大理州南澗縣民族中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(理科)_第1頁(yè)
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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精2016-2017學(xué)年云南省大理州南澗縣民族中學(xué)高二(下)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是最符合題目要求的.)1.若集合A={x∈Z|﹣2<x<2},B={x|y=log2x2},則A∩B=()A.{﹣1,1} B.{﹣1,0,1} C.{1} D.{0,1}2.若復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位),則z的共軛復(fù)數(shù)為()A. B. C. D.3.已知拋物線y=ax2(a>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為1,則a=()A.4 B.2 C. D.4.將函數(shù)y=的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則m的最小值是()A. B. C. D.5.已知λ∈R,向量,則“λ=3”是“”的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件6.如圖中的程序框圖的算法思路來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖,若輸入a,b,i的值分別為6,8,0時(shí),則輸出的i=()A.6 B.5 C.4 D.37.若等比數(shù)列{an},前n項(xiàng)和Sn,且a2a3=2a1,為a4與2a7的等差中項(xiàng),則S4=()A.29 B.30 C.31 D.338.甲、乙、丙3人站到共有7級(jí)的臺(tái)階上,若每級(jí)臺(tái)階最多站2人,同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置,則不同的站法總數(shù)是()A.210 B.84 C.343 D.3369.已知函數(shù)f(x)=log3|x﹣t|是偶函數(shù),記則a,b,c的大小關(guān)系為()A.a(chǎn)<c<b B.a(chǎn)<b<c C.c<a<b D.c<b<a10.如圖為某幾何體的三視圖,則其體積為()A.π+ B.+4 C.π+ D.π+411.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,滿足,其中A,B,C在一條直線上,O為直線AB外一點(diǎn),記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2018的值為()A. B.2017 C. D.201812.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),滿足f′(x)<f(x),且f(﹣x)=f(2+x),f(2)=1,則不等式f(x)<ex的解集為()A.(﹣2,+∞) B.(2,+∞) C.(1,+∞) D.(0,+∞)二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在題中橫線上).13.已知x,y滿足約束條件,求z=(x+1)2+(y﹣1)2的最小值是.14.的展開(kāi)式中,x2項(xiàng)的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)15.已知雙曲線與的一條漸近線被圓(x﹣c)2+y2=4a2截得弦長(zhǎng)為2b(雙曲線的焦距2c),則該雙曲線的離心率為.16.三棱錐A﹣BCD中,AB,AC,AD兩兩垂直,其外接球半徑為2,設(shè)三棱錐A﹣BCD的側(cè)面積為S,則S的最大值為.三.解答題:要求寫(xiě)出計(jì)算或證明步驟(本大題共6小題,共70分,寫(xiě)出證明過(guò)程或演算步驟)17.在公差不為零的等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}中.已知a1=b1=1.a(chǎn)2=b2.a(chǎn)6=b3(1)求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an和等比數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn;(2)求數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和Sn.18.已知a、b、c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,且2asin(C+)=b.(1)求角A的值:(11)若AB=3,AC邊上的中線BD的長(zhǎng)為,求△ABC的面積.19.如圖在直角梯形BB1C1C中,∠CC1B1=90°,BB1∥CC1,CC1=B1C1=2BB1=2,D是CC1的中點(diǎn).四邊形AA1C1C可以通過(guò)直角梯形BB1C1C以CC1為軸旋轉(zhuǎn)得到,且二面角B1﹣CC1﹣A為120°.(1)若點(diǎn)E是線段A1B1上的動(dòng)點(diǎn),求證:DE∥平面ABC;(2)求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值.20.現(xiàn)有4名同學(xué)去參加校學(xué)生會(huì)活動(dòng),共有甲、乙兩類活動(dòng)可供參加者選擇,為增加趣味性,約定:每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪類活動(dòng),擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲類活動(dòng),擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙類活動(dòng).