大理州南澗縣民族中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（文科）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2016-2017學(xué)年云南省大理州南澗縣民族中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題（本大題共12小題,每小題5分,共60分）1．設(shè)集合U=｛﹣1，0,1,2,3,4，5},A=｛1，2，3}，B={﹣1，0，1,2｝，則A∩（?UB）=（）A．{1,2，3｝ B．{1,2} C．｛3} D．｛2}2．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z=i（z﹣i），則復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)Z在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)x，若x滿足｜x｜≤m的概率為,則實數(shù)m為（)A．0 B．1 C．2 D．34．在等差數(shù)列{an}中,已知a4=5，a3是a2和a6的等比中項，則數(shù)列{an｝的前5項的和為（）A．15 B．20 C．25 D．15或255．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x+2）=f（x）對x∈R恒成立，當(dāng)x∈時，f（x）=2x，則=(）A． B． C． D．16．過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F且斜率為的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)（xA＞xB）,則=（）A． B． C．3 D．27．將正方體切去一個三棱錐得到幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(）A． B． C． D．68．公元263年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時,多邊形的面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”．利用“割圓術(shù)"劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率"．如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)"思想設(shè)計的一個程序框圖,其中n表示圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù),執(zhí)行此算法輸出的圓周率的近似值依次為（參考數(shù)據(jù):≈1。732，sin15°≈0.2588,sin75°≈0。1305）（)A．2.598,3，3.1048 B．2。598，3,3.1056C．2.578，3，3.1069 D．2.588，3，3。11089．關(guān)于函數(shù)f（x）=2cos2+sinx（x∈）下列結(jié)論正確的是（）A．有最大值3，最小值﹣1 B．有最大值2,最小值﹣2C．有最大值3，最小值0 D．有最大值2，最小值010．點(diǎn)A，B,C，D在同一個球的球面上，AB=BC=，∠ABC=90°，若四面體ABCD體積的最大值為3，則這個球的表面積為（)A．2π B．4π C．8π D．16π11．點(diǎn)P是雙曲線的右支上一點(diǎn)，其左,右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線PF1與以原點(diǎn)O為圓心，a為半徑的圓相切于A點(diǎn)，線段PF1的垂直平分線恰好過點(diǎn)F2,則離心率的值為（）A． B． C． D．12．設(shè)函數(shù)f’（x）是定義在（0，π）上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù),有f(x)sinx﹣f’（x）cosx＜0，，b=0,，則（)A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b二、填空題（本大題共4小題，每小題5分,共20分）13．已知菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=60°，點(diǎn)E滿足，則=．14．若x,y∈R,且滿足則z=2x+3y的最大值等于．15．下列命題中，正確的命題序號是．①已知a∈R,兩直線l1：ax+y=1，l2：x+ay=2a，則“a=﹣1"是“l(fā)1∥l2”的充分條件；②命題p：“?x≥0，2x＞x2”的否定是“?x0≥0，2x0＜x02";③“sinα=”是“α=2kπ+,k∈Z"的必要條件；④已知a＞0，b＞0,則“ab＞1"的充要條件是“a＞”．16．已知數(shù)列{an｝滿足a1=2，且，則{an｝的通項公式為．三、解答題（6個大題共70分,寫出必要的解答過程）17．（12分）在△ABC中，角A,B，C所對的邊分別為a，b,c,且2acosC﹣c=2b．(Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ)若c=，角B的平分線BD=，求a．18．(12分）某單位N名員工參加“我愛閱讀”活動，他們的年齡在25歲至50歲之間，按年齡分組：第1組22．（10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為．（Ⅰ）求圓C的圓心到直線l的距離；（Ⅱ)設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A、B．若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，）,求｜PA|+｜PB|．

