中位數(shù)和眾數(shù)“十市聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

中位數(shù)和眾數(shù)

問題情景：根據(jù)中央電視臺(tái)2011年10月20日19時(shí)30分預(yù)報(bào)，我國大陸各直轄市和省會(huì)城市21日的最高氣溫（℃）如下表所示。我們很容易得到這些城市21日最高氣溫的平均數(shù)為21.7℃，你還能從其他角度找到這組數(shù)據(jù)的代表嗎？

各地21日最高氣溫（℃）預(yù)報(bào)北京17天津22石家莊21太原21呼和浩特18沈陽22長春20哈爾濱19上海23南京23杭州24合肥22福州27南昌26濟(jì)南23鄭州22武漢25長沙26廣州30海口30南寧29成都21重慶20貴陽17昆明20拉薩20西安21蘭州18銀川20西寧16烏魯木齊9平均溫度：21.7℃

我們還可以用中位數(shù)或眾數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的代表。

如下圖，將31個(gè)城市21日最高氣溫?cái)?shù)據(jù)按由低到高的順序重新排列，用去掉兩端逐步接近正中間的辦法可以找出處在正中間位置的那個(gè)值，即中位數(shù)．由此可以得到這些城市21日最高氣溫的中位數(shù)是21℃．奇數(shù)9,16,17,17,18,18,19,20,20,20,20,20,21,21,21,21,22,22,22,22,23,23,23,24,25,26,26,27,29,30,30思考如果是偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，那么用去掉兩端逐步接近正中心的辦法，最后也只會(huì)剩下惟一一個(gè)沒被劃去的數(shù)據(jù)嗎？如果是偶數(shù)個(gè)數(shù)，那么最后就將剩下兩個(gè)在正中間的數(shù)，這時(shí)，我們?nèi)∵@兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)作為中位數(shù)．比如：數(shù)據(jù)1、2、3、4、5、6的中位數(shù)是：中位數(shù)n個(gè)數(shù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).注意：1.求中位數(shù)時(shí)必須將這組數(shù)據(jù)從大到小（或從小到大）順序排列；2.當(dāng)所給數(shù)據(jù)為奇數(shù)時(shí)，中位數(shù)在數(shù)據(jù)中；當(dāng)所給數(shù)據(jù)為偶數(shù)時(shí)，中位數(shù)不在所給數(shù)據(jù)中，而是最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)；3.一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是唯一的．眾數(shù)：如下表，統(tǒng)計(jì)每一氣溫在31個(gè)城市預(yù)報(bào)最高氣溫?cái)?shù)據(jù)中出現(xiàn)的頻數(shù)，可以找出頻數(shù)最多的

那個(gè)氣溫值，它就是眾數(shù)

由表可知，這些城市21日最高氣溫的眾數(shù)是20℃．氣溫（℃）91617181920212223242526272930

頻數(shù)

1

1

2

2

15

4

3

1

1

211

245思考若有兩個(gè)氣溫（如20℃和22℃）的頻數(shù)并列最多，那么怎樣決定眾數(shù)呢?這時(shí)，我們不是取20℃和22℃這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為眾數(shù)，而是說這20℃和22℃都是眾數(shù)。如果一組數(shù)列中，出現(xiàn)的頻數(shù)都一樣，這時(shí)候眾數(shù)怎么求呢？眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。注意：1.眾數(shù)一定在所給數(shù)據(jù)中。2.眾數(shù)可能不唯一，也可能沒有眾數(shù)（但不能說成是0）。我們可以把上述問題中的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)在統(tǒng)計(jì)圖上表示出來，如下圖：頻數(shù)氣溫（℃）中位數(shù)（21）眾數(shù)（20）平均數(shù)（21.7）中位數(shù)是概括一組數(shù)據(jù)的另一種指標(biāo)，如果將一組數(shù)據(jù)按由小到大的順序排列（或由大到小，即使有相等的數(shù)據(jù)也要全部參加排列），那么中位數(shù)的左邊和右邊恰有一樣多的數(shù)據(jù)．平均數(shù)是概括一組數(shù)據(jù)的一種常用指標(biāo)，反應(yīng)了這組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)的平均大小。眾數(shù)告訴我們，這個(gè)值出現(xiàn)的次數(shù)最多．一組數(shù)據(jù)可以有不止一個(gè)眾數(shù)（如上面的兩個(gè)氣溫值20和22都是眾數(shù)），也可能沒有眾數(shù)(不能說眾數(shù)是0）（當(dāng)每個(gè)數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)都是一樣時(shí)）．平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)從不同的側(cè)面概括了一組數(shù)

據(jù)，正因?yàn)槿绱?，這三個(gè)指標(biāo)都可作為一組數(shù)據(jù)的

代表．平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)---平均水平---中等水平---多數(shù)水平關(guān)鍵詞：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)要否排序是否在所給數(shù)據(jù)中是否唯一不要不一定唯一要不一定唯一不要一定在不一定唯一6、實(shí)際問題中求得的平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)應(yīng)帶上單位.

