隨機(jī)滯回環(huán)參數(shù)多自由度非線性隨機(jī)系統(tǒng)可靠性分析

隨機(jī)滯回環(huán)參數(shù)多自由度非線性隨機(jī)系統(tǒng)可靠性分析

事實(shí)上，由于負(fù)荷的動(dòng)態(tài)特性、參數(shù)（如頻率、振幅等）的隨機(jī)性和結(jié)構(gòu)本身材料的分散、幾何非線性等因素的影響，動(dòng)態(tài)參數(shù)特征的動(dòng)態(tài)隨機(jī)結(jié)構(gòu)比靜態(tài)隨機(jī)結(jié)構(gòu)復(fù)雜得多。因此，從項(xiàng)目的實(shí)際情況和需要出發(fā)，分析和研究動(dòng)態(tài)隨機(jī)結(jié)構(gòu)的特征具有明顯的現(xiàn)實(shí)意義?？煽啃允茄芯抗こ探Y(jié)構(gòu)質(zhì)量的一個(gè)重要方面，越來越受到重視。自freu提名提出“結(jié)構(gòu)安全”一文以來，可靠性理論和實(shí)踐取得了驚人的發(fā)展和普及。然而，關(guān)于動(dòng)態(tài)隨機(jī)沉降動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的可靠性分析仍然需要更好的解決。相關(guān)失敗模式問題一直是系統(tǒng)可可靠分析領(lǐng)域的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。文獻(xiàn)[2.3]應(yīng)用概率密度發(fā)展理論，深入研究了隨機(jī)結(jié)構(gòu)的驗(yàn)收和可靠性評(píng)估，取得了顯著進(jìn)展。文獻(xiàn)應(yīng)用一般隨機(jī)攝影法和最大熵理論，研究了具有統(tǒng)一相關(guān)性的失敗模型的多自由度系數(shù)的可信性分析。研究實(shí)踐表明，隨著動(dòng)態(tài)工程結(jié)構(gòu)的激勵(lì)功能的同源性和結(jié)構(gòu)特征的同一性，真正的工程結(jié)構(gòu)的可靠性分析和設(shè)計(jì)往往遵循失敗模型的獨(dú)立假設(shè)?？紤]到不同動(dòng)態(tài)模型的系統(tǒng)可靠性分析，尤其是相對于失敗模型的隨機(jī)散射分析，在理論分析和實(shí)際結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過程中，可靠性分析和設(shè)計(jì)在許多應(yīng)用的系統(tǒng)可靠性分析中仍被采用。滯回現(xiàn)象在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中是普遍存在的.由于構(gòu)件的大幅變形進(jìn)入塑性區(qū)或者干摩擦等原因而出現(xiàn)滯回現(xiàn)象,導(dǎo)致在周期運(yùn)動(dòng)中正向運(yùn)動(dòng)與反向運(yùn)動(dòng)的位移—非線性恢復(fù)力形成滯回環(huán),其效應(yīng)主要表現(xiàn)為剛度的減少和能量耗散的增加,呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線性.Bouc-Wen滯回模型對各種光滑的滯回曲線都能較好的近似描述,在工程中得到了廣泛應(yīng)用.滯回現(xiàn)象的廣泛存在和隨機(jī)因素的影響,使得具有隨機(jī)滯回環(huán)參數(shù)的非線性系統(tǒng)可靠性問題的研究顯得尤為重要.但由于系統(tǒng)參數(shù)的不確定非線性問題求解方法的制約、相關(guān)失效模式處理的困難,使得這類基于隨機(jī)滯回環(huán)參數(shù)的系統(tǒng)可靠性問題研究還不多見.以基于Bouc-Wen滯回模型的隨機(jī)滯回系統(tǒng)為研究對象,在隨機(jī)參數(shù)聯(lián)合概率密度函數(shù)未知的情況下,提出了具有相關(guān)失效模式的多自由度隨機(jī)滯回結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)可靠性分析的數(shù)值方法.