一類偏微分系統特征值的帶權估計

一類偏微分系統特征值的帶權估計

m（）是一個光滑的邊界帶?？紤]到以下特征值估計問題：。其中s,t是任意的正整數,c1,c2為非負的實常數,x=(x1,x2,…,xm),n是邊界?Ω的單位外法向量,,且滿足其中μ1,μ2為正實數.近年來,對包含拉普拉斯算子Δ的單個方程的特征值估計已取得了一系列成果,且問題(1)相應的高階常微分系統特征值的估計結論已在文獻中得到.本文參照并改進文中的討論方法,進一步推廣到類似問題(1)的高階偏微分系統特征值估計,其中將權推廣至x的任意函數s(x),獲得了用前n個特征值來估計第n+1個特征值上界的不等式,其估計系數與區(qū)域Ω的度量無關,文和討論的問題分別是本文問題(1)中當c1=c2=0,c=1,s=1,t=2,s(x)=1和c1=c2=0,c=1,s=2,t=3,s(x)=1時的特例,因此本文結論是文和的進一步推廣,在偏微分方程的理論研究中有著廣泛的參考價值.根據算子特征值理論知,問題(3)的特征值是離散的,且都是正實數,設其特征值為0<λ1≤λ2≤…≤λn≤…,與之相對應的帶權正交特征向量為,即滿足結合式(2)可得又由問題(3)中微分系統,經多次分部積分可得中常數akij=∫Ωxks(x)uiTujdx(i,j=1,2,…,n;k=1,2,…,m),顯然akij=akji,φik與u1,u2,…un帶權s(x)正交,且滿足齊次邊界條件,x∈?Ω(r=0,1,…,t-1),于是,由Rayleigh定理知,對所有與前n個特征向量正交的且滿足邊界條件的連續(xù)函數φik所得瑞利商的最小值是第n+1個特征值λn+1,由此得到下列不等式根據問題(3),計算可得利用φik與uj(j=1,2,?,n)的正交性,以及恒等式∫Ωs(x)|φik|2dx=∫Ωxks(x)φTikuidx,從式(7)有設利用式(8)得利用式(6)和(9)有在式(10)中,用λn替代所有的λi(i=1,2,…,n),有1特征函數的獲取引理1設ui是問題(3)對應特征值λi(i=1,2,…,n)的特征向量,則(其中a,b為實數,l=0,1,…,s-1;p=0,1,…,t-1).證明因為v1i,v2i分別是方程(-Δ)sv1+c1v1=λs(x)v2和(-Δ)sv2+c2v2=λs(x)v2對應特征值λi的特征函數,由文引理1和式(5)可知:于是即得引理1.引理2設ui是問題(3)對應特征值λi(i=1,2,…,n)的特征向量,則(其中為實數,l=0,1,…,s-1;p=0,1,…,t-1).證明(1)利用分部積分,并注意到問題(3)的邊界條件,有(2)類似地由式(12)可得利用引理2(1)和式(13),有證畢.引理3設λ1,λ2,…,λn是問題(3)的n個特征值,則證明由于akij=akji,利用引理1和式(15)得證畢.引理4對于上述φik和λi(i=1,2,…,n;k=1,2,…,m),有下列不等式成立證明由φik的定義,有由等式akij=akji及∫ΩujTui,xkdx=-∫ΩuiTuj,xkdx,可知式(16)右端第二項恒等于零,又即利用式(16)、(17)和(4)得利用式(18)、Schwartz不等式和引理1(取a=b=p=l=1),有整理上式即得引理4.2維函數相關定理定理1設λi(i=1,2,…,n+1)是問題(3)的特征值,則證明利用引理3和引理4,從式(11),可得式(19),在式(19)右端用λn來替代λi,可得到式(20).定理2對于任何整數m≥2,n≥1,有證明選擇參數σ>λn,利用式(10),得利用式(18)和Young不等式,有其中δ>0是待定常數.設將式(21)和(22)簡化為利用引理1和式(24),有為了使(25)右端的值達到最小,取利用式(25)和(26),得將式(27)代入(23),得其中σ>λn,選取σ,使不等式(28)右端等于零,即為推導方便,記???=?2=?,二維函數列向量,二階算子矩陣Al,,其中l(wèi),p≥0為整數,f為任一算子,二階常數矩陣,則可將問題(1)寫成如下等價的矩陣形式:利用引理2(2),由式(14)知設,