李慶揚-數(shù)值分析第五版第5章習題答案

第5章復習與思考題1、用高斯消去法為什么要選主元？哪些方程組可以不選主元？答：使用高斯消去法時，在消元過程中可能出現(xiàn)的情況，這時消去法無法進行；即時主元素，但相對很小時，用其做除數(shù)，會導致其它元素數(shù)量級的嚴重增長和舍入誤差的擴散，最后也使得計算不準確。因此高斯消去法需要選主元，以保證計算的進行和計算的準確性。當主對角元素明顯占優(yōu)（遠大于同行或同列的元素）時，可以不用選擇主元。計算時一般選擇列主元消去法。2、高斯消去法與LU分解有什么關系？用它們解線性方程組Ax=b有何不同？A要滿足什么條件？答：高斯消去法實質(zhì)上產(chǎn)生了一個將分解為兩個三角形矩陣相乘的因式分解，其中一個為上三角矩陣U，一個為下三角矩陣L。用LU分解解線性方程組可以簡化計算，減少計算量，提高計算精度。A需要滿足的條件是，順序主子式（1,2，…，n-1）不為零。3、楚列斯基分解與LU分解相比，有什么優(yōu)點？楚列斯基分解是LU分解的一種，當限定下三角矩陣L的對角元素為正時，楚列斯基分解具有唯一解。4、哪種線性方程組可用平方根法求解？為什么說平方根法計算穩(wěn)定？具有對稱正定系數(shù)矩陣的線性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解過程中元素的數(shù)量級不會增長，切對角元素恒為正數(shù)，因此，是一個穩(wěn)定的算法。5、什么樣的線性方程組可用追趕法求解并能保證計算穩(wěn)定？對角占優(yōu)的三對角方程組6、何謂向量范數(shù)？給出三種常用的向量范數(shù)。向量范數(shù)定義見p53，符合3個運算法則。正定性齊次性三角不等式設為向量，則三種常用的向量范數(shù)為：（第3章p53,第5章p165）7、何謂矩陣范數(shù)？何謂矩陣的算子范數(shù)？給出矩陣A=(aij)的三種范數(shù)||A||1，||A||2，||A||∞，||A||1與||A||2哪個更容易計算？為什么？向量范數(shù)定義見p162，需要滿足四個條件。正定條件齊次條件三角不等式相容條件矩陣的算子范數(shù)有從定義可知，更容易計算。8、什么是矩陣的條件數(shù)？如何判斷線性方程組是病態(tài)的？答：設為非奇異陣，稱數(shù)（）為矩陣A的條件數(shù)當時，方程是病態(tài)的。9、滿足下面哪個條件可判定矩陣接近奇異？（1）矩陣行列式的值很小。（2）矩陣的范數(shù)小。（3）矩陣的范數(shù)大。（4）矩陣的條件數(shù)小。（5）矩陣的元素絕對值小。接近奇異陣的有（1）、（2）注：矩陣的條件數(shù)小說明A是良態(tài)矩陣。矩陣的元素絕對值小，不能說明行列式的值小等。3、設為指標為的初等下三角矩陣（除第列對角元以下元素外，和單位陣相同），即求證當時，也是一個指標為k的初等下三角矩陣，其中為初等置換矩陣。4、試推導矩陣的Crout分解A=LU的計算公式，其中L為下三角矩陣，U為單位上三角矩陣。本題不推導。參見書上例題。P147頁。5、設，其中為三角矩陣。（1）就U為上及下三角矩陣推導一般的求解公式，并寫出算法（2）計算解三角方程組的乘除法次數(shù)（3）設為非奇異矩陣，試推導求的計算公式本題考查求解公式的一般方法，可從第n個元素開始，逐步計算n-1,…1時對應的求解公式。解法，略。6、證明：（1）如果是對稱正定矩陣，則也是對稱正定矩陣（2）如果是對稱正定矩陣，則可以唯一地寫成，其中是具有正對角元的下三角矩陣均是對稱正定矩陣的性質(zhì)。應予以記住。7、用列主元消去法解線性方程組并求出系數(shù)矩陣A的行列式的值使用列主元消去法，有A的行列式為-66方程組的解為X1=1,x2=2,x3=38、用直接三角分解（Doolittle分解）求線性方程組的解本題考查LU分解。解：9、用追趕法解三對角方程組，其中，。解：追趕法實際為LU分解的特殊形式。設U為、單位上三角矩陣。有（1）計算的遞推公式（2）解Ly=f（3）解UX=y10、用改進的平方根法解方程組。本題明確要求使用平方根法進行求解。實際考查的LDU分解。見P157。11、下列矩陣能否分解為（其中L為單位下三角陣，U為上三角陣）？若能分解，那么分解是否唯一。，，。LU分解存在的條件一個可逆矩陣可以進行LU分解當且僅當它的所有子式都非零。如果要求其中的L矩陣（或U矩陣）為單位三角矩陣，那么分解是唯一的。同理可知，矩陣的LDU可分解條件也相同，并且總是唯一的。即使矩陣不可逆，LU仍然可能存在。實際上，如果一個秩為k的矩陣的前k個順序主子式不為零，那么它就可以進行LU分解，但反之則不然。解：因為A的一、二、三階順序主子式分別為1，0，-10，所以A不能直接分解為三角陣的乘積，但換行后可以。因為B的一、二、三階順序主子式分別為1，0，0，所以B不能分解為三角陣的乘積。因為C的一、二、三階順序主子式分別為1，5，1，所以C能夠分解為三角陣的乘積，并且分解是唯一的。12、設，計算A的行范數(shù)，列范數(shù)，2-范數(shù)及F-范數(shù)。本題考查的是矩陣范數(shù)的定義及求法行范數(shù)0.6+0.5=1.1列范數(shù)0.5+0.3=0.82-范數(shù)的計算需要用到特征值，特征值的計算可以使用冪法進行計算，也可以直接求。的最大特征值為0.3690所以2-范數(shù)為0.6074F-范數(shù)0.842613、求證：（a）；（b）。根據(jù)定義求證。。14、設且非奇異，又設為上一向量范數(shù)，定義。試證明是上向量的一種范數(shù)。根據(jù)向量范數(shù)的定義來證明：要求就有正定性，齊次性，三角不等式等性質(zhì)。顯然，、，從而是上向量的一種范數(shù)。15、設為對稱正定，定義，試證明是上向量的一種范數(shù)。根據(jù)向量范數(shù)的定義來證明：要求就有正定性，齊次性，三角不等式等性質(zhì)。顯然，16、設A為非奇異矩陣，求證。因為，所以得證17、矩陣第一行乘以一數(shù)，成為，證明當時，有最小值。本題考查條件數(shù)的計算首先計算A的逆陣，當，取得最小值為2，當取值越大，則最小值為2從而，又當時，。當時，。綜上所述，時最小，這時，即。18、設，計算A的條件數(shù)由可知，，從