首先回顧了多自由度非線性隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)的二維矩陣函數(shù)表達(dá)式,應(yīng)用向量值和矩陣值函數(shù)的概率攝動(dòng)法和四階矩技術(shù),導(dǎo)出了多自由度隨機(jī)滯回環(huán)參數(shù)非線性隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)狀態(tài)函數(shù)的前四階矩;應(yīng)用Gram-Charlier級(jí)數(shù),逼近出進(jìn)行系統(tǒng)可靠性分析的各階極限狀態(tài)方程邊緣概率密度函數(shù);采用不完全概率信息技術(shù)給出了可靠性狀態(tài)函數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù),從而對相關(guān)失效模式多自由度隨機(jī)滯回環(huán)參數(shù)系統(tǒng)的可靠性分析問題進(jìn)行了較為深入研究.在隨機(jī)參數(shù)前四階矩已知的情況下,此方法放松了對隨機(jī)參數(shù)的分布概型限制,使之更加接近工程實(shí)際的非線性隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)的首次超越破壞問題,較好地解決了具有相關(guān)失效模式多自由度隨機(jī)滯回環(huán)參數(shù)系統(tǒng)的可靠性分析問題.1基于自然參數(shù)的系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)學(xué)建模多自由度系統(tǒng)振動(dòng)微分方程為Μ¨X+f(r,X,˙X)=F(r,t)(1)其中M為系統(tǒng)質(zhì)量陣,f為內(nèi)力向量,F為外激勵(lì)向量,X為系統(tǒng)響應(yīng),上標(biāo)“·”代表其對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù).r=(rij)s×t為表征結(jié)構(gòu)隨機(jī)特性的s×t階隨機(jī)參數(shù)矩陣,其中每個(gè)元素的統(tǒng)計(jì)特性是已知的.對于隨機(jī)滯回系統(tǒng),內(nèi)力向量f可具體化為f=C˙X+αΚX+(1-α)Ζ(r,X,˙X)X(2)其中α為屈服后與屈服前系統(tǒng)剛度的比值,Ζ(r?X?˙X)為非線性滯回力.基于Bouc-Wen模型的第i階非線性恢復(fù)力Zi和與位移Xi的關(guān)系可表示為:˙Ζi=-γi|Xi|Ζi|Ζi|n-1-βi˙Xi|Ζi|n+Ai˙Xi(3)式中γi,βi,Ai,n為滯回環(huán)參數(shù),γi,βi控制滯回環(huán)的形狀,Ai控制滯回環(huán)的幅值,n控制滯回環(huán)曲線的光滑性.若考慮向量X(p×1)為隨機(jī)參數(shù)矩陣r(s×t)的函數(shù),則X在ˉr處的二階Taylor展開式為:X(r)=X(ˉr)+?X?[cs(r)]Τd[cs(r)])+12?2X?[cs(r)]Τ2d[cs(r)]?2?(4)式中cs(r)為矩陣r的列拉直操作;d[cs(r)]=εΔcs(r)?ε為小參數(shù),Δ微分算子,Δcs(r)=[cs(r)-cs(ˉr)];d[cs(r)]?2?=d[cs(r)]?d[cs(r)]為d[cs(r)]的二階Kronecker冪.符號(hào)?代表Kronecker積,(·)〈k〉=(·)?(·)?…?(·)為(·)的k階Kronecker積,定義為(A)p×q?(B)s×t=[aijB]ps×qt.由隨機(jī)響應(yīng)的概率攝動(dòng)法,應(yīng)用以上數(shù)學(xué)定義求解方程進(jìn)而可獲得系統(tǒng)響應(yīng)的前四階矩為:E[X(r)]=X[E(r)]+12?2ˉX?