湖南省長沙市2021-2022學年高二數(shù)學下學期期中題含解析

Page18湖南省長沙市2021-2022學年高二數(shù)學下學期期中題一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先進行并集運算，然后進行補集運算即可.【詳解】由題意可得：，則.故選：A.2.A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】分析：根據(jù)復數(shù)除法法則化簡復數(shù)，即得結(jié)果.詳解：選D.點睛：本題考查復數(shù)除法法則，考查學生基本運算能力.3.對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得以下散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正負相關(guān)與線性相關(guān)的強弱進行求解即可【詳解】都是正線性相關(guān)，所以，并且相關(guān)性最強，所以；都是負線性相關(guān)并，所以，且相關(guān)性強，所以，所以；所以；故選：A4.函數(shù)的一個遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦函數(shù)的遞減區(qū)間，可得，求解即可得到函數(shù)的遞減區(qū)間，即可得到符合的結(jié)果【詳解】對于函數(shù)，令，求得，可得函數(shù)的減區(qū)間為，，當時，可得該函數(shù)的一個減區(qū)間為，故選：B.5.已知圓柱的側(cè)面積為，體積為則該圓柱的軸截面的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓柱側(cè)面積與體積公式，解得底面半徑及高，即可得到圓柱的軸截面面積．【詳解】設(shè)圓柱底面圓半徑為，高為，則由題意得到，解得，所以圓柱軸截面為正方形，此圓柱的軸截面正方形的面積為故選：．6.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】用二倍角余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，求解得出，再用同角間的三角函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】，得，即，解得或（舍去），又.

故選：A.【點睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7.一試驗田某種作物一株的生長果實個數(shù)x服從正態(tài)分布，且，從試驗田中隨機抽取20株，果實個數(shù)在[的株數(shù)記作隨機變量X，且X服從二項分布，則X的方差為（）A.0.42 B.0.6 C.4.2 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性和二項分布的方差公式即可求解.【詳解】∵，且，∴，∴.X的方差為.故選：C.8.已知是定義域為R的偶函數(shù)，，，.若是偶函數(shù)，則（）A.－3 B.－2 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)得到關(guān)于對稱，得到，結(jié)合和為偶函數(shù)即可得周期為4，進而即得.【詳解】因為為偶函數(shù)，則關(guān)于對稱，即.即，即，也滿足.又是定義域為R偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱，∴，，∴周期為4，∴，∴.故選：D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】等差數(shù)列通項公式與前n項和公式．本題還可用排除，對B，，，排除B，對C，，排除C．對D，，排除D，故選A．【詳解】由題知，，解得，∴，故選A．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式與前n項和公式，滲透方程思想與數(shù)學計算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項公式與前n項公式即可列出關(guān)于首項與公差的方程，解出首項與公差，在適當計算即可做了判斷．10.若函數(shù)，則（）A.的定義域是B.有兩個零點C.在點處切線的斜率為D.在遞增【答案】BCD【解析】【分析】對A，根據(jù)定義域即可判斷；對B，直接解方程可求解；對C，求出在處的導數(shù)可得；對D，求出函數(shù)導數(shù)，根據(jù)導數(shù)可判斷單調(diào)性.【詳解】對于A：函數(shù)的定義域是，故A錯誤；對于B：令，即，解得：或，故函數(shù)有2個零點，故B正確；對于C：斜率，故C正確；對于D：，時，，，故，在單調(diào)遞增，故D正確.故選：BCD.11.已知由樣本數(shù)據(jù)點集合，求得的回歸直線方程為，且，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)據(jù)點和誤差較大，去除后重新求得的回歸直線l的斜率為1.2，則（）A.變量x與y具有正相關(guān)關(guān)系 B.去除后的回歸方程為C.