2016—2017學(xué)年云南省大理州南澗縣民族中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（文科)參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題,每小題5分，共60分）1．設(shè)集合U={﹣1,0，1，2，3，4，5}，A={1，2，3｝,B={﹣1，0，1，2｝，則A∩(?UB）=(）A．{1，2,3｝ B．{1，2} C．｛3｝ D．｛2}【考點(diǎn)】1H：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】利用集合的補(bǔ)集的定義求出集合B的補(bǔ)集；再利用集合的交集的定義求出A∩CUB【解答】解:∵U=｛﹣1，0,1，2，3,4，5}，A=｛1,2,3｝，B=｛﹣1,0，1，2｝，∴?UB={3，4，5}A∩?UB=｛1，2，3}∩{3,4,5}=｛3}故選:C．【點(diǎn)評】本題考查集合的交集、并集、補(bǔ)集的定義并用定義解決簡單的集合運(yùn)算．2．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z=i(z﹣i），則復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)Z在（)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡,求出z的坐標(biāo)得答案．【解答】解：∵z=i（z﹣i）=i?z+1,∴z=，∴復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)Z的坐標(biāo)為（），在第一象限．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．3．在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)x，若x滿足｜x|≤m的概率為,則實數(shù)m為（)A．0 B．1 C．2 D．3【考點(diǎn)】CF：幾何概型．【分析】求解不等式｜x｜≤m，得到﹣m≤x≤m,得其區(qū)間長度，求出區(qū)間的長度，由兩區(qū)間長度比列式得答案．【解答】解:區(qū)間的區(qū)間長度為4．不等式｜x|≤m的解集為，區(qū)間長度為2m,由，得m=1．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查幾何概型，是基礎(chǔ)的計算題．4．在等差數(shù)列｛an}中，已知a4=5，a3是a2和a6的等比中項，則數(shù)列｛an}的前5項的和為（）A．15 B．20 C．25 D．15或25【考點(diǎn)】85:等差數(shù)列的前n項和．【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和等比中項定義,列出方程組,求出a1=﹣1，d=2，由此能求出數(shù)列{an}的前5項的和．【解答】解：∵在等差數(shù)列{an｝中，a4=5,a3是a2和a6的等比中項,∴，解得a1=﹣1,d=2，∴數(shù)列{an｝的前5項的和為：=5×（﹣1）+5×4=15．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的前五項和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．5．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）對x∈R恒成立,當(dāng)x∈時,f（x）=2x，則=（）A． B． C． D．1【考點(diǎn)】3L：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】先確定函數(shù)f（x）的周期為2，再利用函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈時，f(x）=2x，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵f（x+2)=f（x）對x∈R恒成立，∴f（x）的周期為2,（x)是定義在R上的偶函數(shù),∴=f（﹣）=f（）∵當(dāng)x∈時，f（x）=2x,∴f(）=,故選：B．【點(diǎn)評】本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查函數(shù)的周期性,屬于中檔題．6．過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F且斜率為的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)(xA＞xB），則=（)A． B． C．3 D．2【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)出A、B坐標(biāo)，利用拋物線焦半徑公式求出|AB｜，結(jié)合拋物線的性質(zhì)x1x2=2,求出x1=2,x2=，然后求比值即可．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2)，則斜率為，sinα=|AB｜=x1+x2+p=,∴x1+x2==,又x1x2=2可得x1=2，x2=，∴==2．故選D．【點(diǎn)評】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的簡單性質(zhì)，特別是焦點(diǎn)弦問題，解題時要善于運(yùn)用拋物線的定義解決問題．7．將正方體切去一個三棱錐得到幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(）A． B． C． D．6【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個正方體切去一個三棱錐所得的組合體,進(jìn)而得到答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得:該幾何體是一個正方體切去一個三棱錐所得的組合體，正方體的體積為：8，三棱錐的體積為：××2×2×1=，故組合體的體積V=8﹣=，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是棱錐的體積與表面積，棱柱的體積與表面積,簡單幾何體的三視圖，難度中檔．8．