四川省綿陽市三臺中學(xué)校2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期第一學(xué)月月考測試數(shù)學(xué)試題

高中2021級第二學(xué)期第一學(xué)月月考測試數(shù)學(xué)本試卷分為試題卷和答題卡兩部分，其中試題卷由第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）組成，共4頁；答題卡共4頁.滿分100分，考試時間100分鐘.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名用毫米黑色簽字筆填寫清楚，同時用2B鉛筆將考號準(zhǔn)確填涂在“考號”欄目內(nèi).2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再選涂其它答案；非選擇題用毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.3.考試結(jié)束后將答題卡收回.第Ⅰ卷（共48分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題4分，共48分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的加法和減法則可化簡所求代數(shù)式.【詳解】.故選：A.2.下列結(jié)論正確的是（）A.向量與向量是共線向量，則ABCD四點在同一條直線上B.若，則或C.單位向量都相等D.零向量不可作為基底中的向量【答案】D【解析】分析】根據(jù)向量共線、垂直、單位向量、基底等知識，對四個選項逐一分析，從而得出正確選項.【詳解】對于A選項，兩個共線向量，對應(yīng)點可以是平行的，不一定在同一條直線上，故A選項錯誤.對于B選項，兩個向量數(shù)量積為零，可能這兩個向量垂直，故B選項錯誤.對于C選項，單位向量是模為的向量，并沒有確定的方向，故C選項錯誤.兩個不共線的非零向量可以作為基底，零向量不能作為基底，故D選項正確.故選D.【點睛】本小題主要考查平面向量共線的概念，考查兩個向量數(shù)量積為零的性質(zhì)，考查單位向量的概念，考查基底的知識，屬于基礎(chǔ)題.3.已知，在上的投影為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的幾何意義，即可求解.【詳解】因為，在上的投影為，可得，所以.故選：C.4.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，則角的大小是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理求得，即可求解.【詳解】在中，因為，由正弦定理，可得，又因為，則，所以.故選：A.5.等差數(shù)列中，，那么的值是（）A.60 B.24 C.36 D.48【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式即可求解.【詳解】因為等差數(shù)列中，,所以，故選：D【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題.6.在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求得，再根據(jù)，即可求得答案.【詳解】在中，，，根據(jù)余弦定理：可得，即由故.故選：A.【點睛】本題主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.7.在中，，則的形狀為（）．A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形【答案】B【解析】【詳解】，即由余弦定理可得可得：故三角形是直角三角形故選點睛：本題主要考查的知識點是三角形的形狀判斷，余弦定理的應(yīng)用．直接利用二倍角的余弦函數(shù)以及余弦定理化簡可得，通過邊長之間的關(guān)系即可判斷出三角形的形狀．8.如圖，在中，，，點為的中點，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算化簡，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算，求得的值.【詳解】.故選：A點睛】本小題主要考查平面向量線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.9.已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且，若，則的外接圓面積為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化簡得，再利用正弦定理求出外接圓的半徑，即得的外接圓面積.【詳解】由題得，所以，所以，所以,所以.由正弦定理得,所以的外接圓面積為.故選D【點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.10.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長之和為尺，前九個節(jié)氣日影長之和為尺，則小滿日影長為（）A.尺 B.尺 C.尺 D.尺【答案】C【解析】【分析】設(shè)冬至日影長，公差為，結(jié)合等差數(shù)列通項及前n項和公式，結(jié)合題設(shè)列方程組求、，進(jìn)而求小滿日影長.【詳解】從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長之和為尺，前九個節(jié)氣日影長之和為尺，∴，解得，，∴小滿日影長為（尺）.故選：C.11.在中分別是的對邊，，若且，則的面積為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式可得，，再利用正弦定理，將已知等式中的角化邊，可得，然后利用余弦定理，可得的值，最后由三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：在中，由，即，，，，由正弦定理得，，，，，化簡得，又由余弦定理得，，即，解得或（舍），的面積．故選：B．12.已知△ABC的外接圓的圓心為M，，，D是BC的中點，則（）A.13 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如圖，首先轉(zhuǎn)化，利用數(shù)量積的幾何意義結(jié)合垂徑定理即可得解.【詳解】如圖，作于，于，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得：，所以.故選：A第Ⅱ卷（共52分）注意事項：1．用鋼筆將答案直接寫在答題卷上.2．答卷前將答題卷的密封線內(nèi)項目填寫清楚.二、填空題：本大題共4個小題，每小題3分，共12分，把答案直接填答題卷的橫線上.13.已知平面向量與的夾角為，則______.【答案】【解析】【分析】利用，展開后利用向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算即可求解.【詳解】平面向量與的夾角為，則，，故答案為：.14.已知數(shù)列的前項和，則______【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式和前n項和的關(guān)系，分當(dāng)時和當(dāng)時，兩種情況討論求解.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為，不適合上式，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查數(shù)列的通項公式和前n項和的關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.15.如圖，測量河對岸的旗桿AB高時，選與旗桿底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D.測得，，，并在點C測得旗桿頂A的仰角為，則旗桿高AB為_________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和為，可求得，再根據(jù)正弦定理求得BC，進(jìn)而在中，根據(jù)求得AB．【詳解】在中，，由正弦定理得，所以，在中，，∴.故答案為：.【點睛】本題考查解三角形的實際應(yīng)用，考查正弦定理，考查邏輯思維能力和計算能力，屬于?？碱}.16.已知為△的重心，過點的直線與邊分別相交于點.若,則當(dāng)與的面積之比為時，實數(shù)的值為________.【答案】或【解析】【分析】利用重心定理，把向量用表示，再利用，，共線，最后利用面積列方程求得變量間的關(guān)系，先求最后可得．【詳解】解：設(shè)，，，三點共線可設(shè)，，為的重心，，，兩式相乘得①②，②代入①即解得或即或故答案為或．【點睛】此題考查了三點共線與向量的關(guān)系，重心定理，三角形面積等，難度適中．三、解答題：本大題共4個小題，每小題10分，共40分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.已知平面向量.(1)若,求x的值;(2)若,求與的夾角的余弦值.【答案】(1).(2)【解析】【分析】(1)利用向量平行的坐標(biāo)表示，列方程求解；(2)根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求出，再計算與所成夾角的余弦值.【詳解】(1)平面向量，若,則，解得；(2)若,則，即,解得，∴，∴與的夾角的余弦值為.【點睛】本題考查了平面向量的共線定理與數(shù)量積應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.18.已知等差數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：數(shù)列的前n項和【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程，求得，進(jìn)而得到的通項公式；（2）由（1）得到，結(jié)合裂項法求和得到，即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)數(shù)列的公差為，因為成等差數(shù)列且，所以，即，即，解得，所以數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】證明：由，可得，所以，因為，可得，所以，即數(shù)列的前n項和.19.如圖，平面四邊形，已知，.（1）若平分，且，求的長；（2）若，求的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平分，得出，進(jìn)而得出，再由余弦定理，即可得出的長；（2）根據(jù)三角恒等變換的公式，求得，再由正弦定理得出的長.【詳解】（1）若平分，則由余弦定理得解得或（舍）（2）又在中，由正弦定理可得即【點睛】本題主要考查了正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.20.的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積