從總體中抽取出來的，是隨機的，因此樣本統(tǒng)計量是隨機變量。常見的樣本統(tǒng)計量有：樣本平均數(shù)、樣本比例（成數(shù)）、樣本方差或樣本標準差等。

123以未加權的情況為例，總體平均數(shù)、總體方差和總體標準差分別為：124（3）重復抽樣和不重復抽樣重復抽樣（或重置抽樣）是指從總體中抽出一個樣本單位，記錄其標志值后，放回總體中繼續(xù)參加下一輪樣本單位的抽取。重復抽樣的特點是：第一，個單位的樣本是由次試驗的結果構成的。

125第二，每次試驗是獨立的，即試驗的結果與前次、后次的結果都無關。第三，每次試驗都是在相同條件下進行的，每個單位在多次試驗中中選的機會（概率）是相同的。重復抽樣時，樣本可能個數(shù)為，為總體單位數(shù)，為樣本容量。

126不重復抽樣（或不重置抽樣）是指每次從總體中抽出一個樣本單位，記錄其標志值后，不放回原總體，不繼續(xù)參加下一輪抽樣。下一次從余下的單位中抽取樣本。不重復抽樣的特點是：第一，個單位的樣本由次試驗結果構成，但由于每次抽樣不重復，實質(zhì)上相當于從總體中同時抽取

個樣本單位。

127第二，每次試驗結果是不獨立的，上次中選的情況影響下次抽選的結果。第三，每個單位在多次試驗中中選的機會是不相等的。對于考慮順序的不重復抽樣，樣本可能個數(shù)為；對于不考慮順序的不重復抽樣，樣本可能個數(shù)為。

1285.7.3抽樣組織方式（1）簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣（simplerandomsampling）也稱純隨機抽樣，是指按照隨機原則從總體的所有單位中抽取樣本的方式，要保證全部可能的樣本被抽到的概率都相等。

129簡單隨機抽樣是其他抽樣方法的基礎，因為它在理論上最容易處理，并且當總體包含的抽樣單元數(shù)N不太大時實施并不困難，但是當N很大時實施起來就相當困難，此時可以采用隨機數(shù)表的方法。

130當N很大時所抽到的樣本單元往往很分散，不能保證樣本在總體中較為均勻地分布，使調(diào)查極不方便且樣本缺乏代表性。因此在大規(guī)模抽樣調(diào)查中很少單獨采用簡單隨機抽樣。

131（2）分層抽樣分層抽樣（stratifiedsampling）也稱類型抽樣或分類抽樣，是將總體中的抽樣單元按某種原則劃分成若干個組，然后在每個組內(nèi)獨立地進行抽樣以獲得樣本的抽樣方式。其優(yōu)點是通過劃類分組，增大了各類中單位間的共同性，容易抽出具有代表性的樣本。

132分層抽樣的實施和組織都比較方便，樣本單元分布比較均勻。當組內(nèi)差異較小而組間差異較大時，采用分層抽樣可以大大提高估計的精度。

133（3）等距抽樣等距抽樣也稱機械抽樣或系統(tǒng)抽樣（systematicsampling），首先將總體單元按一定順序排列，在規(guī)定的范圍內(nèi)隨機抽取一個單元作為初始單元，然后按照一定的規(guī)則確定其他樣本單元。

134在等距抽樣中，初始單元是隨機抽取的，其他樣本單元都隨著初始單元的確定而確定。在進行等距抽樣時，應提前觀察總體的實物順序。若實物順序與總體的特征相關，就不應該使用等距抽樣。

135（4）整群抽樣整群抽樣（Clustersampling）也稱集團抽樣，是指將總體單元按照一定的標準分成若干部分，每個部分稱為一個群，然后以群為單位，隨機抽取一個或幾個群，對被抽中的群進行全面調(diào)查。整群抽樣的效率與群的劃分密切相關，其劃分原則是盡量使每個群都有較好的代表性，群間差異小，而群內(nèi)差異大。

136（5）二階段抽樣和多階段抽樣在調(diào)查對象的總體范圍大、分布又廣的情況下，只進行一次抽樣很難選出所需的樣本。我們可以把整個抽樣過程分成兩個或多個階段。如在企業(yè)職工收入調(diào)查中，先對企業(yè)進行抽樣，再在被抽中的企業(yè)內(nèi)對職工進行抽樣，然后對被抽中的職工進行調(diào)查，這就是二階段抽樣（two-stagesampling）

137如果總體可以劃分成多個級別的抽樣單元，每一級別的抽樣單元由若干下一級別的抽樣單元組成，相應地存在多個級別的抽樣框，抽樣時先在一級抽樣框中對一級單元抽樣，再在中選的一級單元中對二級單元抽樣。

138如果每個二級單元又由更小的三級單元組成，那么在二階段抽樣后，在中選的二級單元中對三級單元抽樣，稱為三階段抽樣（three-stagesampling）。以此類推，還可以定義更高階段的抽樣。對于二階段以上的抽樣統(tǒng)稱為多階段抽樣（multi-stagesampling）。

1395.7.4抽樣誤差隨機樣本的樣本值和總體值之間的差異稱為抽樣誤差（samplingerror），抽樣誤差是在選取樣本時一些偶然因素影響的結果。通常，抽樣誤差的大小由樣本均值的標準差來衡量。

140（1）樣本均值的標準差重復抽樣時，有式中，為樣本均值的標準差，又稱為抽樣平均誤差；為總體的標準差；為樣本容量。141不重復抽樣時，有式中，為樣本均值的標準差；