[cs(r)]Τ2Cov[cs(r)](5)Var[X(r)]=[?ˉX?[cs(r)]Τ]?2?Cov[cs(r)](6)Τm[X(r)]=[?ˉX?[cs(r)]Τ]?3?Τm[cs(r)](7)Fm[X(r)]=[?ˉX?[cs(r)]Τ]?4?Fm[cs(r)](8)式中E[?]?Var[?]?Τm[?]和Fm[?]分別為響應(yīng)均值、方差、三階矩和四階矩.?Xˉ/?[cs(r)]Τ為響應(yīng)向量的靈敏度矩陣,可以表示為?Xˉ?[cs(r)]Τ=[?Xˉ?r11,?,?Xˉ?rs1,?,?Xˉ?r1t,?,?Xˉ?rst]Τ(9)顯然可見,在求取動(dòng)力響應(yīng)的方差、三階矩和四階矩時(shí),這里只涉及響應(yīng)的一階靈敏度,這給解決工程實(shí)際問題帶來了相當(dāng)?shù)姆奖?當(dāng)然,如果取高階矩為一階以上的精度,會(huì)帶來數(shù)學(xué)上的繁瑣.依據(jù)以上推導(dǎo)過程,發(fā)展了國際上通用的概率攝動(dòng)法和隨機(jī)有限元法,得到了2D矩陣值函數(shù)的概率攝動(dòng)法和隨機(jī)有限元法,從而為進(jìn)行非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性分析打下基礎(chǔ).2基于連續(xù)時(shí)間約束的極限狀態(tài)方程的邊緣概率密度函數(shù)基于首次穿越模式的多自由度系統(tǒng)可靠性分析問題定義為g(A,X)=|A|-|X|(10)式中A=[A1?A2???An]Τ為隨機(jī)響應(yīng)向量X=[X1?X2???Xn]Τ的門檻值向量,g(A,X)為狀態(tài)函數(shù),表征系統(tǒng)的失效與安全{g(A,X)>0安全狀態(tài)g(A,X)≤0失效狀態(tài)(11)這里極限狀態(tài)方程g(A,X)=0為一個(gè)n維曲面,代表失敗曲面.極限狀態(tài)方程(11)可根據(jù)系統(tǒng)可靠性考察的不同形式,具體化一組方程gi(Ai,Xi)=|Ai|-|Xi|(12)這里假設(shè)響應(yīng)Xi與門檻值A(chǔ)i為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,從而確定各階極限狀態(tài)方程的前四階矩為μgi=E[gi(Ai,Xi)]=E[|Ai|]-E[|Xi|](13)σgi2=Var[gi(Ai,Xi)]=σ|Ai|2+σ|Xi|2(14)μ3gi=Τm[gi(Ai,Xi)]={μ3|Ai|-μ3|Xi|gi(Ai,Xi)>0μ3|Xi|-μ3|Ai|gi(Ai,Xi)≤0(15)μ4gi=Fm[gi(Ai,Xi)]=μ4|Ai|+6μ2|Ai|μ2|Xi|+μ4|Xi|(16)非線性系統(tǒng)中,由于疊加原理不再成立,正態(tài)輸入不再遵循正態(tài)輸入,因此若想求得各階極限狀態(tài)方程的分布概型進(jìn)行系統(tǒng)的可靠性分析較為困難.對于連續(xù)隨機(jī)變量,應(yīng)用Gram-Charlier級(jí)數(shù)可以擬合任何標(biāo)準(zhǔn)化了的隨機(jī)變量邊緣概率密度函數(shù).因此當(dāng)極限狀態(tài)方程各階矩已知時(shí),其邊緣概率密度函數(shù)為f(gi)=φ(gi)+∑n=0∞(-1)nCnn!φ(n)(gi)(17)式中φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù),φ(i)(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率密度函數(shù)的i階導(dǎo)數(shù).當(dāng)n=4系數(shù)Cn可表示為C0=C1=C2=0C3=13!μ3giσgi2C4=14Gram-Charlier級(jí)數(shù)可以以任意精度逼近狀態(tài)函數(shù)的真實(shí)分布,但通常取前四階就能得到較好的近似.