(1)求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲類活動(dòng)的概率;(2)用X,Y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙兩類活動(dòng)的人數(shù).記ξ=|X﹣Y|,求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ).21.已知橢圓A,B滿足:過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)短軸端點(diǎn)的直線的傾斜角為.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),若點(diǎn)A在直線y=2上,點(diǎn)B在橢圓C上,且OA⊥OB,求線段AB長(zhǎng)度的最小值.22.已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx﹣ax+a(a為常數(shù),且為正實(shí)數(shù)).(1)若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

2016—2017學(xué)年云南省大理州南澗縣民族中學(xué)高二(下)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是最符合題目要求的.)1.若集合A={x∈Z|﹣2<x<2},B={x|y=log2x2},則A∩B=()A.{﹣1,1} B.{﹣1,0,1} C.{1} D.{0,1}【考點(diǎn)】1E:交集及其運(yùn)算.【分析】化簡(jiǎn)集合A、B,根據(jù)交集的定義寫(xiě)出A∩B.【解答】解:集合A={x∈Z|﹣2<x<2}={﹣1,0,1},B={x|y=log2x2}={x|x2>0}={x|x<0或x>0},∴A∩B={﹣1,1}.故選:A.2.若復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位),則z的共軛復(fù)數(shù)為()A. B. C. D.【考點(diǎn)】A5:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.【分析】把已知等式變形,利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算求出z,再由共軛復(fù)數(shù)的概念得答案.【解答】解依題意得:,∴的共軛復(fù)數(shù).故選:D.3.已知拋物線y=ax2(a>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為1,則a=()A.4 B.2 C. D.【考點(diǎn)】K8:拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】拋物線y=ax2(a>0)化為,可得.再利用拋物線y=ax2(a>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1,即可得出結(jié)論.【解答】解:拋物線方程化為,∴,∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為,∴,故選D.4.將函數(shù)y=的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則m的最小值是()A. B. C. D.【考點(diǎn)】HJ:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換.【分析】函數(shù)解析式提取2變形后,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù),利用平移規(guī)律得到平移后的解析式,根據(jù)所得的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,即可求出m的最小值.【解答】解:y=cosx+sinx=2(cosx+sinx)=2sin(x+),∴圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=2sin[(x+m)+]=2sin(x+m+),∵所得的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,∴m+=kπ+(k∈Z),由于m>0,則m的最小值為.故選:A.5.已知λ∈R,向量,則“λ=3”是“"的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件【考點(diǎn)】2L:必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【分析】利用向量共線定理即可得出.【解答】解:由?λ(λ﹣1)﹣6=0,解得λ=3或﹣2.∴“λ=3"是“”的充分不必要條件.故選;B.6.如圖中的程序框圖的算法思路來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖,若輸入a,b,i的值分別為6,8,0時(shí),則輸出的i=()A.6 B.5 C.4 D.3【考點(diǎn)】EF:程序框圖.【分析】由循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn),先判斷,再執(zhí)行,分別計(jì)算出當(dāng)前的a,b,i的值,即可得到結(jié)論.【解答】解:模擬執(zhí)行程序框圖,可得:a=6,b=8,i=0,i=1,不滿足a>b,不滿足a=b,b=8﹣6=2,i=2滿足a>b,a=6﹣2=4,i=3滿足a>b,a=4﹣2=2,i=4不滿足a>b,滿足a=b,輸出a的值為2,i的值為4.故選:C.7.若等比數(shù)列{an},前n項(xiàng)和Sn,且a2a3=2a1,為a4與2a7的等差中項(xiàng),則S4=()A.29 B.30 C.31 D.33【考點(diǎn)】8M:等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合.