雙曲線性質(zhì)有關(guān)性質(zhì)推論歸納共92條(高三數(shù)學(xué))

雙曲線1.IIPFI-1PF11=2a122.x2y2.標(biāo)準(zhǔn)方程：---=1

a2b23.1.點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的內(nèi)角..PT平分△PFJ2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點..以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交..以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓外切..設(shè)A1、A2為雙曲線的左、右頂點，則△PFJ2在邊PF2(或PF1)上的旁切圓，必與A1A2所在的直線切于A2(或A1).TOC\o"1-5"\h\zx2 y29雙曲線區(qū)一卷=1(a>0，b>0)的兩個頂點為外-a，0)，42(a，0),與y軸平行的直線交雙曲線于pi、p2時x2 y2A1P1與廿2交點的軌跡方程是a+不=1x2y2 xxyy.若P(x,y)在雙曲線一-2-=1(a>0,b>0)上，則過P的雙曲線的切線方程是--2=1.000 a2b2 0 a2 b2x2y2.若P(x,y)在雙曲線一-J=1(a>0,b>0)外，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為p、P,，則切點000 a2b2 1 2弦PP,的直線方程是XoX-yoy=1.12 a2 b2x2y2 b2.AB是雙曲線一--—=1(a>0,b>0)的不平行于對稱軸且過原點的弦，M為AB的中點，則k-k=—.a2b2 OM4Ba2x2y2 xxyyx2y2.若P(x,y)在雙曲線一一丁=1(a>0,b>0)內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的萬程是+-廣=。-產(chǎn).TOC\o"1-5"\h\z000 a2b2 a2b2 a2 b2x2y2 x2y2xxyy.若P(x,y)在雙曲線一-2-=1(a>0,b>0)內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是一-J=-一了.000 a2b2 a2b2 a2b2x2y2 1 1 1 1.若PQ是雙曲線一--—=1(b>a>0)上對中心張直角的弦，則一+一=一- (r=IOPI,r=IOQI).a2b2 r2r2a2b21 212x2y2.若雙曲線——J=1(b>a>0)上中心張直角的弦L所在直線方程為4x+By=1(AB豐0),則(1)a2b2114n, 2ja4A2+b4B2TOC\o"1-5"\h\z---=A2+B2;(2)L= .a2b2 Ia2A2-b2B2I_ , _ ,a2+b2八 -.給定雙曲線C：b2x2-a2y2=a2b2(a>b>0),C：b2x2-a2y2=( —ab)2,則(i)對C上任意給定1 2 a2-b2 1_一 a2+b2 a2+b2的點P(x,y)，它的任一直角弦必須經(jīng)過C上一定點M((--x,---y).000 2 a2-b20 a2-b20(ii)對C上任一點P'(x',y')在C上存在唯一的點M，，使得M，的任一直角弦都經(jīng)過P，點.2 000 1 0x2 y218.設(shè)P(x,y)為雙曲線一---=1(a>0,b>0)上一點，PP,為曲線C的動弦，且弦P.PVP.P?斜率存在，記000 a2 b2 12 0102

-- 1+mb2為埠k，則直線PR通過定點M(mx0,-myo)(m豐1)的充要條件是鼠上=—-a.x2y2?過雙曲線-二1(a>0，b>o)上任一點4x0,yo)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B工兩點，b2x則直線BC有定向且k=-一0(常數(shù)).BC a2y0x2y2TOC\o"1-5"\h\z.雙曲線一-J=1(a>0,b>o)的左右焦點分別為F,F，點P為雙曲線上任意一點/FPF=丫，則雙

