北京市西城八中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理(含解析)

北京市西城八中2016—2017學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理(含解析)一、選擇題(每小題5分，共50分)251.甲、乙、丙3人投籃，投進(jìn)的概率分別為1

3，，1,現(xiàn)3人各投籃1次，是否投進(jìn)互不影響，則3人都投

2進(jìn)的概率為()．A。15B.15C5D?A【答案】A【解析】3人都投進(jìn)的概率P121 1=-X-X-=—35215故選A2．拋擲2顆骰子所得的2顆點(diǎn)數(shù)相同的概率為()．，，a?4B.6C8d?12【答案】B【解析】拋擲2顆骰子所出現(xiàn)的不同結(jié)果數(shù)是6X6=36，事件“投擲兩顆骰子，所得的點(diǎn)數(shù)相同”所包含的基本事件有(1,1)，(2,2),(3,3),(4,4)，(5,5)，(6,6)共六種，故事件“擲2顆骰子,所得點(diǎn)數(shù)相同的概率是1P=色=-?3663.袋中有5個大小完全相同的球，其中2個黑球,3三個白球.不放回她連續(xù)取2次，則一直在第1次取到黑球的條件下，第2次取到白球的概率是().1434A?B?C.-10D?35【答案】B【解析】記事件A為“第一次取得黑球”，事件B為“第二次白球”2貝IJP(A)=5,P(AB)=C1C1-2―3C1C154310所以P(B/A)=PAB)=3-4

=

3一102-5,即第1次取到黑球的條件下,3第2次取到白球的概率是3.4故選B4．在10支鉛筆中，又8支正品和2支次品,從中任取2支，則恰好取到1支正品1支次品的概率是（）．29A．B?1645C17C.45D．25【答案】B【解析】從10支鉛筆中取2支鉛筆，共有C20=45種可能，其中1支正品1支次品包含C;C;=16種可能，所以事件“恰好取到1件正品1支次品”的概率是P=—，故選B455.四棱錐P-ABCD的底面為菱形，側(cè)棱PC與底面垂直，則側(cè)棱PA與菱形對角線BD的關(guān)系是（）.A.平行B.相交不垂直^異面垂直 D.相交垂直【答案】C【解析】P?.?PC⊥底面ABCD,BDU平面ABCD，?PC⊥BD又「底面ABCD為菱形，，?BD⊥AC??BD⊥平面PAC??BD⊥PA又PA,BD異面，所以側(cè)棱PA與BD的關(guān)系是異面垂直，故選C.某空間幾何體的正視圖是三角形,則該幾何體不可能是（）.A.圓柱B.圓錐C.三棱錐D.三棱柱【答案】A【解析】圓柱的正視圖可能是矩形，可能是圓，不可能是三角形，故選A.若空間中四條直線l、l、l、l，滿足l±l、l∣∣l、l±l,則下列結(jié)論一定正確的是（）.1 2 3 4 1 2 23 3 4A.l±l B.l∣∣l14 14C.l、l既不平行也不垂直 D.l、l位置關(guān)系不確14 14【答案】D【解析】?.?l±l,l11l,l±l,1 2 233 4???l⊥l,l⊥l,1 33 4???l與l相交、平行、異面都有可能,14即l、l的位置關(guān)系不確定，故選D148．一個幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的表面積等于()．正視圖俯視圖A．288B．312C．336D．384【答案】C【解析】由幾何體的三視圖可知,該幾何體是直三棱柱,底面是直角邊分別為6,8的直角三角形,三棱柱的高為12，所以此幾何體的表面積S=-X6X8X2+6X12+8x12+10x12=336.2故選C.正方體ABCD-ABCD,P,Q,R為別是AB,AD,BC的中點(diǎn)，則正方體過P,Q,R三點(diǎn)的截面圖1111 11形是().A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形【答案】D【解析】如圖，過P,Q,R的截面是六邊形，故選D.設(shè)四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，且PA±平面ABCD.過直線BD且垂直于直線PC的平面交PC于點(diǎn)E,如果三棱錐E-BCD的體積取得最大值，則此時四棱錐P-ABCD的高為（）.A.1C.√2D.不確定B.V3【答案】C【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線為％,y,Z軸建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)PA=h因?yàn)镋在PC上，所以設(shè)詼=λPC，代人有E（λ?λ,h—hλ）,因?yàn)镻C⊥平面BDE：.PC⊥BE貝1PC-BE=O,代人得λh2+1?h2+21 _1*3C1_1h_1 1所以V二—S-Z二 二 -E-BCD 3△BCD E6h2+2 67」hH—