據(jù)此可以確定各階極限狀態(tài)方程的邊緣概率密度函數(shù).3系統(tǒng)可靠性評(píng)估可靠性分析的一個(gè)目標(biāo)是確定系統(tǒng)的可靠度,根據(jù)狀態(tài)函數(shù)的定義,非線性多自由度隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)的可靠度可表示為R=Ρ(g>0)=∫0∞fg(g)dg(19)式中fg(g)為系統(tǒng)狀態(tài)函數(shù)g(A,X)的聯(lián)合概率密度函數(shù).對于考慮多失效模式隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng),系統(tǒng)各階可靠度指標(biāo)可定義為βi=μgiσgi=E[g(A,x)]Var(g(A,x)),由可靠性理論可知,用失敗點(diǎn)處狀態(tài)曲面的切平面近似地模擬極限狀態(tài)表面,可以獲得系統(tǒng)各階可靠度的一階估計(jì)量:Ri=1-Φ(-βi)(20)式中Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),若考慮非線性因素影響,應(yīng)用級(jí)數(shù)逼近理論獲得各階可靠性的修正公式Ri*=Fi(βi)-Fi(βi)-Φ(βi){1+βi[Fi(βi)-Φ(βi)]}βi(21)若假設(shè)系統(tǒng)各階失效模式相互獨(dú)立,那么系統(tǒng)整體可靠性的評(píng)估可以按照串聯(lián)系統(tǒng),并聯(lián)系統(tǒng)或者表決混聯(lián)系統(tǒng)模型進(jìn)行處理.當(dāng)考慮系統(tǒng)各個(gè)失效模式間相關(guān)性時(shí),可根據(jù)不完全概率信息理論,確定狀態(tài)函數(shù)g(A,X)的聯(lián)合分布函數(shù)為Fg(g)=Φn(G,R0)F(g1)F(g2)?F(gn)Φ(G1)Φ(G2)?Φ(Gn)(22)式中F(gi)為各階失效模式的gi(Ai,Xi)邊緣概率分布函數(shù),Φ(Gi)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Gi的概率分布函數(shù),Φn(Gi,R0)為零均值、單位標(biāo)準(zhǔn)差且相關(guān)矩陣為R0的n維正態(tài)聯(lián)合概率分布函數(shù).標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Gi可以通過下面變換獲得Gi=Φ-1[F(gi)](i=1?2???n)(23)式中相關(guān)矩陣R0的元素ρ0,ij可以通過下面的積分關(guān)系式獲得ρij=∫-∞∞∫-∞∞(gi-μgiσgi)(gj-μgjσgj)φ2(Gi,Gj,ρ0,ij)?f(gi)f(gj)φ(Gi)φ(Gj)dgidgj=∫-∞∞∫-∞∞(gi-μgiσgi)?(gj-μgjσgj)φ2(Gi,Gj,ρ0,ij)dGidGj(24)式中φ2(Gi,Gj,ρ0,ij)=12π1-ρ0,ij2?exp[-Gi2-2ρ0,ijGiGj+Gj22(1-ρ0,ij2)](25)ρij=E[(gi-μgi)(gj-μgj)]σgiσgj(i?j=1?2???n)(26)系統(tǒng)可靠性為R=1-F(-β1,-β2??,-βn)(27)由此可進(jìn)行系統(tǒng)整體動(dòng)態(tài)可靠性的評(píng)估.由系統(tǒng)各階可靠性指標(biāo)βi定義及式(27)可知,系統(tǒng)在時(shí)刻t可靠度R(t)的獲得,只與時(shí)刻t的系統(tǒng)失效模式前四階矩有關(guān),而與時(shí)刻t之前的失效模式統(tǒng)計(jì)特征無關(guān),也就是說t時(shí)刻之前系統(tǒng)可靠性對t時(shí)刻及其以后系統(tǒng)可靠性無影響.