隨機(jī)地震動(dòng)模型的新發(fā)展

隨機(jī)地震動(dòng)模型的新發(fā)展

隨機(jī)地震動(dòng)模型的建立由于地震、震源機(jī)制、傳播路徑和場地條件的復(fù)雜性，觀測地震加速度過程具有顯著的隨機(jī)性。為了發(fā)展用于結(jié)構(gòu)分析的隨機(jī)地震動(dòng)模型,已經(jīng)進(jìn)行了大量的工作,其中較典型的是Kanai-Tajimi功率譜模型及其各種修正模型。從根本上講,功率譜模型是地震動(dòng)的矩函數(shù)描述,難以反映地震動(dòng)隨機(jī)過程蘊(yùn)涵的豐富概率信息。為了解決這一難題,文獻(xiàn)在頻域內(nèi)建立了隨機(jī)地震動(dòng)的Fourier幅值譜模型,并將相位譜的隨機(jī)性通過初相角的隨機(jī)性來表示,提出了基于物理的隨機(jī)地震動(dòng)模型。沿著這一思路進(jìn)一步展開研究,本文建立了較為完整的地震動(dòng)隨機(jī)函數(shù)模型?；陔S機(jī)過程的隨機(jī)函數(shù)解釋,我們建立了地震動(dòng)的隨機(jī)函數(shù)模型。該模型由兩部分組成,即Fourier幅值譜模型和Fourier相位譜模型。其中,幅值譜模型基于擬加速度譜概念建立,具有物理意義明確、形式簡潔等優(yōu)點(diǎn);相位譜模型則借助于累積相位譜的單值連續(xù)特性,以線性多項(xiàng)式與三角級數(shù)組合的形式給出。為了驗(yàn)證模型的正確性,進(jìn)行了實(shí)測記錄與模擬記錄的波形與反應(yīng)譜對比。本文第I部分論述了模型的建立過程,有關(guān)模型參數(shù)統(tǒng)計(jì)與驗(yàn)證工作在本文第II部分給出。1隨機(jī)地震動(dòng)模型形式在數(shù)學(xué)上,隨機(jī)過程存在兩種表達(dá)形式,一種是有限維概率分布函數(shù)表示法,另一種是隨機(jī)函數(shù)表示法。下面分別予以闡述。(1)如果對于t∈T的每個(gè)有限集{t1,t2,…,tn},有相應(yīng)的隨機(jī)變量的集合x(t1),x(t2),…,x(tn),它們有聯(lián)合概率分布函數(shù):Fx1x2?xn(X1,X2,?,Xn)=Ρ{x1≤X1∩x2≤X2∩?∩xn≤Xn}(1)Fx1x2?xn(X1,X2,?,Xn)=P{x1≤X1∩x2≤X2∩?∩xn≤Xn}(1)則這族聯(lián)合概率分布函數(shù)定義了一個(gè)隨機(jī)過程x(t),t∈T。獲得隨機(jī)過程x(t)的聯(lián)合概率分布函數(shù)是相當(dāng)困難的。所以,在大量實(shí)際問題中,人們往往不得不退而求其次,只研究隨機(jī)過程的一階和二階統(tǒng)計(jì)量?，F(xiàn)有的隨機(jī)地震動(dòng)模型大多是以功率譜密度來表示的,經(jīng)典的Kanai-Tajimi譜模型及其各種改進(jìn)模型是這種反映方式的代表。(2)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S,如果對于每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果ξ∈S,有一個(gè)確定的函數(shù)X(t)=X(t,ξ)(t∈T),從而對于所有的ξ∈S,可以得到一族定義在T上的關(guān)于參數(shù)ξ的樣本函數(shù)集,則X(t,ξ)稱為隨機(jī)函數(shù)。本文的研究即以定義2為出發(fā)點(diǎn),嘗試尋找具有解析函數(shù)表達(dá)形式的隨機(jī)地震動(dòng)模型。2加速度時(shí)程曲線的簡單描述地震動(dòng)加速度時(shí)程在數(shù)學(xué)表征上具有顯著的復(fù)雜性,迄今為止,人們還很難直接以簡單的數(shù)學(xué)函數(shù)描述地震地面運(yùn)動(dòng)的加速度時(shí)程曲線。鑒于傅里葉變換的時(shí)頻域等效性,啟發(fā)我們將時(shí)域內(nèi)的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)換到頻域來建立數(shù)學(xué)模型。2.1加速度的估計(jì)模型計(jì)算簡圖見圖1。