a2b2 1 2 1 2Y ~a' ,Vb2 丫、曲線的焦點角形的面積為s =b2coU-,P(-\：c2+b2tan21,_cotL).%pf2 2c\ 2c2/PFF=a12 ,/PFF=a12 ,.若P為雙曲線瓦-加=1(?°,40)右(或左)支上除頂點外的任一點斤F2是焦點,c—a aB/PFFc—a aB/PFF=B,則U =tan—cot—2i c+a 2 2(或c-aBa=tancot—)2 2x2y2TOC\o"1-5"\h\z.雙曲線——--=1(a>0,b>o)的焦半徑公式：(F(—c,0),F(c,0)a2b2 1 2當(dāng)M(x,y)在右支上時，IMF1=ex+a,IMF1=ex—a.00 1 0 2 0當(dāng)M(x,y)在左支上時，IMFI=—ex+a,IMFI=—ex—a.00 1 0 2 0x2y2.若雙曲線——--=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為FjF.，左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)a2b2 1 21<eW%；'2+1時，可在雙曲線上求一點P,使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項.x2y2.P為雙曲線——丁=1(a>0,b>0)上任一點,FVF?為二焦點，A為雙曲線內(nèi)一定點，則a2b2 12IAF21—2a<IPAI+IPqI,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,P三點共線且P和A,F2在y軸同側(cè)時，等號成立.x2y2 (a2+b2)2.雙曲線———=1(a>0,b>0)上存在兩點關(guān)于直線l：y=k(x—x)對稱的充要條件是x2> ——.a2b2 0 0 a2—b2k2.過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直..過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.TOC\o"1-5"\h\z「x=asec3 1.P是雙曲線< 7 (a>0,b>0)上一點，則點P對雙曲線兩焦點張直角的充要條件是e2=； .[y=btan3 1—tan2中x2y2 x2y2.設(shè)A,B為雙曲線———=k(a>0,b>0,k>0,k豐1)上兩點，其直線AB與雙曲線—---=1相交于a2b2 a2b2P,Q，則AP=BQ.1_(x2_y2)1—( - ) x2y2 a2b2 -， b2x2.在雙曲線—一4=1中，定長為2m(m)0)的弦中點軌跡方程為m2= a-b—，其中tana=———a2b2 cos2asin2a a2y2b2ab2當(dāng)y=0時,a=90.TOC\o"1-5"\h\zx2 y2.設(shè)S為雙曲線——j-=1(a>0,b>o)的通徑，定長線段L的兩端點A,B在雙曲線上移動，記|AB|=l,a2b2a2l cM(x,y)是ab中點，則當(dāng)l2①S時，有(x) =一+—(c2=a+b2,e=—);當(dāng)l〈①S時，有0 0 0minc2e a

(x) -a—<4b2+12.0min2bx2y2.雙曲線一---=1(a>0,b>0)與直線Ax+By+C=0有公共點的充要條件是A2a2-B2b2<C2.a2b2(x-x)2 (y-y)2.雙曲線-——二-uJ-1(a>0,b>0)與直線Ax+By+C=0有公共點的充要條件是a2 b2A2a2-B2b2<(Ax+By+C)2.00x2y2sina±(siny-sinP).設(shè)雙曲線a2-正=1(a>0,b>0)sina±(siny-sinP)中，記/FPF-a,/PFF-P,/FFP-y，則有TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 2 12 12x2y2.經(jīng)過雙曲線--J=1(a>0,b>0)的實軸的兩端點A和A的切線，與雙曲線上任一點的切線相交于a2b2 1 2P和P，則IPAI-IPA1=b2.12 1 2x2y2.已知雙曲線—---=1(b>a>0),O為坐標(biāo)原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且0P，OQ.(1)a2b21 1 1 1 4a2b2 a2b2+ =-- ;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值為^ ;(3)S 的最小值是^ .IOP|2IOQ|2a2b2 b2-a2 △0PQ b2-a2x2y2.MN是經(jīng)過雙曲線--j=1(a>0,b>0)過焦點的任一弦(交于兩支)，若AB是經(jīng)過雙曲線中心O且平a2b2行于MN的弦，則IABI2-2aIMNI.x2y2.MN是經(jīng)過雙曲線一--=1(a>b>0)焦點的任一弦(交于同支)，若過雙曲線中心O的半弦0P工MN,a2b22 1 11貝U - ————aIMNIIOPI2a2b2x2y2.設(shè)雙曲線--J=1(a>0,b>0),M(m,o)為實軸所在直線上除中心，頂點外的任一點，過M引一條直a2b2a2線與雙曲線相交于P、Q兩點，則直線A/、A2Q(A1A2為兩頂點)的交點N在直線1：x=—上..設(shè)過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點，則MFXNF..過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q,A1>A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M,A2P和A1Q交于點N,則MFXNF.x2y2.設(shè)雙曲線方程一-f-=1，則斜率為k(kW0)的平行弦的中點必在直線1：y=kx的共軛直線y=k'x上，而a2b2b2且kk'=一.a2x2y2.設(shè)A、B、C、D為雙曲線一一二=1(a>0,b>o)上四點,AB、CD所在直線的傾斜角分別為a,P，直線a2b2IPAI?IPBI b2cos2P-a2sin2PAB與CD相交于P,且P不在雙曲線上，則 = .IPCI-IPDIb2cos2a-a2sin2ax2y2.已知雙曲線一--=1(a>0,b>0),點P為其上一點F,F‘為雙曲線的焦點，/FPF的外(內(nèi))角平

