概率論試題及答案

試卷一、填空(每小題2分，共10分)設(shè)是三個隨機(jī)事件,則至少發(fā)生兩個可表示為擲一顆骰子，表示“出現(xiàn)奇數(shù)點"，表示“點數(shù)不大于3”,則表示已知互斥的兩個事件滿足，則。設(shè)為兩個隨機(jī)事件,，,則.設(shè)是三個隨機(jī)事件，，,、,則至少發(fā)生一個的概率為.1.2。3.4.5.二、單項選擇(每小題的四個選項中只有一個是正確答案，請將正確答案的番號填在括號內(nèi).每小題2分，共20分)1。從裝有2只紅球，2只白球的袋中任取兩球,記“取到2只白球"，則((B)取到1只白球(D)至少取到1只紅球).)。(A)取到2只紅球(C)沒有取到白球2.對擲一枚硬幣的試驗，“出現(xiàn)正面"稱為((A)隨機(jī)事件(C)不可能事件3.設(shè)A、B為隨機(jī)事件，則().(A)A(C)AB(B)必然事件(D)樣本空間B)B(D)?4.5。6.7。設(shè)和是任意兩個概率不為零的互斥事件，則下列結(jié)論中肯定正確的是().(A)與互斥(C)設(shè)為兩隨機(jī)事件,且，則下列式子正確的是((A)(C)設(shè)相互獨立，則((A)(C)設(shè)是三個隨機(jī)事件，且有，則()。(A)0.1(C)0。8(B)與不互斥(D))。(B)(D))。B)D)(B)0.6(D)0.7進(jìn)行一系列獨立的試驗，每次試驗成功的概率為p,則在成功2次之前已經(jīng)失敗3次的概率為()。(A)p2(1-p)3(B)4p(1-p)3(C)5p2(1-p)3(D)4p2(1-p)39。設(shè)A、B為兩隨機(jī)事件，且，則下列式子正確的是().(A)(B)(C)(D)10。設(shè)事件A與B同時發(fā)生時，事件C一定發(fā)生，貝y()。(A)P(AB)=P(C)(B)P(A)+P(B)-P(C)W1(C)P(A)+P(B)—P(C)三1(D)P(A)+P(B)WP(C)三、計算與應(yīng)用題(每小題8分,共64分)袋中裝有5個白球，3個黑球.從中一次任取兩個。求取到的兩個球顏色不同的概率。10把鑰匙有3把能把門鎖打開。今任取兩把。求能打開門的概率。一間宿舍住有6位同學(xué)，求他們中有4個人的生日在同一個月份概率。50個產(chǎn)品中有46個合格品與4個次品，從中一次抽取3個，求至少取到一個次品的概率。加工某種零件，需經(jīng)過三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分別為0。2，0。1，0.1，并且任何一道工序是否出次品與其它各道工序無關(guān).求該種零件的次品率.已知某品的合格率為0.95，而合格品中的一級品率為0.65。求該產(chǎn)品的一級品率。一箱產(chǎn)品共100件，其中次品個數(shù)從0到2是等可能的。開箱檢驗時，從中隨機(jī)抽取10件，如果發(fā)現(xiàn)有次品，則認(rèn)為該箱產(chǎn)品不合要求而拒收。若已知該箱產(chǎn)品已通過驗收，求其中確實沒有次品的概率。某廠的產(chǎn)品，按甲工藝加工，按乙工藝加工，兩種工藝加工出來的產(chǎn)品的合格率分別為0。8與0.9.現(xiàn)從該廠的產(chǎn)品中有放回地取5件來檢驗，求其中最多有一件次品的概率。四、證明題(共6分)設(shè)，.證明試卷一參考答案一、填空或2。出現(xiàn)的點數(shù)恰為53.與互斥則4。0.6故5.至少發(fā)生一個,即為又由得故二、單項選擇1．2.A3。A利用集合的運算性質(zhì)可得.4．與互斥故5．故6．相互獨立7.且則8.9.B10.B故P(A)+P(B)-P(C)W1三、計算與應(yīng)用題解：設(shè)表示“取到的兩球顏色不同”，則而樣本點總數(shù)故2。解：設(shè)表示“能把門鎖打開”,則，而故3。解：設(shè)表示“有4個人的生日在同一月份"，則而樣本點總數(shù)為故解：設(shè)表示“至少取到一個次品"，因其較復(fù)雜，考慮逆事件=“沒有取到次品”則包含的樣本點數(shù)為。而樣本點總數(shù)為故解：設(shè)“任取一個零件為次品”由題意要求,但較復(fù)雜,考慮逆事件“任取一個零件為正品"，表示通過三道工序都合格,則于是6。解:設(shè)表示“產(chǎn)品是一極品”，表示“產(chǎn)品是合格品"