假設(shè)以基底白噪聲輸入場地土層,¨z+2ξgωg˙z+ω2gz=-¨z0(2)z¨+2ξgωgz˙+ω2gz=?z¨0(2)可得到場地相對位移解為Ζ(iω)Ζ0(iω)=ω2ω2g-ω2+2ξgωg(iω)(3)Z(iω)Z0(iω)=ω2ω2g?ω2+2ξgωg(iω)(3)土層頂部的絕對加速度可以表示為相對速度的形式,即{f=¨z0+¨zf=ωg˙z(4){f=z¨0+z¨f=ωgz˙(4)因此擬加速度相對于基底白噪聲的傳遞函數(shù)可以表示為,Η(iω)=ωg(iω)?Ζ(iω)-ω2Ζ0(iω)=ωg(iω)ω2-ω2(ω2g-ω2+2ξgωg(iω))(5)|Η(iω)|2=ω2gω2(ω2g-ω2)2+4ξ2gω2gω2(6)H(iω)=ωg(iω)?Z(iω)?ω2Z0(iω)=ωg(iω)ω2?ω2(ω2g?ω2+2ξgωg(iω))(5)|H(iω)|2=ω2gω2(ω2g?ω2)2+4ξ2gω2gω2(6)相應(yīng)的幅值譜可以表示為,F(ω)=ωgω√(ω2g-ω2)2+4ξ2gω2gω2?S0(7)F(ω)=ωgω(ω2g?ω2)2+4ξ2gω2gω2√?S0(7)對大量實(shí)際地震動(dòng)的幅值譜以本文模型進(jìn)行了參數(shù)識(shí)別,結(jié)果顯示模型具有較好普適性。表1給出了兩條實(shí)際地震動(dòng)幅值譜模型參數(shù)識(shí)別的結(jié)果以及參數(shù)的0.95置信區(qū)間,圖2和圖3給出了兩個(gè)地震動(dòng)幅值譜及模型幅值譜的對比及其對波形結(jié)構(gòu)的影響。2.2相位譜模型的建立相位譜研究的難點(diǎn)在于相位譜自身劇烈變化和規(guī)律性的缺失,從而很難對相位譜進(jìn)行數(shù)學(xué)上的描述。圖4給出了一個(gè)強(qiáng)震記錄的相位譜曲線形式。在早期的研究中,曾建議以一個(gè)[0～2π]均勻隨機(jī)分布的隨機(jī)數(shù)模型來表示相位譜的隨機(jī)分布。但是這樣生成的相位譜與真實(shí)相位譜的差異非常大。即使在使用真實(shí)幅值譜的情況下,由此相位譜模型合成的地震動(dòng)與真實(shí)地震動(dòng)比較也幾乎沒有相似性。為此,20世紀(jì)70年代末以來,進(jìn)行了一系列地震動(dòng)記錄相位差譜的研究。提出了多種概率分布模型,包括,Y.Ohsaki,TetsuoKubo的正態(tài)分布模型;朱昱、馮啟民的對數(shù)正態(tài)分布模型;以及HjoturThrainsson,AnneS.Kiremidjian提出的β分布模型。然而,相位差譜分布是一種概率意義上的數(shù)學(xué)表示方法,對于一種分布形式,存在無數(shù)種相位組合形式,所以無法實(shí)現(xiàn)相位譜的唯一性建模。注意到在相位主值基礎(chǔ)上加減2kπ,并不影響三角函數(shù)的計(jì)算結(jié)果,因此用相位譜的主值等價(jià)表示累積相位譜。Shrikhande&Gupta最早將累積相位譜概念用于地震動(dòng)的合成,通過對原始記錄累積相位譜進(jìn)行分段線性擬合,達(dá)到了人工波與原始記錄相似的目的。本文基于累積相位譜單調(diào)、連續(xù)的優(yōu)點(diǎn)建立了地震動(dòng)的Fourier相位譜模型。累積相位譜可由Schafer算法得到:如果相位譜的采樣率足夠密,以至于任意兩個(gè)采樣點(diǎn)的變化小于π,可以對相位主值P(k)附加一個(gè)修正項(xiàng)C(k),其中因此,φ(k)=Ρ(k)+C(k)(9)φ(k)=P(k)+C(k)(9)按上述方式定義的相位函數(shù)通常稱為x(n)的相位展開(或累積相位譜)。圖5給出了由相位主值向累積相位譜轉(zhuǎn)換的算法示意圖。以上述算法計(jì)算了4個(gè)地震動(dòng)(分別是ElCentro波,Northridge波,Kobe波和Taft波)的累積相位譜(見圖6)?？梢钥闯隼鄯e相位譜顯示出良好的趨勢性。對大量強(qiáng)震記錄累積相位譜分析表明:除少量地震動(dòng)的相位譜曲線線性趨勢不明顯外,大部分記錄的相位譜均表現(xiàn)出了較明顯的線性變化趨勢。所以,在相位譜模型中引入線性多項(xiàng)式項(xiàng)是顯然的。