h所以當(dāng)體積取到最大值時pa二h二22，故選C二、填空題（每小題5分，共30分）11．棱長為2的正方體的內(nèi)切球表面積為 ．【答案】4π【解析】正方體的棱長等于其內(nèi)切球的直徑，所以其內(nèi)切球半徑R=1,故表面積S=4πR2=4π.12．盒子中裝有編號為1，2,3，4，5，6的6個球，從中任意取出2個，貝這2個球的編號之和為偶數(shù)的概率是 ．2【答案】25【解析】從6個球中任意取出2個，共有C2=15種可能，若2個球的編號之和為偶數(shù)，則取出2個球的編號6都是奇數(shù)或都是偶數(shù),共有C2+C2=6種可能，故2個球編號之和為偶數(shù)的概率是P=6-=-.3 3 15 513.隨機(jī)變量X的分布列如下表，則此隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是X12丁5P~τ~~τ~~~Γ~~Γ6336【答案】83【解析】E(X)=1x1+2X1+3X1+5X1=8.6 3 3 6314．一個病人服用某種新藥后被治愈的概率為0.9，服用這種新藥的3個人中恰有1人被治愈的概率為（用數(shù)字作答）．【答案】0.027【解析】恰有1人被治愈的概率P=C1-0.9-（0.1）2=0.027315.直三棱柱ABC-ABC的體積為V,P,Q分別是側(cè)棱AA,CC的點(diǎn)，且AP=CQ,則四棱錐B

111 1 1 1的體積為 .【答案】1V3【解析】APQC,/AP=CQ1???S=1S,APQC2ACC1A1=1V???VB-APQC 2B-ACC1A112又?.?V=V—V=V—-V=-V,B-ACCIA1 abc-A1BG BfB1C1 3 3故V=1VB-APQC 3.將1個半徑1的球切割打磨成四個同樣大小的小球,則小球半徑的最大值為 .【答案】66-2【解析】由題意,四個小球兩兩相切并且四個小球都與大球相切時,這些小球的半徑最大,以四個小球球心為頂點(diǎn)的正四面體棱長為2/，該正四面體的中心（外接球球心）就是大球的球心，該正四面體的高為2Y6 r3設(shè)正四面體的外接球半徑為％，則％2=-3-r-%I/、2+,f2屈,I/解得：％=9?r

2,??.1=落+r2r=3+66=W-2.,故本題答案為：％6-2.三、解答題(共80分).袋中裝有大小相同的3個紅球和3和個白球.(I)從中任意取出2個球，求這2個球都是紅球的概率.(II)從中任意取出3個球，求恰有1個是紅球的概率.【答案】見解析【解析】(I)任取2個球總的基本事件個數(shù)：C2=15,2個球都是紅球包含的基本事件個數(shù)為：C2=33故從中任取2個球,這2個球都是紅球的概率P=C2—3=一C2 15315.6(I)任取3個球，總的基本事件個數(shù)是：C3=20，6恰有1個紅球包含的基本事件個數(shù)是：C1C2=933故從中任取3個球，恰好有1個紅球的概率P=C1C2C320933.6.如圖，四棱錐S—ABCD滿足SA±面ABCD,/DAB=ZABC=90。.SA=AB=BC=a,AD=2a(I)求證：面SAB±面SAD(I)求證：CD±面SAC【答案】見解析【解析】(1)證明：?.?SA⊥平面ABCD,ABU平面ABCD：.AB⊥SA又丁/BAD=90。，??AB⊥AD?.?SAC?AD，A,??AB⊥平面SAD又ABU平面SAB??平面SAB⊥平面SAD(II)證明：取AD中點(diǎn)為E丁/DAB=ZABC=90。，AD=2a,BC=a,E是AD中點(diǎn)，??ZABCE是矩形，CE=AB=a,DE=a??CD=五a,在△ACD中，AC=、/2a,CD=√2a,AD=2a??AC2+CD2=AD2,即CD⊥AC又?.?SA⊥平面ABCD,CDU平面ABCD??CD⊥SA??CD⊥平面PAC19．某商場經(jīng)銷某商品,顧客可以采用一次性付款或分期付款購買,根據(jù)以往資料統(tǒng)計,顧客采用一次性付款的概率是0.6,經(jīng)銷1件該產(chǎn)品,若顧客采用一次性付款,商場獲得利潤200元;若顧客采用分期付款,商場獲得利潤250元．(I)求3位購買商品的顧客中至少有1位采用一次性付款的概率.(I)若3位顧客每人購買1件該商品，求商場獲得利潤不超過650元的概率.(Ill)若3位顧客每人購買1件該商品，設(shè)商場獲得的利潤為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】見解析【解析】解：(I)記A表示事件：“3位顧客中至少有1位采用一次性付款”則事件A的對立事件是“3位顧客中沒有人采用一次性付款”,則：P(A)=1—(1—0.6)3=1-0.064=0.936.(I)記商場獲得利潤不超過650元為事件B,事件B包含3位顧客中3人均一次性付款和3位顧客中只有2人一次性付款.??P(B)=0.63+C2.0.62.(1-0.6)=0.216+3X0.36X0.4=0.648.3(IlI)X可取600,650,700,750P(X=600)=0.63=0.216,P(X=650)=C2?0.62?(1-0.6)=0.4323P(X=700)=Ci?0.6?(1-0.6)2=0.288,3P(X=750)=(1-0.6)3=0.064．所以X的分布列為X600650700750P0.2160.4320.2880.064數(shù)學(xué)期望E(X)=600X0.216+650X0.432+700X0.288+750X0.064=66020.四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PDC是邊長為2的正三角形，且與底面垂直,

