線性代數(shù)復(fù)習(xí)練習(xí)題

一、填空題1011、如果2110，則x____________；30x2312、如果行列式4x5=0,則=____________；x23xaaaa111213aaaa143、四階行列式21aaaa3133aaaa2223243444中含有aa的項(xiàng)是____________；2341324142432xx14、D1x1中x的系數(shù)為____________；32x65、在階行列式中，項(xiàng)aaaaaa的符號(hào)是____________；1113325564466、若aaaaa是5階行列式中帶“+”的項(xiàng)，則i=____________；k=____________；123i2k5144ab7、已知，則ccd=____________；cdaab18、若行列式D中存在兩行元素相同或成比例，則D=____________；a9、設(shè)D=aaaaaa13a=3，則aaaa2a3a1113112131122232212223111213Da2a3a=____________；2311223aa2a3a331333aaa23a6a3a12313Dbbb2則Db2bb=____________；10、設(shè)1ccc231123c2cc12312315711、設(shè)D222,則AAA33____________；323120352112、設(shè)D200，則2A4AA____________；31323324112、設(shè)四階行列式D的第二行的4個(gè)元素分別為1,2,1,1,2，則行列式D____________；2,3,4，它們的代數(shù)余子式分別為134A213,A為第i行第j列元素的代數(shù)余子式，則A3A4A____________；13、設(shè)212223ij4731ac140，則a____________；b____________；c____________；14、已知2b3315、5階方陣A的行列式的值為3，則|-3A|=____________；16、設(shè)3階行列式A的值為2，則2A=____________；17、設(shè)A為n階方陣，為任一常數(shù)，則矩陣行列式A=____________；18、設(shè)A是n階矩陣A的伴隨矩陣，若A2，則A*____________；*10119、設(shè)A021，則A的伴隨矩陣=；A*00323420、已知A1521，則(2A)1____________；12321、設(shè)二元方陣A,B的逆分別是A115,B32,則(AB)1____________；14141()0)的逆矩陣為A1=____________；n22、矩陣A=212n23、設(shè)(2,1,0,1)，(1,0,2,2)且42，則____________；1,2,1,1,3,2,1,1,22,則____________；24、設(shè)(2,1,5,2,0),(3,0,1,1,4)，則25、設(shè)，；,,為n維單位坐標(biāo)向量組，則aaaa26、設(shè)=；123n112233nn1223線性相關(guān)，則t________________；28、設(shè)4，，1t1233129、含有零向量的向量組必是線性________向量組；30、任何n1個(gè)n維向量都是線性關(guān)的；31、如果向量組A可以由向量組B線性表示，則R(A)_____R(B)；32、設(shè)A是45矩陣，若A的行向量組線性無關(guān)，則A的列向量組的秩R=_________________；33、設(shè)向量組線性無關(guān)，則它的秩=,,；12r34、設(shè)和是非齊次線性方程組AXb的解,若也是Axb的解,當(dāng)且僅當(dāng)12；35、設(shè)x,x,,x是非齊次線性方程組Axb的解，若axaxax也是該方程組的解，則12s1122ssaaa；12s1也是Axb的解，則31122336、設(shè)是非齊次線性方程組Axb的解，若1,2,3____________；21Axb有解1,2,3,則Axb的一般解為37、設(shè)四元線性方程組Axb的系數(shù)矩陣的秩為2，已知____________；38、已知5元齊次線性方程組Ax0的基礎(chǔ)解系包含3個(gè)解向量，則R(A)_______；39、設(shè)A是45矩陣，若A的列向量組的秩為2，則線性方程組Ax0的基礎(chǔ)解系含有____個(gè)解向量。40、設(shè),是某個(gè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,12,2，則與是線性的；12112221因而與（一定，不一定）是線性方程組的基礎(chǔ)解系.1241、設(shè)A為n階方陣，則齊次線性方程組Ax0有非零解的充分必要條件是_____________；42、設(shè)矩陣A為n階方陣，且非齊次線性方程組Axb有唯一解，則R(A)；（1，2，a）（b，1，0）b，若與正交，則a、所滿足的關(guān)系為____________；43、設(shè)，44、設(shè)45、向量(1,1,0,2),(k,1,1,1),與正交，則k____________；34,是R,,的第一個(gè)分量非負(fù)，552的規(guī)范正交向量組，則=；46、若方陣A滿足A2A，則的特征值是47、n階方陣A的特征值為1,2,,n，則AA或；；48、若A是可逆矩陣，且,,,A是的特征值，則A1n特征值為；1249、設(shè)4階方陣A的特征值分別為1,2,3,2，則A2A的特征值為____________；50、設(shè)3階方陣A的特征值分別為3，-2，2，則A2的特征值為_____________，且A_________；51、設(shè)3階方陣A的特征值為2，-1，3，則2A____________；52、設(shè)為矩陣A的一個(gè)特征根，則2是矩陣的特征根。53、n階矩陣A的n個(gè)特征根互不相等是A與對角矩陣相似的____________；54、二次型fx24xy4y22xzz24yz對應(yīng)的矩陣為A____________；55、二次型2x24xx2xxx2的矩陣A；11333256、二次型fx,x,x2x2x2x24xx6xx的矩陣A____________；123123122357、二次型f(xx,x)x2x2x22xx4xx6xx所對應(yīng)的矩陣A____________；1,23123121323fx24xyky2z為正定的，則k=____________；58、實(shí)二次型2二、判斷題1、兩個(gè)n維向量組等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量組的秩相等；...........................................................（2、兩兩正交的非零向量組一定是線性無關(guān)的向量組；...............................................................（3、矩陣A、B分別為線性方程組相應(yīng)的系數(shù)矩陣和增廣矩陣，則線性））方程組有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)R（A）=R（B）；..........................................................................（4、n階方陣A的n個(gè)特征值互不相等，則A與對角陣相似；..................................................（5、n階方陣A與B的特征值相同的充分必要條件是A與B相似。.........................................（）））1232466、245681012....................................................................................................（）7891416187、設(shè)A,B均為n階矩陣，則ABBA........................................................................................（）））8、若ABAC，則BC...........................................................................................................（9、設(shè)A,B均為可逆矩陣，則AB也可逆且(AB)1A1B1..................................................（(3,2),(1,1)是線性無關(guān)的....................................................................（10、向量組）12r線性無關(guān)，則向量組1r,,,,,11、設(shè)向量組12r12也線性無關(guān)..................................................................................................................................（）三、選擇題四、計(jì)算下列行列式1234504211212、412023411、341241231111123234n121x111111x1;4、3453、1111y111yn12n110100020000aa00000110aa5、000226、n20010101aa00000n1nn11n000五、求逆矩陣101120101、用初等行變換求矩陣A3120的逆矩陣A31041。1232、已知A221A1，求。34301062233、設(shè)A133，P110，求P1AP。21081212234、用初等行變換求矩陣A110的逆矩陣A1。1215、設(shè)A為n階矩陣,且A22A4E0,證明：A及A3E都可逆，并求A1，(A3E)1。六、解矩陣方程3011、設(shè)A110,ABA2B.求矩陣B.0141322、已知A301，且A2ABE，求.B1111532X3、已知，求X。1414七、求矩陣的秩12341、（用初等變換求矩陣A1245的秩。11012八、解線性方程組2xxxx112343x2xx3x4的一般解。1、求非齊次線性方程組1234x4x3x5x21234xx112xx32、設(shè)有線性方程組：2，xx342x1x4（1）求出線性方程組有解的充要條件；（2）在有解的情況下，求出通解。2xxx2123，問當(dāng)為何值時(shí)有解？并求出全部解。x2xx3、設(shè)有非齊次線性方程組123xx2x2123xxxx11234x2xxx2的通解。4、求方程組5、求方程組12342x3x2x3124x2x3x4x11234xxx0234的通解。x3xx1124x4x3x2x112342x3x6x5x312344x5x4xx76、求線性方程組的通解12343x4xx2x51234x4x3x5x212342xxxx17、求解方程組8、求解方程組。12343x2xx3x41234x2x3x2x112342x4xxx5：1234x2x2xx41234