a2b2 1 2 1 2分線為1，作［、F2分別垂直1于R、S,當(dāng)P跑遍整個雙曲線時，R、S形成的軌跡方程是

x2+y2=a2({a3b(x-c)[(a2+b2)x-b2c]}2+[a4c2(x-c)y]2=(ab3c2y2)2).則CD與雙曲線r相切的充要條件是D為EF的中點.BC于E和F,又D為l上一點，則CD與雙曲線r相切的充要條件是D為EF的中點.BC于E和F,又D為l上一點，x2y246.過雙曲線一--=1a2b2|PF|e線交x軸于P,則=-.|MN|2(a>0,b>0)的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分x2y2 b2x.設(shè)A(%吊)是雙曲線--J=1(a>0,b>0)上任一點，過A作一條斜率為一的直線L,又設(shè)d是11 a2b2 a2y1原點到直線L的距離,〈,1分別是A到雙曲線兩焦點的距離，則反d=ab.x2 y2 x2y2.已知雙曲線--J=1(a>0,b>0)和—一—，(0<^<1)，一條直線順次與它們相交于A、B、a2 b2 a2b2x249.已知雙曲線一-

a2a2x249.已知雙曲線一-

a2a2+b2則x> 或x<-0a 0y2TOC\o"1-5"\h\zJ=1(a>0,b>0),A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(x,0),b2 0a2+b2x2y2.設(shè)P點是雙曲線--j=1(a>0,b>0)上異于實軸端點的任一點兒、F,為其焦點記/FPF=0,則1(1)a2b2 12 12 2b2 VIPFIIPF1= -.(2)5 =b2cotL.1 21-cos0 呼F2 2設(shè)過雙曲線的實軸上一點B(m,o)作直線與雙曲線相交于P、Q兩點，A為雙曲線實軸的左頂點，連結(jié)APa-ma2和AQ分別交相應(yīng)于過B點的直線MN：x=n于M,N兩點，則/MBN=90O =-- —.a+m b2(n+a)2x2y2L是經(jīng)過雙曲線——=1(a>0,b>0)焦點F且與實軸垂直的直線，A、B是雙曲線實軸的兩個焦點，ea2b21 1 ab是離心率，點PeL，若/EPF=a，則a是銳角且sina<一或a<arcsin (當(dāng)且僅當(dāng)IPHI=一時取等號).ee cx2y2L是經(jīng)過雙曲線一--—=1(a>0,b>0)的實軸頂點A且與x軸垂直的直線，E、F是雙曲線的準(zhǔn)線與xa2b211軸交點，點PeL,e是離心率，/EPF=a,H是L與X軸的交點c是半焦距，則a是銳角且sina<—或a<arcsin—eeab(當(dāng)且僅當(dāng)IPAI=一時取等號).cx2y2L是雙曲線--J=1(a>0,b>0)焦點F且與x軸垂直的直線，E、F是雙曲線準(zhǔn)線與x軸交點，H是La2b2 111與x軸的交點，點PeL,/EPF=a，離心率為e,半焦距為c,則a為銳角且sina<—或a<arcsin—(當(dāng)e2 e2.—.b- 且僅當(dāng)IPFI=-aa2+c2時取等號).1cx2y2已知雙曲線--j=1(a>0,b>0),直線L通過其右焦點F?且與雙曲線右支交于A、B兩點，將A、Ba2b2 2，「一，一一，(2a2+b2)2與雙曲線左焦點F連結(jié)起來，則IFAI-IFBI>^ L(當(dāng)且僅當(dāng)AB±x軸時取等號).1 1 1 a2