但仔細(xì)觀察真實(shí)地震記錄的相位譜可以發(fā)現(xiàn)上面都附帶著小的波動(dòng),這些波動(dòng)可以低頻正弦波來描述。因此,相位譜模型可以寫為:Φ=Ρ1f+Ρ2+Ρ3sin(Ρ4f)+Ρ5sin(2Ρ4f)+Ρ6sin(3Ρ4f)+Ρ7sin(4Ρ4f)+Ρ8sin(5Ρ4f)(10)Φ=P1f+P2+P3sin(P4f)+P5sin(2P4f)+P6sin(3P4f)+P7sin(4P4f)+P8sin(5P4f)(10)式中,Φ為累積相位譜,f為頻率,P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8為待定系數(shù),需要對真實(shí)記錄相位譜進(jìn)行參數(shù)識(shí)別得到。圖7(a)給出了Livermore記錄累積相位譜與模型相位譜的擬合示意圖,圖7(b)、7(c)給出了真實(shí)記錄與模擬記錄的比較,其中模擬記錄為真實(shí)記錄幅值譜與模型相位譜的結(jié)合。圖8給出了SuperstitionHills強(qiáng)震記錄的相位譜模型及真實(shí)記錄與模擬記錄對比的結(jié)果。與原始波形對比,可以看出本文方法能夠反映原始波形結(jié)構(gòu)的主要特征,如峰值加速度、波峰波谷的數(shù)量以及相互之間排列的疏密和相對位置。表2給出了相應(yīng)的相位譜參數(shù)識(shí)別結(jié)果。應(yīng)該注意模擬記錄幅值譜使用了原始記錄得到的幅值譜,之所以這樣做,是為了更好地驗(yàn)證由于相位譜模型帶來的差異,減小由于采用幅值譜模型所帶來的差異。3各參數(shù)構(gòu)造固定參數(shù)綜上所述,地震動(dòng)隨機(jī)過程X(→ξξ?,t)可以隨機(jī)函數(shù)模型表示之,即式中,→ξ=(→λ1,→λ2)Τξ?=(λ?1,λ?2)T、→λλ?1和→λλ?2為模型中涉及的隨機(jī)參數(shù)向量。F(→λλ?1→λλ?2,ω)具體可以表示為F(→λ1,→λ2?ω)=|F(→λ1?ω))|eiφ(→λ2?ω)(12)F(λ?1,λ?2?ω)=|F(λ?1?ω))|eiφ(λ?2?ω)(12)其中:F(→λ1?ω)=F(ωg,ξg,Sg,ω)=ωgω√(ω2g-ω2)2+4ξ2gω2gω2Sg(13)φ(→λ2?ω)=φ(Ρ1,Ρ2,?,Ρ8,ω)=Ρ1ω+Ρ2+Ρ3sin(Ρ4ω)+Ρ5sin(2Ρ4ω)+Ρ6sin(3Ρ4ω)+Ρ7sin(4Ρ4ω)+Ρ8sin(5Ρ4ω)(14)模型中的隨機(jī)參數(shù)ωg,ξg,Sg,P1,P2,…,P8可由強(qiáng)震記錄通過參數(shù)識(shí)別和分布函數(shù)識(shí)別得到。4不同強(qiáng)震記錄的模擬對比前文已經(jīng)分別對Fourier幅值譜模型和相位譜模型的正確性進(jìn)行了驗(yàn)證,然而在實(shí)際應(yīng)用中需要將幅值譜模型和相位譜模型結(jié)合在一起使用,因此,對上述模型進(jìn)行綜合驗(yàn)證是必要的。另外,本文提出的模型是否具有普適性,能否對千差萬別的地震動(dòng)都給出較好的描述,也是模型是否實(shí)用的關(guān)鍵。圖9～圖13給出了由Fourier幅值譜模型與Fourier相位譜模型相結(jié)合給出的模擬地震記錄,原始強(qiáng)震記錄一并給出以便于在時(shí)域內(nèi)比較模型記錄與真實(shí)記錄的相似性。與此同時(shí),給出了模型記錄與真實(shí)記錄加速度反應(yīng)譜的比較。對比結(jié)果顯示,本文模型給出的時(shí)程較好地實(shí)現(xiàn)了對真實(shí)強(qiáng)震記錄的模擬,同時(shí)在反應(yīng)譜層次上亦給出了滿意的結(jié)果。應(yīng)該注意到,上述5幅圖中的地震動(dòng)形式差別很大,圖9中的地震動(dòng)能量較密集,強(qiáng)震段較短;圖10中地震動(dòng)能量分布較分散,強(qiáng)震段較長;圖11中的地震動(dòng)的強(qiáng)度非平穩(wěn)性非常明顯;圖12中的地震動(dòng)長周期脈沖明顯;圖13中地震動(dòng)能量主要集中于兩個(gè)主要脈沖之中。本文模型對于不同形式的地震動(dòng)均表現(xiàn)出了良好的相似性,這也在一定程度上驗(yàn)證了模型的普適性。5furing型相關(guān)系