顯然,則于是即該產(chǎn)品的一級品率為7。解：設(shè)“箱中有件次品”，由題設(shè),有，又設(shè)“該箱產(chǎn)品通過驗收”，由全概率公式，有于是解：依題意，該廠產(chǎn)品的合格率為，于是,次品率為設(shè)表示“有放回取5件，最多取到一件次品”則四、證明題證明由概率的性質(zhì)知則又且故試卷二一、填空(每小題2分，共10分)TOC\o"1-5"\h\z1。若隨機(jī)變量的概率分布為，,則.2。設(shè)隨機(jī)變量，且,則。設(shè)隨機(jī)變量，則。設(shè)隨機(jī)變量,則.5。若隨機(jī)變量的概率分布為則。二、單項選擇(每題的四個選項中只有一個是正確答案，請將正確答案的番號填在括號內(nèi)。每小題2分，共20分)設(shè)與分別是兩個隨機(jī)變量的分布函數(shù)，為使(A)(設(shè)與分別是兩個隨機(jī)變量的分布函數(shù)，為使(A)(C)設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，則()。(A)(C)下列函數(shù)為隨機(jī)變量分布密度的是()。(A)(B)(C)下列函數(shù)為隨機(jī)變量分布密度的是()。(A)(B)(C)(D)設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，,則的概率密度為((A)(C)設(shè)服從二項分布，則()。(A)(C)設(shè)，則().(A)(C)8．設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為,則().(A)2(C)1/29．對隨機(jī)變量來說，如果,則可斷定不服從()(A)二項分布(C)正態(tài)分布是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取()(B)(D)(B)(D)D))。(B)(D)(B)(D)(B)(D)B)1D)4B)指數(shù)分布D)泊松分布10．設(shè)為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，則（）。（A）9（B）6（C）4（D）—3三、計算與應(yīng)用題（每小題8分，共64分）1。盒內(nèi)有12個乒乓球,其中9個是新球，3個是舊球.采取不放回抽取，每次取一個，直到取到新球為止.求抽取次數(shù)的概率分布.車間中有6名工人在各自獨立的工作，已知每個人在1小時內(nèi)有12分鐘需用小吊車。求（1）在同一時刻需用小吊車人數(shù)的最可能值是多少?（2）若車間中僅有2臺小吊車，則因小吊車不夠而耽誤工作的概率是多少？某種電子元件的壽命是隨機(jī)變量，其概率密度為求（1）常數(shù)；（2）若將3個這種元件串聯(lián)在一條線路上,試計算該線路使用150小時后仍能正常工作的概率。某種電池的壽命（單位:小時）是一個隨機(jī)變量，且。求（1）這樣的電池壽命在250小時以上的概率；（2）,使電池壽命在內(nèi)的概率不小于0。9.設(shè)隨機(jī)變量。求概率密度。6。若隨機(jī)變量服從泊松分布，即，且知。求.7。設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為。求和.8。一汽車沿一街道行使，需要通過三個均沒有紅綠燈信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨立，求紅或綠兩種信號燈顯示的時間相等.以表示該汽車未遇紅燈而連續(xù)通過的路口數(shù)。求（1）的概率分布；（2）.四、證明題（共6分）設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為2的指數(shù)分布.證明：在區(qū)間上，服從均勻分布。試卷二

