《經濟數學》413-5（雷安平）教案 第19課 廣義積分與定積分在經濟學問題中的應用

第課第課廣義積分與定積分在經濟學問題中的應用19PAGE619廣義積分與定積分在經濟學問題中的應用第19廣義積分與定積分在經濟學問題中的應用第課PAGE7

課題廣義積分與定積分在經濟學問題中的應用課時2課時（90min）教學目標知識技能目標：（1）掌握無限區(qū)間的廣義積分（2）掌握無界函數的廣義積分（瑕積分）（3）掌握定積分在經濟學問題中的應用思政育人目標：通過廣義積分與定積分在經濟學問題中的應用的學習，使學生體會到數學是源于生活的，是可以用于解決實際問題的；鍛煉學生的邏輯思維能力，培養(yǎng)嚴謹的科學態(tài)度和作風，提高自身科學素養(yǎng)。教學重難點教學重點：無限區(qū)間的廣義積分、無界函數的廣義積分（瑕積分）教學難點：定積分在經濟學問題中的應用教學方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學設計第1節(jié)課：課堂測驗（10min）第2節(jié)課：課堂測驗（15min）課堂小結（3min）教學過程主要教學內容及步驟設計意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】使用文旌課堂APP進行簽到【學生】按照老師要求簽到培養(yǎng)學生的組織紀律性，掌握學生的出勤情況知識講解

（33min）【教師】講解廣義積分一、無限區(qū)間的廣義積分定義6-2設函數在區(qū)間上連續(xù)，取，如果極限存在，則稱此極限為函數在無限區(qū)間上的廣義積分，記作，即．此時，也稱為廣義積分收斂；如果極限不存在，則稱廣義積分發(fā)散，此時雖用同樣的記號，但其已經不再表示數值了．類似地，可定義在無限區(qū)間上的廣義積分為．若上式等號右端的極限存在，則稱該廣義積分收斂，否則稱該廣義積分發(fā)散．函數在無限區(qū)間上的廣義積分定義為，其中，為任意實數．當上式右端兩個積分都收斂時，稱該廣義積分收斂，否則稱該廣義積分發(fā)散．上述3類廣義積分統(tǒng)稱為無限區(qū)間的廣義積分．為方便起見，引入以下記號：若是的一個原函數，記（如果極限存在），則無限區(qū)間的廣義積分可表示為；；．由于無限區(qū)間的廣義積分是通過變限定積分的極限來定義的，因此，定積分的換元積分法和分部積分法可應用到無限區(qū)間的積分中．例1計算廣義積分．解

．若運用上述記號，則解題過程可表示為．二、無界函數的廣義積分（瑕積分）存在，則稱此極限為函數在區(qū)間上的廣義積分，記作，即．此時稱廣義積分收斂，否則稱廣義積分發(fā)散．類似地，當為的無窮間斷點（又稱瑕點）時，即，取，則在上的廣義積分定義為：．當無窮間斷點位于區(qū)間的內部時，則其廣義積分定義為．上式右端兩個積分均為廣義積分，只有當這兩個廣義積分都收斂時，才稱收斂，否則稱發(fā)散．上述無界函數的廣義積分也稱為瑕積分．與無限區(qū)間的廣義積分類似，若是的一個原函數，我們引入記號，其意義與無窮區(qū)間的廣義積分類同．例2討論廣義積分的斂散性．解因在內部有被積函數的瑕點，于是（讓瑕點在小區(qū)間的端點處）．而不存在，所以，廣義積分發(fā)散．【學生】掌握廣義積分學習無限區(qū)間的廣義積分與無界函數的廣義積分（瑕積分）的相關知識，實現教學做一體化課堂測驗

（10min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學習平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學生進行測試【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節(jié)課知識的印象第二節(jié)課知識講解

（25min）【教師】講解定積分在經濟學問題中的應用定積分在經濟學問題中的應用是多方面的，下面例1和例2體現了已知某經濟量的變化率（即邊際函數）如何求該經濟量，例3是關于平均值在經濟中的應用，例4是關于有效時段的問題．例1（利潤問題）某公司每個月生產x臺電視機，邊際利潤（單位：美元）由下式給出：．目前公司每月生產1500臺電視機，并計劃提高產量，試求出每月生產1600臺電視機時，利潤增加多少？解．故當電視機的產量每月從1500臺增加到1600臺時，利潤增加1000美元．件件時的總收益與平均收益．解因為總收益是邊際收益函數在上的定積分，所以，生產x件產品時的總收益函數為．平均收益函數為．當生產這種產品120件時，總收益為．平均收益為．例3（平均供應價格）已知某商品的供應函數為，其中，為某商品供應量，P為該商品的價格（單位：美元），試求在商品供應區(qū)間上的平均供應價格．解在商品供應區(qū)間上，平均供應價格可用定積分計算如下：

．故在供應區(qū)間上，某商品的平均供應價格為68.7美元．例4（有效時段）某娛樂公司把一種娛樂用品安裝在一個公眾活動的地點，分別用和表示該娛樂用品的成本函數與收益函數，其中表示已安裝使用的時間（單位：年）．已知（單位：萬元）．使成立的值稱為該娛樂用品有效時段，其幾何意義如圖6-8所示．圖6-8圖6-8，，，，．這樣，該娛樂用品的有效時段約為3年．超過這個使用時段，該娛樂公司所安裝的娛樂用品是虧本的．試求出在有效時段內，該娛樂公司所取得的全部利潤．解有效時段為，因此該公司所取得的全部利潤為．【學生】掌握定積分在經濟學問題中的應用學習定積分在經濟學問題中的應用，邊做邊講，及時鞏固練習，實現教學做一體化課堂測驗

（15min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學習平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學生進行測試【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節(jié)課知識的印象課堂小結

（3min）【教師】簡要總結本節(jié)課的要點本節(jié)課上大家掌握了廣義積分和定積分在經濟學問題中的應用?！緦W生】總結回顧知識點總結知識點，鞏固印象作業(yè)布置（2min）【教師】布置課后作業(yè)：完成課后習題6-4、6-5【學生】完成課后作業(yè)通過完成作業(yè)鞏固課上所學知識教學反思本節(jié)課的效果較好，對于與實際