【分析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì),解方程可得首項(xiàng)和公比,運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式,即可得到所求和.【解答】解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,a2a3=2a1,為a4與2a7的等差中項(xiàng),可得a1q?a1q2=2a1,2×=a4+2a7=a1q3+2a1q6,解得q=,a1=16,則S4===30.故選:B.8.甲、乙、丙3人站到共有7級(jí)的臺(tái)階上,若每級(jí)臺(tái)階最多站2人,同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置,則不同的站法總數(shù)是()A.210 B.84 C.343 D.336【考點(diǎn)】D9:排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.【分析】由題意知本題需要分組解決,共有兩種情況,對(duì)于7個(gè)臺(tái)階上每一個(gè)只站一人,若有一個(gè)臺(tái)階有2人另一個(gè)是1人,根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果.【解答】解:由題意知本題需要分組解決,因?yàn)閷?duì)于7個(gè)臺(tái)階上每一個(gè)只站一人有種;若有一個(gè)臺(tái)階有2人另一個(gè)是1人共有種,所以根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有不同的站法種數(shù)是種.故選:D.9.已知函數(shù)f(x)=log3|x﹣t|是偶函數(shù),記則a,b,c的大小關(guān)系為()A.a(chǎn)<c<b B.a(chǎn)<b<c C.c<a<b D.c<b<a【考點(diǎn)】3L:函數(shù)奇偶性的性質(zhì).【分析】由f(x)為偶函數(shù),可得t=0,討論x>0時(shí),f(x)遞增,化a=f(log0。30。25),運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,比較π1。5、2、log0.30.25的大小,即可得到a,b,c的大小關(guān)系.【解答】解:函數(shù)f(x)=log3|x﹣t|是偶函數(shù),可得f(﹣x)=f(x),即log3|﹣x﹣t|=log3|x﹣t|,即有|﹣x﹣t|=|x﹣t|恒成立,可得t=0,則f(x)=log3|x|,當(dāng)x>0時(shí),f(x)=log3x為增函數(shù),a=f(log0。34)=f(log0.30。25),c=f(2﹣t)=f(2),由1<log0。30.25<2,π1.5>π>3,即有π1。5>2>log0.30.25,則f(π1.5)>f(2)>f(log0.30。25),即為b>c>a.故選:A.10.如圖為某幾何體的三視圖,則其體積為()A.π+ B.+4 C.π+ D.π+4【考點(diǎn)】L!:由三視圖求面積、體積.【分析】由三視圖可知:該幾何體為一個(gè)圓柱的一半與一個(gè)四棱錐.【解答】解:由三視圖可知:該幾何體為一個(gè)圓柱的一半與一個(gè)四棱錐.則體積V=+=.故選:A.11.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,滿足,其中A,B,C在一條直線上,O為直線AB外一點(diǎn),記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2018的值為()A. B.2017 C. D.2018【考點(diǎn)】85:等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.【分析】推導(dǎo)出a3+a2016=1由數(shù)列{an}是等差數(shù)列,能求出{an}的前2018項(xiàng)和.【解答】解:∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,滿足,其中A,B,C在一條直線上,O為直線AB外一點(diǎn),∴a3+a2016=1∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,∴{an}的前2018項(xiàng)和:S2018=(a1+a2018)=(a3+a2018)=.故選:C.12.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),滿足f′(x)<f(x),且f(﹣x)=f(2+x),f(2)=1,則不等式f(x)<ex的解集為()A.(﹣2,+∞) B.(2,+∞) C.(1,+∞) D.(0,+∞)【考點(diǎn)】6B:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【分析】令g(x)=,利用導(dǎo)數(shù)和已知即可得出其單調(diào)性.再利用函數(shù)的奇偶性和已知可得g(0)=1,即可得出.【解答】解:令g(x)=,則g′(x)=,∵f′(x)<f(x),∴g′(x)<0.∴g(x)在R上單調(diào)遞減.∵f(﹣x)=f(2+x),∴f(x+1)=f(﹣x+1),∴函數(shù)關(guān)于x=1對(duì)稱,∴f(0)=f(2)=1,原不等式等價(jià)為g(x)<1,∵g(0)==1.∴g(x)<1?g(x)<g(0),∵g(x)在R上單調(diào)遞減,∴x>0.∴不等式f(x)<ex的解集為(0,+∞),故選:D.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在題中橫線上).13.已知x,y滿足約束條件,求z=(x+1)2+(y﹣1)2的最小值是.【考點(diǎn)】7C:簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用z的幾何意義以及距離公式進(jìn)行求解即可.