參考答案一、填空6由概率分布的性質(zhì)有即，得。2。,則0。54。010.50.50。25由題設(shè),可設(shè)即..則二、單項選擇（）由分布函數(shù)的性質(zhì),知則，經(jīng)驗證只有滿足，選2。（）由概率密度的性質(zhì),有3。（）由概率密度的性質(zhì),有（）由密度函數(shù)的性質(zhì)，有5。（）是單減函數(shù)，其反函數(shù)為，求導(dǎo)數(shù)得由公式,的密度為()由已知服從二項分布,則又由方差的性質(zhì)知，7。()于是(A)由正態(tài)分布密度的定義,有9。(D)如果時，只能選擇泊松分布.(D)?/X為服從正態(tài)分布N(-1,2),EX=—1.E(2X—1)=-3三、計算與應(yīng)用題解：設(shè)為抽取的次數(shù)只有個舊球，所以的可能取值為：由古典概型，有則1234解：設(shè)表示同一時刻需用小吊車的人數(shù)，則是一隨機(jī)變量，由題意有，，于是的最可能值為，即概率達(dá)到最大的(2)3。解:(1)由可得串聯(lián)線路正常工作的充要條件是每個元件都能正常工作，而這里三個元件的工作是相互獨立的，因此，若用表示“線路正常工作”，則而故4。解：(1)(查正態(tài)分布表)(2)由題意即查表得。5。解：對應(yīng)的函數(shù)單調(diào)增加，其反函數(shù)為，求導(dǎo)數(shù)得，又由題設(shè)知故由公式知：解:，則而由題設(shè)知即可得故查泊松分布表得，7。解:由數(shù)學(xué)期望的定義知，而故解:(1)的可能取值為且由題意，可得即01232)由離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，有四、證明題證明：由已知則又由得連續(xù)，單調(diào),存在反函數(shù)且當(dāng)時，則故即試卷三一、填空(請將正確答案直接填在橫線上。每小題2分，共10分)2.設(shè)隨機(jī)變量和相互獨立，其概率分布分別為TOC\o"1-5"\h\z則。若隨機(jī)變量與相互獨立，且,則服從分布。4。已知與相互獨立同分布，且則.5。設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為、方差，則由切比雪夫不等式有二、單項選擇(在每題的四個選項中只有一個是正確答案，請將正確答案的番號填在括號內(nèi)。每小題2分，共20分)1。若二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為，則系數(shù)()。(B)(C)(D)2。設(shè)兩個相互獨立的隨機(jī)變量和分別服從正態(tài)分布和，則下列結(jié)論正確的是()。(A)(B)(C)(D)3。設(shè)隨機(jī)向量(X，Y)的聯(lián)合分布密度為，貝9()。(A)(X,Y)服從指數(shù)分布(B)X與Y不獨立(C)X與Y相互獨立(D)cov(X,Y)#04。設(shè)隨機(jī)變量相互獨立且都服從區(qū)間［0，1］上的均勻分布，貝下列隨機(jī)變量中服從均勻分布的有()。(A)(B)(C)(D)5。設(shè)隨機(jī)變量與隨機(jī)變量相互獨立且同分布，且,貝下列各式中成立的是()。(A)(B)(C)(D)6．設(shè)隨機(jī)變量的期望與方差都存在,貝下列各式中成立的是().(A)(B)(C)(D)若隨機(jī)變量是的線性函數(shù),且隨機(jī)變量存在數(shù)學(xué)期望與方差，貝與的相關(guān)系數(shù)().(A)(B)(C)(D)設(shè)是二維隨機(jī)變量，貝隨機(jī)變量與不相關(guān)的充要條件是()。(A)(B)(C)(D)設(shè)是個相互獨立同分布的隨機(jī)變量，,貝對于，有()。

TOC\o"1-5"\h\z(A)(B)(C)(D))的密度函數(shù)設(shè),為獨立同分布隨機(jī)變量序列，且xi(i=1,2,…)服從參數(shù)為入的指數(shù)分布，正態(tài)分布N(0,1)的密度函數(shù)為，則().三、計算與應(yīng)用題(每小題8分，共64分)1。將2個球隨機(jī)地放入3個盒子，設(shè)表示第一個盒子內(nèi)放入的球數(shù)，表示有球的盒子個數(shù).求二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布.2。設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為確定的值；求.3。設(shè)的聯(lián)合密度為(1)求邊緣密度和；(2)判斷與是否相互獨立.4。設(shè)的聯(lián)合密度為求的概率密度.5。設(shè)，,且與相互獨立.求(1)的聯(lián)合概率密度；(2)；(3).6。設(shè)的聯(lián)合概率密度為求及.7。對敵人陣地進(jìn)行100次炮擊.每次炮擊命中目標(biāo)的炮彈的數(shù)學(xué)期望是4，標(biāo)準(zhǔn)差是1.5。求100次炮擊中有380至420課炮彈命中目標(biāo)的概率.8。抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時，如果發(fā)現(xiàn)次品數(shù)多于10個,則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受.問應(yīng)檢查多少個產(chǎn)品才能使次品率為10%的這批產(chǎn)品不被接受的概率達(dá)0.9。四、證明題(共6分)設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在，證明隨機(jī)變量與任一常數(shù)的協(xié)方差是零.試卷三

參考解答一、填空1.由聯(lián)合分布律的性質(zhì)及聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系得2.3。相互獨立的正態(tài)變量之和仍服從正態(tài)分布且，4。5.二、單項選擇1。(B)由即選擇(B)。2。(B)由題設(shè)可知，故將標(biāo)準(zhǔn)化得選擇(B)。3。(C).選擇(C).4。(C)???隨機(jī)變量相互獨立且都服從區(qū)間［0,1］上的均勻分布，則.選擇(C).5。(A)選擇(A)。6。(A)???由期望的性質(zhì)知??選擇(A)。

7。(D)選擇(D)。8。(B)與不相關(guān)的充要條件是即則選擇(B).9。(C)???選擇(C).10。(A)xi(i=1,2,…)服從參數(shù)為入的指數(shù)分布，貝y故選擇(A).三、計算與應(yīng)用題1。解顯然的可能取值為；的可能取值為注意到將個球隨機(jī)的放入個盒子共有種放法，貝有即的聯(lián)合分布律為2。解由概率密度的性質(zhì)有可得(2)設(shè)，貝3.解(1)即即，當(dāng)時故隨機(jī)變量與不相互獨立。4