去除后y的估計值增加速度變快 D.去除后相應于樣本點的殘差為0.05【答案】AB【解析】【分析】A.根據(jù)回歸直線方程的x系數(shù)的正負判斷.B.根據(jù)去除前后樣本點不變判斷.C.根據(jù)去除前后x的系數(shù)大小判斷.D.根據(jù)殘差的計算公式判斷.【詳解】因為回歸直線方程為，，所以變量x與y具有正相關(guān)關(guān)系.故A正確.當時，，樣本點為，去掉兩個數(shù)據(jù)點和后，樣本點還是，又因為去除后重新求得的回歸直線l的斜率為1.2，所以，解得，所以去除后的回歸方程為，故B正確.因為，所以去除后y的估計值增加速度變慢，故C錯誤.因為，所以，故D錯誤.故選：AB【點睛】本題主要考查回歸分析的理解，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.12.已知拋物線C：，圓F：（F為圓心），點P在拋物線C上，點Q在圓F上，點A，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的最小值是 B.的最小值是C.當最大時， D.當最小時，【答案】AC【解析】【分析】確定出拋物線C的焦點坐標，圓F的圓心和半徑，分析、計算判斷A，B；數(shù)形結(jié)合，計算判斷C，D作答.【詳解】拋物線C：的焦點，圓F：的圓心，半徑，對于A，的最小值是的最小值減去圓的半徑，又的最小值是1，的最小值是，A正確；對于B，設(shè)，則，，當時，，當時，當且僅當，即時取“=”，所以的最小值是，B不正確；對于C，如圖所示，要使最大，當且僅當AQ與圓F相切，AP與拋物線C相切，且P，Q在x軸兩側(cè)，所以當最大時，，C正確；對于D，因最小值為，即P，A，Q共線，則當最小時，即，D不正確.故選：AC【點睛】思路點睛：涉及與圓相離的圖形F上的點與圓上點的距離最值問題，轉(zhuǎn)化為圖形F上的點與圓心的距離加或減圓半徑求解.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，則實數(shù)m的值為___________.【答案】0【解析】【分析】根據(jù)奇偶性的性質(zhì)可得函數(shù)是R上的奇函數(shù)，則，從而求出參數(shù)的值，再代入檢驗即可；【詳解】解：因為函數(shù)是R上的偶函數(shù)，是R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)是R上的奇函數(shù)，∴，∴，∴，當時，，∴，即符合題意.故答案為：14.的展開式中的系數(shù)為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式可求得結(jié)果.【詳解】因為，又的展開式的通項所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.15.已知平面向量，，.若與共線，則在上的投影向量的坐標為___________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)向量的坐標運算，表示出，根據(jù)共線求出，然后可得在方向上的投影向量的坐標.【詳解】∵，，∴，又∵與共線，∴，∴，∴，向量在向量方向上的投影為，由于向量在向量方向上的投影向量與共線，且，可得所求向量為.故答案為：16.設(shè)雙曲線C：的左焦點和右焦點分別是，，點A是C右支上的一點，則的最小值為___________.【答案】8【解析】【分析】由雙曲線的定義把表示為的函數(shù)，然后由函數(shù)的單調(diào)性得最小值．【詳解】解：由雙曲線C：，可得，，所以，所以，，由雙曲線定義可得，所以，所以，由雙曲線性質(zhì)可知：，令，則，所以，記，設(shè)，則，所以，即在上單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，此時點A為雙曲線的右頂點（1，0）．故答案為：8．四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿足，且對于任意，，都有.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）先求出，，再判斷數(shù)列是首項和公比都為的等比數(shù)列，最后求即可；（2）先求出，再判斷數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，最后求即可.【詳解】解：（1）∵對于任意，，都有成立，∴令，，得，即，，∴數(shù)列是首項和公比都為的等比數(shù)列，∴，.（2）∵，∴數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，∴.【點睛】本題考查利用遞推關(guān)系求通項公式，等比數(shù)列的通項公式與前項和，是基礎(chǔ)題.18.在中，.（1）求角的大?。唬?）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合余弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值，即可得出的周長.【小問1詳解】解：在中，設(shè)內(nèi)角、、的對邊分別為、、，因為，即，由題意得：由正弦定理得，即，所以，，又因為，所以，.