公元263年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形的面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”．利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3。14，這就是著名的“徽率”．如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)"思想設(shè)計的一個程序框圖，其中n表示圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，執(zhí)行此算法輸出的圓周率的近似值依次為（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，sin15°≈0。2588,sin75°≈0.1305)（）A．2.598，3,3。1048 B．2.598，3，3。1056C．2。578，3，3.1069 D．2。588,3，3.1108【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】由n的取值分別為6，12,24，代入即可分別求得S．【解答】解:當(dāng)n=6時，S=×6×sin60°=2。598，輸出S=2。598,6＜24，繼續(xù)循環(huán),當(dāng)n=12時，S=×12×sin30°=3，輸出S=3，12＜24，繼續(xù)循環(huán)，當(dāng)n=24時,S=×24×sin15°=3.1056，輸出S=3。1056,24=24，結(jié)束，∴故選B．【點(diǎn)評】本題考查循環(huán)框圖的應(yīng)用,考查了計算能力，注意判斷框的條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．關(guān)于函數(shù)f(x）=2cos2+sinx（x∈）下列結(jié)論正確的是（)A．有最大值3，最小值﹣1 B．有最大值2，最小值﹣2C．有最大值3，最小值0 D．有最大值2，最小值0【考點(diǎn)】GI：三角函數(shù)的化簡求值；H2：正弦函數(shù)的圖象．【分析】利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，x∈時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),求出f（x)的最大值和最小值．【解答】解：函數(shù)f（x）=2cos2+sinx．化簡可得：f（x）=cosx+sinx+1=2sin（x+）+1∵x∈，∴x+∈［，］，可得sin(x+）∈[，1]∴函數(shù)f（x）∈，故選:C．【點(diǎn)評】本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用,利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題．10．點(diǎn)A，B，C,D在同一個球的球面上，AB=BC=，∠ABC=90°，若四面體ABCD體積的最大值為3,則這個球的表面積為（）A．2π B．4π C．8π D．16π【考點(diǎn)】LG:球的體積和表面積．【分析】根據(jù)幾何體的特征，判定外接球的球心,求出球的半徑，即可求出球的表面積【解答】解：根據(jù)題意知,直角三角形△ABC的面積為3．其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點(diǎn)上,設(shè)小圓的圓心為Q，若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S△ABC不變，高最大時體積最大，所以，DQ與面ABC垂直時體積最大，最大值為為S△ABC×DQ=3,即×3×DQ=3,∴DQ=3，如圖．設(shè)球心為O，半徑為R，則在直角△AQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=（）2+（3﹣R）2，∴R=2，則這個球的表面積為：S=4π×22=16π．故選:D．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時四面體ABCD的體積的最大值,是解答的關(guān)鍵，考查等價轉(zhuǎn)化思想思想,是中檔題．11．點(diǎn)P是雙曲線的右支上一點(diǎn)，其左,右焦點(diǎn)分別為F1,F2，直線PF1與以原點(diǎn)O為圓心，a為半徑的圓相切于A點(diǎn)，線段PF1的垂直平分線恰好過點(diǎn)F2，則離心率的值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】KC:雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理可得|PF2｜=|F1F2|=2c，設(shè)PF1的中點(diǎn)為M,由中位線定理可得｜MF2|=2a,再由勾股定理和雙曲線的定義可得4b﹣2c=2a，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得a，c的關(guān)系，即可得到雙曲線的離心率．【解答】解:由線段PF1的垂直平分線恰好過點(diǎn)F2，可得｜PF2|=|F1F2|=2c,由直線PF1與以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、a為半徑的圓相切于點(diǎn)A，可得|OA｜=a,設(shè)PF1的中點(diǎn)為M,由中位線定理可得｜MF2｜=2a,在直角三角形PMF2中，可得｜PM｜==2b，即有|PF1|=4b,由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即4b﹣2c=2a,即2b=a+c,即有4b2=（a+c）2，即4（c2﹣a2)=（a+c）2，可得a=c,所以e==．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查平面幾何中垂直平分線定理和中位線定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．12．