人教A版第6章平面向量及其應(yīng)用第7章復(fù)數(shù)知識(shí)梳理高二上學(xué)期數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試

第六章平面向量及其應(yīng)用知識(shí)框架知識(shí)框架學(xué)考要求學(xué)考要求(1)理解向量相等的含義，理解向量的幾何表示和基本要素、平面向量運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義。(2)掌握平面向量的數(shù)乘運(yùn)算，理解其幾何意義，理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積。了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。(3)理解平面向量基本定理及其意義，會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算，能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，會(huì)表示兩個(gè)平面向量的夾角，并能用坐標(biāo)表示平面向量共線、垂直的條件。掌握正弦定理、余弦定理及其變形.借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理，并能用余弦定理、正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)明晰知識(shí)點(diǎn)明晰一、向量的有關(guān)概念（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長(zhǎng)度，記作．（3）特殊向量：①零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的．②單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．（4）兩個(gè)向量之間的關(guān)系①按照向量的方向 平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：與任一向量平行．②按照向量的長(zhǎng)度相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．如二、向量的線性運(yùn)算（1）向量的線性運(yùn)算運(yùn)算注意法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法三角形法則：首尾相連三角形法則平行四邊形法則①交換律②結(jié)合律減法三角形法則：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量三角形法則數(shù)乘實(shí)數(shù)的正負(fù)決定方向的同，反。（1）（2）當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，與的方向相反；當(dāng)時(shí)，注：①學(xué)生手寫向量表達(dá)式中的零向量寫成，而不能寫成0．②兩個(gè)向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個(gè)向量共線滿足的條件是：兩個(gè)向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系．三、向量共線定理、平面向量基本定理（1）共線向量定理（一維）如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使．平面向量基本定理（二維）如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使，若不共線，稱叫做表示該平面內(nèi)的所有向量的一個(gè)基底。二、常用結(jié)論二、常用結(jié)論1、向量的三角形法則適用于任意兩個(gè)向量的加法，并且可以推廣到兩個(gè)以上的非零向量相加，稱為多邊形法則．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量．即．2、中線向量定理如圖所示，在中，若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，則中線向量，反之亦正確．雞爪定理（俗稱）三、平面向量的坐標(biāo)表示（1）平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)叫做向量的坐標(biāo)，記作．（2）向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的，即有向量向量點(diǎn)．（3）設(shè)，，則=，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)．四、平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算①已知點(diǎn)，，則，②已知，，則，，二、常用結(jié)論二、常用結(jié)論①減法公式：，常用于向量式的化簡(jiǎn)．②、、三點(diǎn)共線，這是直線的向量式方程．③五、平面向量的數(shù)量積（1）平面向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義投影向量：設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，如圖(1)(2)，eq\o(OA,\s\up6(→))表示向量a，eq\o(OB,\s\up6(→))表示向量b，過(guò)點(diǎn)A作eq\o(OB,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足為點(diǎn)A1.我們將上述由向量a得到向量eq\o(OA1,\s\up6(→))的變換稱為向量a向向量b投影，向量eq\o(OA1,\s\up6(→))稱為向量a在向量b上的投影向量.,向量a在向量b上的投影向量為(|a|cosθ)eq\f(b,|b|).（3）數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量、、和實(shí)數(shù)，則：①；②；③．（4）數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則①．②．③當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．特別地，或．④．⑤．（5）相關(guān)運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算對(duì)比已知非零向量，，為向量、的夾角．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關(guān)系(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)注意(1)兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線；(2)兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線；六、平面幾何中的向量方法用向量法求解平面幾何問(wèn)題的一般步驟“三步曲”：幾何元素向量化→向量運(yùn)算關(guān)系化→運(yùn)算結(jié)果幾何化；幾何元素轉(zhuǎn)化為向量的途徑：基向量法和坐標(biāo)法.二、常用結(jié)論二、常用結(jié)論兩個(gè)常用結(jié)論：①平行四邊形的兩對(duì)角線的平方和=四邊的平方和；②計(jì)劃恒等式；七、余弦定理、正弦定理在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,共6個(gè)元素，則已知其中三個(gè)元素（必含一條邊）求另外三個(gè)元素的過(guò)程叫解三角形。余弦定理：若R為△ABC外接圓的半徑，a2=b2+c22bccosA;b2=c2+a22accosB;c2=a2+b22abcosC；解決的問(wèn)題：①已知兩邊及其夾角求其他元素；③已知兩邊及其一邊的對(duì)角，求第三邊（得到含第三邊的一元二次方程）；余弦定理推論：cosA=b2+c2解決的問(wèn)題：①可以從三角形的三邊計(jì)算出三角形的三個(gè)內(nèi)角．②判斷三角形的形狀。正弦定理asinA=b變形：轉(zhuǎn)化思想①邊化角a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②角化邊sinA=a2R,sinB=b2R,sin解決的問(wèn)題：①一是已知兩角和其中一角的對(duì)邊,求其他邊與角;②二是已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求其他邊與角.面積公式:S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acS△ABC=abc4R=12(a+b+c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑,并可由此計(jì)算R,二、常用結(jié)論二、常用結(jié)論①邊化角,角化邊?a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.②大邊對(duì)大角,大角對(duì)大邊:a>b?A>B?sinA>sinB?cosA<cosB.③合分比:a+b+csinA+sinB+sinC=a+bsin④△ABC內(nèi)角和定理:A+B+C=π.則sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB?c=acosB+bcosA.cosC=－cos(A+B)=－cosAcosB+sinAsinB.⑤sinA+B2=cosC2;cosA⑥在△ABC中,內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列?B=π3,A+C=2π八、幾個(gè)角1.仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi),視線在水平線上方時(shí)與水平線的夾角叫仰角,視線在水平線下方時(shí)與水平線的夾角叫俯角（如①②）方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西,方向角小于90°,如③)坡角:坡面與水平面的夾角(如④,角θ為坡角)第七章復(fù)數(shù)知識(shí)框架知識(shí)框架學(xué)考要求學(xué)考要求（1）了解數(shù)系的擴(kuò)充，掌握各個(gè)數(shù)集之間的關(guān)系，掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義.（2）掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義.知識(shí)點(diǎn)明晰知識(shí)點(diǎn)明晰復(fù)數(shù)的概念形如z=a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，a，b分別是它的實(shí)部和虛部，叫虛數(shù)單位，滿足復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，其計(jì)算公式復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．復(fù)數(shù)的分類其中，兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．互為共軛的兩個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的。復(fù)數(shù)相等若a＋bi＝c＋di（a，b，c，d∈R）a=c,且b=d。（兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn)）復(fù)數(shù)的幾何意義(1)(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算：（a＋bi）±（c＋di）=（a±c）+（b±d）i；（a,b,c,d∈R）(2)復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算．(3)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵一般是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，目的是使得分母實(shí)數(shù)化（有時(shí)可以乘以非共軛復(fù)數(shù)）.常用結(jié)論①當(dāng)時(shí)，．②．③；；④|z1·z2|=|z1|·|z2|;z1z2=|z1||z2|⑤(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.注意：(1)兩個(gè)虛數(shù)不能比較大?。?2)利用復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di列方程時(shí)，注意a，b，c，d∈R的前提條件．(3)在復(fù)數(shù)計(jì)算的