【解答】解:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖:z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D(﹣1,1)的距離的平方,由圖象知,D到直線AB:x﹣y+1=0的距離最小,此時(shí)d==,則z=d2=()2=,故答案為:.14.的展開(kāi)式中,x2項(xiàng)的系數(shù)為﹣20.(用數(shù)字作答)【考點(diǎn)】DC:二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.【分析】先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,再令x的冪指數(shù)等于2,求得r的值,即可求得展開(kāi)式中的x2項(xiàng)的系數(shù).【解答】解:在的展開(kāi)式中,它的通項(xiàng)公式為Tr+1=?x5﹣r?(﹣1)r,令5﹣r=2,求得r=3,可得x2項(xiàng)的系數(shù)為﹣=﹣20,故答案為:﹣20.15.已知雙曲線與的一條漸近線被圓(x﹣c)2+y2=4a2截得弦長(zhǎng)為2b(雙曲線的焦距2c),則該雙曲線的離心率為.【考點(diǎn)】KC:雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】求得雙曲線的漸近線方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式,求得a與b的關(guān)系,利用雙曲線的離心率公式即可求得雙曲線的離心率.【解答】解:雙曲線的一條漸近線方程為bx+ay=0,圓(x﹣c)2+y2=4a2的圓心(c,0)到雙曲線的漸近線的距離為:=b,∵漸近線被圓(x﹣c)2+y2=4a2截得的弦長(zhǎng)為2b,∴b2+b2=4a2,∴b2=2a2,即c2=3a2,∴e==.故答案為:.16.三棱錐A﹣BCD中,AB,AC,AD兩兩垂直,其外接球半徑為2,設(shè)三棱錐A﹣BCD的側(cè)面積為S,則S的最大值為8.【考點(diǎn)】LE:棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積.【分析】三棱錐A﹣BCD的三條側(cè)棱兩兩互相垂直,所以把它擴(kuò)展為長(zhǎng)方體,它也外接于球,對(duì)角線的長(zhǎng)為球的直徑,然后利用基本不等式解答即可.【解答】解:設(shè)AB,AC,AD分別為a,b,c,則三棱錐A﹣BCD的三條側(cè)棱兩兩互相垂直,所以把它擴(kuò)展為長(zhǎng)方體,它也外接于球,對(duì)角線的長(zhǎng)為球的直徑,∴a2+b2+c2=16,S=(ab+bc+ac)≤(a2+b2+c2)=8,故答案為:8.三.解答題:要求寫(xiě)出計(jì)算或證明步驟(本大題共6小題,共70分,寫(xiě)出證明過(guò)程或演算步驟)17.在公差不為零的等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}中.已知a1=b1=1.a(chǎn)2=b2.a(chǎn)6=b3(1)求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an和等比數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn;(2)求數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和Sn.【考點(diǎn)】8E:數(shù)列的求和;84:等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;88:等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.【分析】(1)由已知條件結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì),列出方程組,求出等差數(shù)列{an}的公差和等比數(shù)列{bn}的公比,由此能求出等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.(2)由an?bn=(3n﹣2)?4n﹣1,利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和Sn.【解答】解:(1)∵公差不為零的等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}中.a(chǎn)1=b1=1,a2=b2,a6=b3,∴,且d≠0,解得d=3,q=4,∴an=1+(n﹣1)×3=3n﹣2,bn=qn﹣1=4n﹣1.(2)由(1)得an?bn=(3n﹣2)?4n﹣1,∴Sn=1?40+4×4+7×42+…+(3n﹣2)?4n﹣1,①4Sn=4+4×42+7×43+…+(3n﹣2)?4n,②①﹣②,得:﹣3Sn=1+3(4+42+43+…+4n﹣1)﹣(3n﹣2)?4n=1+3×﹣(3n﹣2)?4n=﹣3﹣(3n﹣3)?4n.∴Sn=1+(n﹣1)?4n.18.已知a、b、c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,且2asin(C+)=b.(1)求角A的值:(11)若AB=3,AC邊上的中線BD的長(zhǎng)為,求△ABC的面積.【考點(diǎn)】HX:解三角形.【分析】(1)利用正弦定理,結(jié)合和角的正弦公式,即可求角A的值:(2)若AB=3,AC邊上的中線BD的長(zhǎng)為,求出AC,再求△ABC的面積.【解答】解:(1)∵2asin(C+)=b,∴2sinAsin(C+)=sin(A+C),∴sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC,∴sinAsinC=cosAsinC,∴tanA=,∴A=60°;(2)設(shè)AC=2x,∵AB=3,AC邊上的中線BD的長(zhǎng)為,∴13=9+x2﹣2×3×x×cos60°,∴x=4,∴AC=8,∴△ABC的面積S==6.19.如圖在直角梯形BB1C1C中,∠CC1B1=90°,BB1∥CC1,CC1=B1C1=2BB1=2,D是CC1的中點(diǎn).