因此,如果應(yīng)用R(t)直接作為系統(tǒng)整體可靠性能的評(píng)估,與實(shí)際情況是不符的.因?yàn)樵跁r(shí)刻t以前,系統(tǒng)在外界激勵(lì)作用下自身安全性能已受到影響,不再是初始狀態(tài)時(shí)“完全健康”系統(tǒng),同時(shí)系統(tǒng)本身不具有“自愈”功能,因此在獲得系統(tǒng)動(dòng)態(tài)可靠性R(t)以后,應(yīng)該對其在考慮累積效應(yīng)下系統(tǒng)整體可靠性的評(píng)估問題.據(jù)此,本文提出以下系統(tǒng)平均可靠性概念.所謂系統(tǒng)平均可靠性,就是按照公式(27)獲得系統(tǒng)動(dòng)態(tài)可靠性R(t)以后,考慮時(shí)刻t以前系統(tǒng)可靠性狀況對t時(shí)刻影響,做如下定義Rˉ(Τ)=1-1Ν∑t≤Τ[1-R(t)](28)這里Rˉ(Τ)為時(shí)刻T系統(tǒng)平均可靠度,N為截止時(shí)刻T確定當(dāng)前動(dòng)態(tài)可靠度數(shù)值算法所采取的離散樣本點(diǎn)總數(shù),R(t)為公式(27)所得時(shí)刻t系統(tǒng)動(dòng)態(tài)可靠度.公式(28)應(yīng)用數(shù)學(xué)的平均思想,據(jù)此進(jìn)行系統(tǒng)整體可靠性能的評(píng)估.4計(jì)算值的示例4.1結(jié)構(gòu)方程模型建筑材料土壤在受力狀態(tài)下表現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性特性和滯回特性.在地震等強(qiáng)激勵(lì)下,由于土壤的流動(dòng)造成結(jié)構(gòu)體底層破壞導(dǎo)致坍塌.應(yīng)用本文方法,對強(qiáng)加速度激勵(lì)下土壤結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)行為和安全性進(jìn)行分析.系統(tǒng)模型如圖1所示.系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為{miX¨i+ciX˙i-ci+1X˙i+1+Vi(Xi,Ζi)-Vi+1(Xi+1,Ζi+1)=-miX¨gΖ˙i=-γi|X˙i|Ζi|Ζi|n-1-βiX˙i|Ζi|n+AiX˙i(29)當(dāng)n=1時(shí),系統(tǒng)方程可簡化為{miX¨i+ciX˙i-ci+1X˙i+1+αikiXi+(1-αi)kiXi-(1-αi)kiXi-1-αi+1ki+1Xi+1-(1-αi+1)ki+1Xi+1+(1-αi+1)ki+1Ζi=-miX¨gΖ˙i=-γi|X˙i|Ζi-βiX˙i|Ζi|+AiX˙i(30)為考察水平加速度激勵(lì)狀態(tài)下系統(tǒng)底層響應(yīng),將模型簡化雙層結(jié)構(gòu).基于首次穿越模型,考慮了結(jié)構(gòu)一層、二層位移失效時(shí)系統(tǒng)可靠性分析問題.結(jié)構(gòu)參數(shù)取為m1=m2=100kg,c1=c2=2.5×103N·s·kg-1,k1=k2=5.0×105cm·N-1,α1=α2=1.0/21,其中αi為第i層屈服前后的剛度比;水平加速度激勵(lì)X¨g=800sin(10t)cm·s-2;滯回環(huán)參數(shù)γ1=γ2=0.9,β1=β2=1.5,A1=A2=2.0.由公式(3),可以計(jì)算各層間位移和非線性恢復(fù)力曲線如圖2,圖3所示.4.2隨機(jī)參數(shù)矩陣為考察隨機(jī)滯回環(huán)參數(shù)對系統(tǒng)可靠性影響,選取質(zhì)量、阻尼、剛度系數(shù)、屈服前后剛度比例系數(shù)和外激勵(lì)為確定性變量,分別為m1=m2=1.0kg,c1=c2=2.0Ν?s?kg-1?k1=k2=100cm?Ν-1?α1=α2=0.01?X¨g=20sin(30t)(cm?s-2).