均值不等式證明方法

1/1均值不等式的證明方法柯西證明均值不等式的方法byzhangyuong（數(shù)學(xué)之家）

本文主要介紹柯西對(duì)證明均值不等式的一種方法，這種方法極其重要。一般的均值不等式我們通?？紤]的是nnGA≥:一些大家都知道的條件我就不寫(xiě)了

n

nn

xxxn

xxx2121≥

+++

我曾經(jīng)在《幾個(gè)重要不等式的證明》中介紹過(guò)柯西的這個(gè)方法，現(xiàn)在再次提出：

8444844)(:

4422)(abcdefgh

efghabcdhgfedcbaabcd

abcd

cdabdcbadcba≥+≥+++++++=≥+≥+++=+++八維時(shí)二維已證，四維時(shí)：

這樣的步驟重復(fù)n次之后將會(huì)得到

n

nn

xxxxxxn

2

221221(2)

...≥

+++

令A(yù)n

xxxxxxxxxxn

nnnnn

=+++=

=====++;,...,2122111

由這個(gè)不等式有

n

n

n

n

nnn

nnn

A

xxxA

xxxA

nnAA2

121

212

221)..(..2

)2(-

-=≥

-+=

即得到

n

nn

xxxn

xxx2121≥

+++

這個(gè)歸納法的證明是柯西首次使用的，而且極其重要，下面給出幾個(gè)競(jìng)賽題的例子：

例1：

1

1

12101(1,2,...,)11(...)n

iii

n

nn

ainaaaa=≤≤==

=

=

=

++≥--∑∑∑∑∑∏

已知個(gè)實(shí)數(shù)都記，求證下述不等式成立：

要證明這題，其實(shí)看樣子很像上面柯西的歸納使用的形式

其實(shí)由均值不等式，以及函數(shù)1ln1

x

x

efxe+=-是在R上單調(diào)遞減

因此

1(

)1

n

RSTUVRSTUVRSTUV≥

=

+≤

-

我們要證明：

1

1

1

n

iiiiiiiii

i

i

rstuvrstuv

=+≥

-∏證明以下引理：

1

1

1

n

n

iii

xx

=+≥-∏

2

12122

121212122

12121212121212122

12122112(

)1

1

(1)(1)

2(1)(1)(1)2(1)

(1)(1)2(1)11(

)(

)

1

1

iixxnxxAAxxxxxxxxAxxxxAxxxxxxxxAxxxxAxxAxxxGxG++=?≥--=

?+++++++-+++≥+--++--++--?++≥+++?--時(shí)，令明顯成立

因

此22

2

21

2

2

1

1(

)1

1(

)

1

1(

)1

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nin

n

n

iiiGGGGG

GGxx==+≥=

-+=-+≥-∏∏，因此

所以原題目也證畢了

這種歸納法威力非常強(qiáng)大，用同樣方法可以證明Jensen:

)2

(

2

)

(2

121xxfxfxf+≥+，則四維：

)4

(

4)2

(

2)2

(

2)(4

3214

32

14321xxxxfxxfxxfxfxfxfxf+++≥+++≥+++

始終進(jìn)行n次有

)2

...(

2

)

(...)(221221n

n

n

nxxxfxfxfxf+++≥+++,

令A(yù)n

xxxxxxxxxxn

nnnnn

=+++=

=====++;,...,2122111

有

)2

)2((

2

)

2(...)(1AfA

nnAfAfnxfxfn

n

n

n

n=-+≥-+++

所以得到

)...(

)

(...)(2121n

xxxfn

xfxfxfn

n+++≥+++