【小問2詳解】解：，代入，則，即，因為，所以，，則，可得，因此，的周長為.19.“五項管理”是“雙減”工作的一項具體抓手，是促進學生身心健康?解決群眾急難愁盼問題的重要舉措.為了在“控量”的同時力求“增效”，提高作業(yè)質(zhì)量，某學校計劃設(shè)計差異化作業(yè).因此該校對初三年級的400名學生每天完成作業(yè)所用時間進行統(tǒng)計，部分數(shù)據(jù)如下表：男生女生總計90分鐘以上8018090分鐘以下220總計160240400（1）求x，y，z的值，并根據(jù)題中的列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為完成作業(yè)所需時間在90分鐘以上與性別有關(guān)？（2）教務處從完成作業(yè)所需時間在90分鐘以上的學生中用分層抽樣的方法抽取9人了解情況，校長再從這9人中選取3人進行訪談，記校長選取的3人中男生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.附：0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.0763.8415.0246.635【答案】（1），，，列聯(lián)表答案見解析，沒有95%的把握認為完成作業(yè)所需時間在90分鐘以上與性別有關(guān)（2）分布列答案見解析，數(shù)學期望：【解析】【分析】（1）根據(jù)給定數(shù)表計算x，y，z，完善列聯(lián)表，再計算觀測值與臨界值比對作答.（2）根據(jù)分層抽樣分別求得抽得的男女生人數(shù)，再根據(jù)超幾何分布可求解.【小問1詳解】由表中的數(shù)據(jù)可得：；；；所以列聯(lián)表如下：男生女生總計90分鐘以上8010018090分鐘以下80140220總計160240400.所以沒有95%的把握認為完成作業(yè)所需時間在90分鐘以上與性別有關(guān).【小問2詳解】抽取的9人中，需要抽取男生：人，女生：人，X取值0，1，2，3，，，故X的分布列為X0123P.20.如圖，在四棱臺中，底面四邊形ABCD是矩形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD.（1）求證：平面ABCD；（2）若二面角的余弦值為，求四棱臺的高.【答案】（1）證明見解析；（2）1.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)可得，，再利用線面垂直的判定推理作答.（2）以點A為原點，建立空間直角坐標系，借助空間向量及二面角余弦值計算作答.【小問1詳解】因為底面四邊形ABCD矩形，有，而平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，則平面，又平面，則有，因平面平面ABCD，同理有，而，平面ABCD，所以平面ABCD.【小問2詳解】在四棱臺中，由（1）知，AB，AD，兩兩垂直，且即為四棱臺的高，以A為原點，射線AB，AD，分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，如圖，設(shè)，則，，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，平面的一個法向量，因此，，解得，所以四棱臺的高為1.21.已知橢圓E：的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，直線與橢圓相交于兩點P和Q，且.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)不過原點O且斜率為的直線與橢圓E交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為M，直線OM與橢圓E交于C，D.證明：【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題意可得，即得；（2）由題可設(shè)AB方程為，利用韋達定理，弦長公式及橢圓的性質(zhì)即得.【小問1詳解】由對稱性知點在橢圓上，由題意可得，解得，，∴橢圓E的方程為；【小問2詳解】設(shè)直線AB方程為，聯(lián)立，得，∴，即.設(shè)，，，則，，∴，，即，則OM所在直線方程為，聯(lián)立，得或.∴，.則.而∴，即.22.已知函數(shù)，.（1）當時，討論的單調(diào)性；（2）當時，函數(shù)的最小值為（其中為的導函數(shù)），求的值.【答案】（1）增區(qū)間為、，減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）當時，求得，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）設(shè)，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可知存在極值點，且滿足，求得，根據(jù)已知條件求出的值，即可求得實數(shù)的值.【小問1詳解】解：因為，則，當時，，由，得或，當或時，，當時，，所以函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.【小問2詳解】解：設(shè)，且，，設(shè)，則，當時，，當時，，所以，函數(shù)