四邊形AA1C1C可以通過(guò)直角梯形BB1C1C以CC1為軸旋轉(zhuǎn)得到,且二面角B1﹣CC1﹣A為120°.(1)若點(diǎn)E是線段A1B1上的動(dòng)點(diǎn),求證:DE∥平面ABC;(2)求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值.【考點(diǎn)】MT:二面角的平面角及求法;LS:直線與平面平行的判定.【分析】(1)如圖所示,連接B1D,DA1.由已知可得四邊形B1BDC是平行四邊形,B1D∥BC,可得B1D∥平面ABC.同理可得:DA1∥平面ABC.可得平面B1DA1∥平面ABC;即可證明DE∥平面ABC.(2)作C1M⊥C1B1交A1B1于點(diǎn)M,分別以C1M,C1B1,C1C為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面ABC的法向量為=(x1,y1,z1),則,可得.設(shè)平面A1ACC1ABC的法向量為=(x2,y2,z2),則,可得.利用=即可得出.【解答】(1)證明:如圖所示,連接B1D,DA1.由已知可得:,∴四邊形B1BDC是平行四邊形,∴B1D∥BC,而B(niǎo)C?平面ABC,B1D?平面ABC;∴B1D∥平面ABC.同理可得:DA1∥平面ABC.又A1D∩DB1=D,∴平面B1DA1∥平面ABC;DE?平面B1DA1;∴DE∥平面ABC.(2)解:作C1M⊥C1B1交A1B1于點(diǎn)M,分別以C1M,C1B1,C1C為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.則C1(0,0,0),A1(,﹣1,0),B(0,2,1),C(0,0,2),A(,﹣1,1),=(,﹣1,﹣1),=(0,2,﹣1),=(0,0,2).設(shè)平面ABC的法向量為=(x1,y1,z1),則,即,取=(,1,2).設(shè)平面A1ACC1ABC的法向量為=(x2,y2,z2),則,即,取=(1,,0).∴===.∴二面角B﹣AC﹣A1的余弦值是.20.現(xiàn)有4名同學(xué)去參加校學(xué)生會(huì)活動(dòng),共有甲、乙兩類活動(dòng)可供參加者選擇,為增加趣味性,約定:每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪類活動(dòng),擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲類活動(dòng),擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙類活動(dòng).(1)求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲類活動(dòng)的概率;(2)用X,Y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙兩類活動(dòng)的人數(shù).記ξ=|X﹣Y|,求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ).【考點(diǎn)】CH:離散型隨機(jī)變量的期望與方差;CG:離散型隨機(jī)變量及其分布列.【分析】(1)依題意,這4個(gè)人中,每個(gè)人去參加甲游戲的概率為,去參加乙游戲的人數(shù)的概率為.設(shè)“這4個(gè)人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i=0,1,2,3,4),故P(Ai)=()i()4﹣i.由此能求出這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率.(2)ξ的所有可能取值為0,2,4,由于A1與A3互斥,A0與A4互斥,求出相應(yīng)的概率,可得ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解答】解:(1)依題意,這4個(gè)人中,每個(gè)人去參加甲游戲的概率為,去參加乙游戲的人數(shù)的概率為.設(shè)“這4個(gè)人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i=0,1,2,3,4),故P(Ai)=()i()4﹣i.∴這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率為P(A2)=.(2)ξ的所有可能取值為0,2,4,由于A1與A3互斥,A0與A4互斥,故P(ξ=0)=P(A2)=,P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=,P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=,∴ξ的分布列是:ξ024P數(shù)學(xué)期望Eξ=0×+2×+4×=.21.已知橢圓A,B滿足:過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)短軸端點(diǎn)的直線的傾斜角為.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),若點(diǎn)A在直線y=2上,點(diǎn)B在橢圓C上,且OA⊥OB,求線段AB長(zhǎng)度的最小值.【考點(diǎn)】KL:直線與橢圓的位置關(guān)系.【分析】(1)由過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)短軸端點(diǎn)的直線的傾斜角為,求出a,b,由此能求出橢圓C的方程.(2)設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(t,2),(x0,y0),由OA⊥OB知tx0+2y0=0,再由=4,利用基本不等式能求出線段AB長(zhǎng)度的最小值.【解答】解:(1)設(shè)橢圓的短軸端點(diǎn)為(0,﹣b)(若為上端點(diǎn)則傾斜角為鈍角),則過(guò)右焦點(diǎn)與短軸端點(diǎn)的直線的斜率k==tan=1,∴,又,∴a=2

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