菱形，ZADC為銳角，M為PB的中點(diǎn).(I)求證：PD//面ACM(II)求證：PA±CD(IlI)求三棱錐P-ABCD的體積.底面ABCD是面積為2√3的【答案】見解析【解析】PDB(I)證明：連結(jié)AC交BD于O，則O是BD中點(diǎn)，;在△PBD中，O是BD的中點(diǎn)，M是PB的中點(diǎn)，?，?PD/MO又PDZ平面ACM,MOU平面ACM：.PDll平面ACM(II)證明：作PE⊥CD，則E為CD中點(diǎn)，連結(jié)AE「底面ABCD是菱形，邊長為2,面積為2√3,???S=1XADXDCXSin^ADCX2=1X2X2sinNADCX2=2√32 2??SinNADC=巨,NADC=60。，2??△ACD是等邊三角形，，?CD⊥AE又「CD⊥PE：.CD⊥平面PAE，?CD⊥PA(IlI)V =1S XPE=1X2：3X√3=2P-ABCD3ABCD 321.某項(xiàng)“過關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定：在地n關(guān)要拋擲1顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)和大于n2,則算過關(guān)．(I)此游戲最多能過關(guān).(I)連續(xù)通過第1關(guān)、第2關(guān)的概率是.(IIl)若直接挑戰(zhàn)第3關(guān)，則通關(guān)的概率是.(IV)若直接挑戰(zhàn)第4關(guān)，則通關(guān)的概率是.【答案】見解析【解析】解：(I)6n>n2,0<n<6,故此游戲最多能過5關(guān).(I)第一關(guān)，拋擲一顆骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于1的概率：P=56.6第二關(guān)，拋擲2次骰子，如果出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)和大于4,就過關(guān)，分析可得,共36種情況，點(diǎn)數(shù)小于等于4的有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1),(2,2),(3,1)，共6種，則出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于4的有30種，故通過第二關(guān)的概率為30=5.36655 25???連續(xù)通過第1關(guān)，第2關(guān)的概率是P=5X5=A6636.(Ill)若挑戰(zhàn)第3關(guān)，則擲3次骰子，總的可能數(shù)為63=216種，不能過關(guān)的基本事件為方程％+y+Z=a其中a=3,4,5,6,7,8,9的正整數(shù)解的總數(shù)，共有1+C2+C2+???+C2+C2-3=81種，不能過關(guān)的概3 4 7 8率為81 3216=8故通關(guān)的概率為5.8(IV)若挑戰(zhàn)第4關(guān)，則投擲4次骰子，總的可能數(shù)為64=1296種，不能通關(guān)的基本事件為方程X+y+Z+m=%其中a=4,5,6,…，16的正整數(shù)解的總數(shù)，當(dāng)a=4,5,■■■,9共有1+C3+C3+??+???+C3=l+4+10+20+35+56=126種，4 5 6 8當(dāng)a=10時，C3—4=84—4=80種，當(dāng)a=11時，C3—C1—C1C2=120—4-12=104種，9 10 4 43當(dāng)