三重積分概念及其計算

§5三重積分教學目的掌握三重積分的定義和性質(zhì).教學內(nèi)容三重積分的定義和性質(zhì)；三重積分的積分換元法；柱面坐標變換；球面坐標變換.基本要求掌握三重積分的定義和性質(zhì)，熟練掌握化三重積分為累次積分，及用柱面坐標變換和球面坐標變換計算三重積分的方法 .教學建議⑴要求學生必須掌握三重積分的定義和性質(zhì)， 知道有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必可積由于三重積分的定義與性質(zhì)及充要條件與二重積分類似，可作扼要敘述與比較.(2)對較好學生可布置這節(jié)的廣義極坐標的習題.、三重積分的概念背景：求某非均勻密度的曲頂柱體的質(zhì)量時， 通過“分割、近似，求和、取極限”的步驟，利用求柱體的質(zhì)量方法來得到結(jié)果一類大量的“非均勻”問題都采用類似的方法，從而歸結(jié) 出下面一類積分的定義.定義i設(shè)fx，y，z是定義在三維空間可求體積的有界閉區(qū)域v上的函數(shù)，J是一個確定的數(shù)，若對任給的正數(shù)「總存在某個正數(shù)：，使對于V的任何分割t,當它的細度T:：：'時，屬于T的所有積分和都有N瓦fGl,q)眄-jo\=1fX，y,z在v上的三重積分，記作則稱1x，y，z在V上可積，數(shù)J則稱1x，y，z在V上可積，數(shù)J稱為函數(shù)其中］X，y,z稱為三重積分的被積函數(shù)，X,y,z稱為積分變量，稱為V積分區(qū)域.可積函數(shù)類(i)有界閉區(qū)域V上的連續(xù)函數(shù)必可積.(ii)有界閉區(qū)域V上的有界函數(shù)fx,y,z的間斷點集中在有限多個零體積的曲面上，則fx，y,Z必在v上可積二、化三重積分為累次積分定理2115若函數(shù)婦乂，v，z在長方體V=a，"c，dl/fl上的三重積分存在目對任何Xa，bI—。■— I[zj、i攵入 fxyl|iL'U —a c e _i_u。 1/\yJI。l_L, ii八l_LlJ abi 重積分HRxyzdydz1X-D存在，其中D—C，d1e，f】，則積分bdxfx,y,zdraDbinfx,y,zdxdydz■dxfx,y,zd二也存在，且V —aD ■ (1)為了方便有時也可采用其他的計算順序若簡單區(qū)域 v由集合VJ；Xy,z|zx,y<z<z?x,y,%x乞y乞y?x,a乞x乞b所確定，V在xy平面上的投影區(qū)域為D—:x,y|y!x乞y冬y2x,a乞x冬b是一個x型區(qū)域，設(shè)fx,是一個x型區(qū)域，設(shè)fx,y,z在上連續(xù)，zix,y,Z2x,y在d上連續(xù)，，yx,y?x上，a,bl連續(xù)，則zinfx,y,zdxdydz!idxdyzinfx,y,zdxdydz!idxdyV —Dzix,yby2x z2fx,y,zdz,dxdy■fx,y,zdz—a 爐 Zjx,y其他簡單區(qū)域類似.般區(qū)域V上的三重積分，常將區(qū)域分解為有限個簡單區(qū)域上的積分的和來計算.

...212例1計算vxydxdydzX...212例1計算vxydxdydz=y所圍的區(qū)域.dxdydzf(x,y,/)dz，其中V=y所圍的區(qū)域.dxdydzf(x,y,/)dz，其中V為由平面x-1,x=2,z=0,y=X例3改變下列累次積分順序設(shè)變換T:X二xu,v,w:y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)把uvw空間中的區(qū)域V一對一地映成xyz空間中的區(qū)域七并設(shè)函數(shù)x=xu,v,w，y二yu,v,w，z=zu,v,w及它的J(u,v,w)=ex石生cuexexcvdw型空0式u,v,w2vczczcvcwinJ(u,v,w)=ex石生cuexexcvdw型空0式u,v,w2vczczcvcwinfx,y,zdxdydzillfxu,v,w,yu,v,w,zu,v,w則V=v■其中］x，y,z在v上可積. Ju.v.wdudvdw,(4)(一)、柱面坐標變換：如下圖所示x=rcos= 0_t::::*y=rsin日，0蘭日蘭2兀變換T:Z=乙—oo ￡Zv人由cos日-rsin日°sin日rcos日0J(e,zL0 0 1=r按（4）式illfx,y,zdxdydziiifrcosyrsinv,zrdrdWzV V■這里V為V在柱面坐標變換下的原象.在柱面坐標中：r二常數(shù)，是以z軸為中心軸的圓柱面； 二二常數(shù)，是過z軸的半平面;z二常數(shù)，是垂直于z軸的平面.若V在平面上的投影區(qū)域D，即V」x,y,z乙x,y空乙乞乙x,y,x,y?時z2x,yIIIfx,y,zdxdydzdxdyfx,y,zdzV —D zix,y其中二重積分部分應(yīng)用極坐標計算./二z與z二4為界面的區(qū)域.III〔/二z與z二4為界面的區(qū)域.例4計算V ，其中V是由曲面例5計算iiizdxdydz,V由x2y2zA4和拋物面x2y2=3z圍成。例6計算111x2y2dxdydz,V由X2y=z2和z=1圍成。（二）、球坐標變換0遼t:::::x二rsincos氣<y=rsin?sin日，變換「sin?cos日一rcos?cos日-rsin:sin-sinsinrrcossin- rsin:cos-」（「，護，日）=cosA -rsinA =r2sinz=rco汽變換公式為:

IIIfX,y,zdxdydzV[[[f（rsinAcosBjsinAPsinT^rcos護rsinAPdrd申dO在球面坐標中：r=常數(shù)，是過z軸的半平面.r=常數(shù)，是以原點為中心的球面「二常數(shù)，是以原點為頂點，以z軸為中心軸的圓錐面.2（日M雷<町時,二匕嚴，日卜1（化日）蘭「蘭2（日M雷<町時,~22 「2識；二1ffff（x,y,zdxdydzJdTJd?Jf（rsinAcose,rsinAsinT,rcos?r2sin?dr=6ri（日IIIdv.did,r2sin:dr4二a3l-cos「=3例8計算譏（x2+v2+z2）dxdydz,V:X2+y2+ =2z222222y22C?Z-與-a所確圍的立體體inzdxdydz/x2求由圓錐體z-y2cot