x2y2.設(shè)A、B是雙曲線一-^-=1(a>0,b>0)的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，/PAB=。,/PBA=0,a2b22ab21cosaI/BPA=y,c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有⑴IPA1= -.(2)tanatan0=1-e2.⑶Ia2-c2cos2y|SAPAB2a2b2 coty.SAPABb2+a2x2y2.設(shè)A、B是雙曲線--J=1(a>0,b>0)實軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)(含焦點的區(qū)域)、外部的兩點，a2b2且x、x的橫坐標(biāo)x-x=a2,(1)若過A點引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，則/PBA=/QBA；(2)AB AB若過B引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，則/PBA+ZQBA=180.x2y2.設(shè)A、B是雙曲線一—1=1(a>0,b>0)實軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)(含焦點的區(qū)域)，外部的兩點，a2b2(1)若過A點引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，(若BP交雙曲線這一支于兩點，則P、Q不關(guān)于x軸對稱)，且/PBA=/QBA,則點A、B的橫坐標(biāo)x、x滿足x?x=a2；(2)若過B點引直線與雙曲線這一支相交于P、AB ABQ兩點，且/PBA+ZQBA=180，則點a、b的橫坐標(biāo)滿足x-x=a2.ABx2y2.設(shè)A,A是雙曲線—-2-=1的實軸的兩個端點，QQ'是與AA'垂直的弦，則直線AQ與AQ'的交點px2y2的軌跡是雙曲線一+y-=1a2b2x2y260.過雙曲線一--—=1a2b2x2y260.過雙曲線一--—=1a2b2(a>0,b>0)x2y2.到雙曲線一--=1a2b2圓(x土ec)2+y2=(eb)2.(a>0,b>0)x2 y2.到雙曲線一--=1a2 b2是姊妹圓(x土a)2+>2=b2.(a>0,b>0)x2 y2.到雙曲線一--=1a2 b2(a>0,b>0)的右焦點尸作互相垂直的兩條弦AB、皿則正-MAB1+1°|c-a兩焦點的距離之比等于—(c為半焦距)的動點M的軌跡是姊妹c-a的實軸兩端點的距離之比等于(c為半焦距)的動點M的軌跡c-a的兩準(zhǔn)線和x軸的交點的距離之比為(c為半焦距)的動點的軌跡是姊妹圓(x土a)2+y2=(b)2(e為離心率).ex2y2.已知P是雙曲線--J=1(a>0,b>0)上一個動點，A',A是它實軸的兩個端點，且AQLAP,AQ1AP,a2b2x2b2y2則Q點的軌跡方程是—--=1.a2 a4.雙曲線的一條直徑(過中心的弦)的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和實軸之長的比例中項.x2y2 b2x.設(shè)雙曲線一-"=1(a>0,b>0)實軸的端點為A,A',P(x,y)是雙曲線上的點過P作斜率為一1的直a2b2 11 a2y1線l，過A,A分別作垂直于實軸的直線交l于M,M'，則IAMIIA，M'I=b2.(2)四邊形MAA’M，面積的最小值是2ab.x2y2.已知雙曲線一一丁=1(a>0,b>0)的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點E，過雙曲線右焦點F的直線與雙曲線a2b2相交于A、B兩點，點C在右準(zhǔn)線l上，且BC1x軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點.