隨機(jī)參數(shù)矩陣r=[γ1?β1?A1?Ath1;γ2?β2?A2?Ath2],其中Ath1和Ath2分別為一層、二層位移響應(yīng)門檻值變量.各個(gè)隨機(jī)參數(shù)假設(shè)為統(tǒng)計(jì)獨(dú)立、服從變異系數(shù)0.05任意分布隨機(jī)變量,前四階矩如表1所示,由動(dòng)力響應(yīng)方程,計(jì)算系統(tǒng)各階位移響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)曲線,并與Monte-Carlo隨機(jī)模擬結(jié)果(樣本數(shù)2000,下同)對比如下.由圖4—7,雖然選取描述系統(tǒng)隨機(jī)特性參數(shù)為一組相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,但是系統(tǒng)響應(yīng)輸出不再獨(dú)立,存在協(xié)方差.特別的系統(tǒng)響應(yīng)之間相關(guān)系數(shù)同樣有隨時(shí)間變化的特點(diǎn),并且在考察時(shí)間段的絕大多數(shù)情況下系統(tǒng)響應(yīng)之間表現(xiàn)出強(qiáng)相關(guān)(|ρX1X2(t)|≥0.66,t∈[0?10])特性,應(yīng)該引起足夠重視的.4.3模擬結(jié)果對比由各階可靠性分析極限狀態(tài)方程,計(jì)算兩失效模式協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)曲線,并與Monte-Carlo隨機(jī)模擬結(jié)果對比如下由圖8,9可知,系統(tǒng)失效模式之間存在協(xié)方差,失效模式間具有相關(guān)性.失效模式的獨(dú)立(ρg1g2(t)=0)僅在相關(guān)系數(shù)曲線過渡過程中某些離散時(shí)刻成立,可以近似認(rèn)為,失效模式在整個(gè)系統(tǒng)考察時(shí)間段內(nèi)是相關(guān)的.因此就本例而言,相關(guān)失效是系統(tǒng)失效的主要模式.4.4同時(shí)動(dòng)態(tài)可靠度與平均可靠度應(yīng)用四階五級(jí)Runge-Kutta方法求解振動(dòng)方程,分別計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)態(tài)可靠度和平均可靠度,并與Monte-Carlo模擬結(jié)果對比如圖10,11所示.通過求解振動(dòng)方程可知,Μax[|X1(t)|]=0.0868和Μax[|X2(t)|]=0.1625.因此,由12式可靠性極限狀態(tài)方程定義,在門檻值分別為0.1和0.2cm的條件下,系統(tǒng)位移響應(yīng)不存在穿越問題,因此獨(dú)立失效模式下的系統(tǒng)各層可靠度恒為1.0.然而由圖10,同樣的考察模型和各層穿越門檻值,基于相關(guān)失效模式系統(tǒng)動(dòng)態(tài)可靠度的最小值為0.8272.因此由算例可知,系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)基于獨(dú)立失效模式和具有足夠可靠度冗余度的前提下,失效模式的相關(guān)性仍有很大概率導(dǎo)致系統(tǒng)在服役期內(nèi)失效.同時(shí)對比系統(tǒng)動(dòng)態(tài)可靠度曲線與平均可靠度曲線可得,動(dòng)態(tài)可靠度曲線注重系統(tǒng)可靠度變化的實(shí)時(shí)細(xì)節(jié),通過觀察曲線便可得知系統(tǒng)危險(xiǎn)點(diǎn)、次危險(xiǎn)點(diǎn)等位置,表征了系統(tǒng)在外載荷激勵(lì)下不同時(shí)刻可靠度變化實(shí)時(shí)狀況,因此在系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)以及控制過程中