九、向量組的線性相關(guān)性判斷1、設(shè)，且，，為它們對應(yīng)的特征向量，證明，線性無關(guān)．1212為的特征值，A12122、證明：若非零向量可由向量組線性表示，且表達(dá)唯一，則,,,,,,2線性無關(guān)。12m1m13(2,2,7,1),(3,1,2,4),(1,1,3,1)線性相關(guān)性。3、判斷向量組24、證明題：設(shè)向量組線性無關(guān)，,,,21r;;;;112122123r12r試證明向量組也線性無關(guān)。r,,,125、證明向量組線性相關(guān)的充要條件是其中某個(gè)向量可由其余向量線性表示。,,21n6、設(shè)向量組線性無關(guān)，證明向量組，，,,2也線性無關(guān)、向量組的秩和最大無關(guān)組1、設(shè)有向量組4（1，1，2，3，4），（3，7，8，9，13），（1，3，0，3，3），（1，9，6，3，6）123求此向量組的秩及一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示.2、設(shè)有向量組15(1,3,1,1),(1,7,3,9),(2,8,0,6),(3,9,3,3),(4,13,3,6)234（1）求向量組的秩.（2）求向量組的一個(gè)極大無關(guān)組.（3）將其余向量用極大無關(guān)組線性表示。1求向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，,,,1234(1,0,0),(1,1,0),(1,1,2),(1,0,1)3、設(shè)234并把余下的向量用它的極大無關(guān)組來線性表示。4、求向量組14(1,1,2,3,4),(3,7,8,9,13),(1,3,0,3,3),(1,9,6,3,6)23的秩，并判斷它們是否線性相關(guān)。11122332，求5、設(shè)矩陣A11211211（1）A的行最簡型；（2）A的列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，并指出列向量組的秩；（3）用上述極大無關(guān)組線性表示其余的列向量。6、設(shè)有向量組

14(0,0,0,1)T,(1,2,1,1)T,(1,2,1,0)T,(1,2,1,0)T23是矩陣A的列向量組，求矩陣A的列向量組的秩及其一個(gè)最大無關(guān)組。7、設(shè)有向量組1011242,10201,,11232101求（1）該向量組的秩（2）求8、設(shè)有向量組；該向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，并把其余的向量用該極大無關(guān)組線性表示。131191732,8,0,43612339341336求（1）該向量組的秩（2）求9、設(shè)有向量組；該向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，并把其余的向量用該極大無關(guān)組線性表示。1031211301,2551,,,217234421406求（1）該向量組的秩；（2）求該向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，并把其余的向量用該極大無關(guān)組線性表示。十一、求方陣的特征值與特征向量十二、矩陣的相似對角化220A2121、已知實(shí)對稱矩陣020（1）求.A的特征值與特征向量（2）求一正交矩陣T，使得T1AT為對角陣.1242422、設(shè)A=.421（1）求A的特征值.（2）求A的特征向量T，使得T1AT為對角陣（3）求正交矩陣