平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)這三個(gè)數(shù)據(jù)代表的異同：1、平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都可以作為一組數(shù)據(jù)的代表，主要描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量。平均數(shù)是應(yīng)用較多的一種量2、平均數(shù)計(jì)算要用到所有的數(shù)據(jù)，它能夠充分利用所有的數(shù)據(jù)信息，但它受極端值的影響較大.3、眾數(shù)是當(dāng)一組數(shù)據(jù)中某一數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)較多時(shí)，人們往往關(guān)心的一個(gè)量，眾數(shù)不受極端值的影響，這是它的一個(gè)優(yōu)勢，中位數(shù)的計(jì)算也不受極端值的影響.4、平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)均有關(guān)系，任何一個(gè)數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)相應(yīng)引起平均數(shù)的變動(dòng)5、中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的移動(dòng)對中位數(shù)沒有影響，中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中也可能不在所給的數(shù)據(jù)中，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，可用中位數(shù)描述其趨勢.歸納總結(jié)：1、判斷題：（正確的打“√”，不正確的打“×”）（1）給定一組數(shù)據(jù)，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定只有一個(gè)． （）（2）給定一組數(shù)據(jù)，那么這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定只有一個(gè)． （）（3）給定一組數(shù)據(jù)，那么這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)一定只有一個(gè)． （）（4）給定一組數(shù)據(jù)，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定位于最大值和最小值之間．（）（5）給定一組數(shù)據(jù)，那么這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定等于最小值和最大值的算術(shù)平均數(shù)．（）（6）給定一組數(shù)據(jù)，如果找不到眾數(shù)，那么眾數(shù)一定就是0．（）2：一名警察在高速公路上隨機(jī)觀察了6輛過往車輛，它們的車速分別為（單位：千米/時(shí)）分別為：66，57，71，54，69，58．那么，這6輛車車速的中位數(shù)和眾數(shù)是多少?解：將6輛車的速度按從小到大的順序重新排列，得到54，57，58，66，69，71．這6輛車的速度沒有眾數(shù)．小結(jié)所以取這兩個(gè)數(shù)值的平均數(shù)作為中位數(shù)，即中位數(shù)是（58＋66）÷2＝62（千米/時(shí)）3、某商場進(jìn)了一批蘋果，每箱蘋果質(zhì)量約5千克．進(jìn)入倉庫前，從中隨機(jī)抽出10箱檢查，稱得10箱蘋果的質(zhì)量如下（單位：千克）：4.8，5.0，5.1，4.8，4.9，4.8，5.1，4.9，4.7，4.7．請指出這10箱蘋果質(zhì)量的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)．解：①平均數(shù)為(4.8+5.0+5.1+4.8+4.9+4.8+5.1+4.9+4.7+4.7)÷10=4.88；②將10箱蘋果的質(zhì)量從小到大重新排列為4.7，4.7，4.8，4.8，4.8，4.9，4.9，5.0，5.1，5.1，在正中間位置的數(shù)為4.8和4.9，所以中位數(shù)為（4.8+4.9）÷2=4.85；③因?yàn)樯厦鏀?shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的是4.8，有3次，所以眾數(shù)為4.8作業(yè)：P146習(xí)題20.2

第1、2題

4、在一次環(huán)保知識(shí)競賽中，某班50名學(xué)生成績?nèi)缦卤硭荆旱梅?060708090100110120人數(shù)2361415541分別求出這些學(xué)生成績的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).解：這些學(xué)生成績的眾數(shù)是90分，

中位數(shù)是（80+90）÷2=85分，

平均數(shù)是：4230÷50=84.6分。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的選用

公園里有甲、乙兩群游客正在做團(tuán)體游戲，兩群游客的年齡如下：（單位：歲）甲群：13、13、14、15、15、15、16、17、17。乙群：3、4、4、5、5、6、6、54、57。（1）甲群游客的平均年齡是

歲，中位數(shù)是

歲，眾數(shù)是

歲，其中能較好反映甲群游客年齡特征的是

。（2）乙群游客的平均年齡是

歲，中位數(shù)是

歲，眾數(shù)是

歲。其中能較好反映乙群游客年齡特征的是

。1515151654、5、6眾數(shù)平均數(shù)復(fù)習(xí)提問10位學(xué)生的鞋號(hào)碼由小到大的是；20，21，21，22，22，22，22，22，23，24這組據(jù)的平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)是什么？你還記得嗎？眾數(shù):當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有些數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí),眾數(shù)往往是人們尤為關(guān)心的一個(gè)量.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)有哪些特征？平均數(shù):充分利用數(shù)據(jù)所提供信息,但容易受極端值影響中位數(shù):計(jì)算簡單,受極端值影響較小,但不能充分利用數(shù)據(jù)所提供信息例1.七年級某班的教室里，三位同學(xué)正在為誰的成績最好而爭論，他們的五科成績分別是；小華：62，94，95，98，98。小明：62，62，98，99，100。小麗：40，62，85，99，99。誰的成績最好？

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)98小華

89.484.2

9598

小明

6299小麗

77

85

答：通常學(xué)科測試成績主要以總分來衡量高底，由于小華的平均分最高，即總分最高，所以小華較好。1、某公司的33名職工的月工資（以元為單位）如下：職員董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資5500500035003000250020001500（1）、求該公司職員月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)？（3）、你認(rèn)為應(yīng)該使用平均數(shù)和中位數(shù)中哪一個(gè)來描述該公司職工的工資水平？2、某公司有15名員工，它們所在的部門及相應(yīng)每人所創(chuàng)的年利潤如下表示：部門ABCDEFG人數(shù)1124223每人所創(chuàng)的年利潤2052.52.11.51.51.2根據(jù)表中的信息填空：該公司每人所創(chuàng)年利潤的平均數(shù)是

萬元。該公司每人所創(chuàng)年利潤的中位數(shù)是

萬元。你認(rèn)為應(yīng)該使用平均數(shù)和中位數(shù)中哪一個(gè)來描述該公司每人所創(chuàng)年利潤的一般水平？

從甲、乙、丙三個(gè)廠家生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品中抽取

8件產(chǎn)品，對其使用壽命跟蹤調(diào)查，結(jié)果如下：（單位：年）甲：3，4，5，6，8，8，10，8

乙：4，6，