，…(X-a)2y2OA、OB是雙曲線 --—=1(a>0,b>0,且a豐b)的兩條互相垂直的弦，O為坐標(biāo)原點，則(1)a2 b22ab2直線AB必經(jīng)過一個定點(^ ,0).(2)以O(shè)A、OB為直徑的兩圓的另一個交點Q的軌跡方程是b2-a2ab2 ab2(X—~ )2+y2-(: )2(X00).b2-a2 b2-a2(X-a)2y2P(m,n)是雙曲線1——-—=1(a>0,b>0)上一個定點，PA、PB是互相垂直的弦，則(1)直線a2 b2,2ab2+m(b2-a2)n(a2+b2)、AB必經(jīng)過一個定點(——一 -,-- -).(2)以PA、PB為直徑的兩圓的另一個交點Q的軌跡方程是b2-a2 b2-a2/ab2-a2m、 / b2n、 a2[b4+n2(a2+b2)](x- )2+(y- )2= (x豐m且y豐n).b2-a2 b2-a2 (b2-a2)2TOC\o"1-5"\h\z如果一個雙曲線虛半軸長為b,焦點F、F,到直線L的距離分別為d_,、d,，那么(1)dd=b2，且F、F1 2 1 2 12 1，在L同側(cè)o直線l和雙曲線相切，或L是雙曲線的漸近線.(2)dd>b2，且F、F,在L同側(cè)O直線L和雙曲2 12 1 2線相離，(3)dd<b2，或F_,、F9在L異側(cè)O直線L和雙曲線相交.12 1 2x2y271.AB是雙曲線一-—=1(a>0,b>0)的實軸，N是雙曲線上的動點，過N的切線與過A、B的切線交a2b2于C、D兩點，則梯形ABDC的對角線的交點M的軌跡方程是X2-4a2y2=1(y豐0).x2y2.設(shè)點P(X,y)為雙曲線一—-1(a>0,b>0)的內(nèi)部((含焦點的區(qū)域))一定點，AB是雙曲線過定點00 a2b2P(X,y)的任一弦.00(b2X2-a2y2)-a2b2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"(1)如a>b，則當(dāng)弦AB垂直于雙曲線實軸所在直線時(IPAI?IPBI)= 0 4 .min a2(b2X2-a2y2)-a2b2\o"CurrentDocument"(2)如a<b，則當(dāng)弦ab平行(或重合)于雙曲線實軸所在直線時,(IPAI-IPBI)=--0一-V .min b2.雙曲線焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以雙曲線實軸為直徑的圓相外切..雙曲線焦三角形的內(nèi)切圓必切長軸于非焦頂點同側(cè)的實軸端點..雙曲線兩焦點到雙曲線焦三角形內(nèi)切圓的切線長為定值a+c與a-c..雙曲線焦三角形的非焦頂點到其內(nèi)切圓的切線長為定值a-c..雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點..雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e..雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到雙曲線中心的比例中項..雙曲線焦三角形中,雙曲線中心到內(nèi)點的距離、內(nèi)點到同側(cè)焦點的距離、半焦距及外點到同側(cè)焦點的距離成比例..雙曲線焦三角形中,半焦距、外點與雙曲線中心連線段、內(nèi)點與同側(cè)焦點連線段、外點與同側(cè)焦點連線段成比例..雙曲線焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的內(nèi)角平分線引垂線,則雙曲線中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行..雙曲線焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點內(nèi)角平分線引垂線,則雙曲