設(shè)函數(shù)f'（x)是定義在(0，π）上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，有f（x）sinx﹣f’(x)cosx＜0，，b=0,，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考點(diǎn)】6A：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【分析】令g（x）=f（x)cosx，則g′（x）=f′(x）cosx﹣f（x)sinx＞0,當(dāng)0＜x＜π時，g（x）在（0，π）遞增,即可判斷出結(jié)論．【解答】解:令g(x)=f（x）cosx，則g′(x）=f′(x)cosx﹣f（x)sinx＞0,當(dāng)0＜x＜π時,g（x）在(0，π）遞增,∵＜＜π，∴＜＜，化為:＜0＜，即a＜b＜c．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了構(gòu)造函數(shù)方法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)求值考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13．已知菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=60°，點(diǎn)E滿足，則=0．【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)菱形中的邊角關(guān)系，利用平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積定義，計算即可．【解答】解：如圖所示，菱形ABCD的邊長為2,∠ABC=60°，,∴=+=+，∴=（+）?=?+?=2×2×cos(180°﹣60°）+×2×2=0．故答案為：0．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的數(shù)量積和線性運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題．14．若x，y∈R，且滿足則z=2x+3y的最大值等于15．【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得B（3,3），化目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y為y=﹣x+,由圖可知，當(dāng)直線過B時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為2×3+3×3=15．故答案為：15．【點(diǎn)評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．15．下列命題中，正確的命題序號是①③④．①已知a∈R，兩直線l1：ax+y=1，l2：x+ay=2a，則“a=﹣1"是“l(fā)1∥l2”的充分條件;②命題p：“?x≥0，2x＞x2”的否定是“?x0≥0，2x0＜x02”；③“sinα="是“α=2kπ+，k∈Z”的必要條件；④已知a＞0，b＞0，則“ab＞1”的充要條件是“a＞”．【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①，a=﹣1代入直線方程即可判斷;②，“＞”的否定是“≤”；③“sinα=”不能得到“α=2kπ+，k∈Z",“α=2kπ+，k∈Z”，一定有“sinα=”；④，已知a＞0,b＞0,則“ab＞1”?“a＞"反之也成立．【解答】解：對于①，a=﹣1時，把a(bǔ)=﹣1代入直線方程,得l1∥l2，故正確；對于②,命題p:“?x≥0，2x＞x2”的否定是“?x0≥0,2x0≤x02”故錯；對于③“sinα=”不能得到“α=2kπ+,k∈Z”，“α=2kπ+，k∈Z”，一定有“sinα=”故正確；對于④，已知a＞0，b＞0，則“ab＞1”?“a＞”反之也成立，故正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)評】本題考查了命題真假的判定，涉及到命題的否定，充要條件的判斷,屬于中檔題．16．已知數(shù)列｛an}滿足a1=2，且，則{an}的通項公式為an=n+1．【考點(diǎn)】8H：數(shù)列遞推式．【分析】依題意可得，與已知關(guān)系式作差可得=，可判斷出數(shù)列｛｝是以1為公比的等比數(shù)列,結(jié)合題意可知其首項為=1，利用等比數(shù)列的通項公式即可求得答案．【解答】解：∵，①，②①﹣②得：=an+1﹣an，整理得:=，∴=1，又=1，∴數(shù)列{}是以1為首項，1為公比的等比數(shù)列,∴an=n+1，故答案為：an=n+1．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列遞推式,求得數(shù)列{}是以1為首項，1為公比的等比數(shù)列是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查推理與運(yùn)算能力,屬于中檔題．三、解答題（6個大題共70分，寫出必要的解答過程）17．（12分）（2017?銀川二模）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a，b，c，且2acosC﹣c=2b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若c=，角B的平分線BD=，求a．【考點(diǎn)】HP：正弦定理．【分析】(Ⅰ)由正弦定理、兩角和的正弦公式化簡已知的條件，求出cosA的值，由A的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出角A的值；（Ⅱ）由條件和正弦定理求出sin∠ADB,由條件求出∠ADB，由內(nèi)角和定理分別求出∠ABC、∠ACB，結(jié)合條件和余弦定理求出邊a的值．【解答】解:（Ⅰ）由2acosC﹣c=2b及正弦定理得，2sinAcosC﹣sinC=2sinB,…（2分）2sinAcosC﹣sinC=2sin（A+C）=2sinAcosC+2cosAsi