北京高三（期末）理數(shù)5.數(shù)列

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【解析分類匯編系列一:北京2013高三期末】:5數(shù)列一、選擇題1．（北京市東城區(qū)普通高中示范校2013屆高三3月聯(lián)考綜合練習(xí)（二）數(shù)學(xué)（理）試題）已知數(shù)列滿足，若是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 (）A．eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,3），1)) B．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),\f（1，2))) C．eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（5,8），1）） D．eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,3），\f（5，8)）)【答案】D因?yàn)槭沁f減數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，有。當(dāng)時(shí)，，即。且，即，解得。綜上，選D。2．（北京市東城區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題）已知為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為,若，，則公差等于 （）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，解得，所使用，解得，選C.3．（北京市海淀區(qū)北師特學(xué)校2013屆高三第四次月考理科數(shù)學(xué)）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，，，則等于 (）A．16 B．8 C． D．4【答案】D【解析】由可知數(shù)列是等差數(shù)列，且以為首項(xiàng),公差，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為,所以，即.選D.4．（北京市昌平區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題）設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和,且成等比數(shù)列，則等于 （）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即,即，所以，選C.二、填空題5（北京市東城區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題）定義映射，其中,,已知對(duì)所有的有序正整數(shù)對(duì)滿足下述條件:①；②若,；③,則,．【答案】【解析】根據(jù)定義得。，，，所以根據(jù)歸納推理可知。6（北京市海淀區(qū)北師特學(xué)校2013屆高三第四次月考理科數(shù)學(xué))對(duì)任意,函數(shù)滿足，設(shè)，數(shù)列的前15項(xiàng)的和為，則．【答案】【解析】因?yàn)?，所以?即。兩邊平方得，即，即，即，即數(shù)列的任意兩項(xiàng)之和為，所以,即。所以，解得或（舍去）。7．（北京市西城區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為．若,，，則______．【答案】6【解析】設(shè)公比為，因?yàn)?所以，則，所以，又，即，所以。8（北京市豐臺(tái)區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題)右表給出一個(gè)“三角形數(shù)陣”。已知每一列數(shù)成等差數(shù)列,從第三行起，每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，記第行第列的數(shù)為（）,則等于,.【答案】【解析】由題意可知第一列首項(xiàng)為，公差，第二列的首項(xiàng)為，公差，所以，，所以第5行的公比為,所以。由題意知，，所以第行的公比為，所以9．（北京市朝陽區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，則的值為.【答案】【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以.是等比數(shù)列,所以，因?yàn)?，所以，所以?0．（北京市朝陽區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題)將整數(shù)填入如圖所示的行列的表格中，使每一行的數(shù)字從左到右都成遞增數(shù)列，則第三列各數(shù)之和的最小值為，最大值為.【答案】；【解析】因?yàn)榈?列前面有兩列，共有10個(gè)數(shù)分別小于第3列的數(shù)，因此:最小為：3+6+9+12+15=45.因?yàn)榈?列后面有兩列，共有10個(gè)數(shù)分別大于第3列的數(shù)，因此：最大為：23+20+17+14+11=85。11.(北京市海淀區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題).數(shù)列滿足且對(duì)任意的，都有,則的前項(xiàng)和_____?！敬鸢浮俊窘馕觥坑煽傻?，所以。所以.由得，令，得，即數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，所以。12．（北京市石景山區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題）在等比數(shù)列中，,則公比,【答案】【解析】在等比數(shù)列中,所以，即.所以,所以,即數(shù)列是一個(gè)公比為2的等比數(shù)列，所以.三、解答題13。．（北京市東城區(qū)普通高中示范校2013屆高三3月聯(lián)考綜合練習(xí)（二）數(shù)學(xué)(理）試題）已知數(shù)集具有性質(zhì):對(duì)，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于．（1）分別判斷數(shù)集與數(shù)集是否具有性質(zhì)，說明理由；(2）求證:；(3）已知數(shù)集具有性質(zhì)．證明：數(shù)列是等差數(shù)列．【答案】：由于和都不屬于集合,所以該集合不具有性質(zhì)；由于、、、、、、、、、都屬于集合，所以該數(shù)集具有性質(zhì)．…………4分具有性質(zhì)，所以與中至少有一個(gè)屬于由,有，故，故，故由具有性質(zhì)知，又，，,…，,從而故……8分由（2)可知，…………①由知，，,…，，均不屬于由具有性質(zhì),,，…，，均屬于,，，…，即…………②由①②可知故構(gòu)成等差數(shù)列．…………………13分14．(北京市東城區(qū)普通校2013屆高三3月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理)試題）設(shè)，,…是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，對(duì)于滿足的整數(shù)，數(shù)列，，…由確定。記(Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求M的值；(Ⅱ）求M的最小值及相應(yīng)的k的值【答案】15．（北京市東城區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題）已知為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且。（Ⅰ)求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和。【答案】(Ⅰ）當(dāng)時(shí)，.………1分當(dāng)時(shí),?！?分因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，即。。……5分所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為?！?分（Ⅱ）由(Ⅰ）得.則。①。②①—②得…9分.…………………12分所以?！?3分16。(北京市東城區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題）已知實(shí)數(shù)組成的數(shù)組滿足條件：①；②.(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求,的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí),求證：；(Ⅲ）設(shè)，且，求證：.【答案】（Ⅰ）解：由（1）得，再由（2）知,且。當(dāng)時(shí)，。得，所以……………2分當(dāng)時(shí),同理得………………4分（Ⅱ)證明：當(dāng)時(shí)，由已知，.所以.………………9分（Ⅲ）證明：因?yàn)?且。所以，即.……………11分)?！?4分17.(北京市海淀區(qū)北師特學(xué)校2013屆高三第四次月考理科數(shù)學(xué)）數(shù)列｛｝中，,，且滿足(1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2)設(shè)，求．【答案】(1）∴∴為常數(shù)列,∴｛an}是以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，設(shè),,∴，∴．（2）∵，令，得．當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)時(shí)，，．當(dāng)時(shí)，．∴18．（北京市海淀區(qū)北師特學(xué)校2013屆高三第四次月考理科數(shù)學(xué)）在單調(diào)遞增數(shù)列中，，不等式對(duì)任意都成立。（Ⅰ)求的取值范圍;(Ⅱ）判斷數(shù)列能否為等比數(shù)列？說明理由；(Ⅲ)設(shè)，，求證：對(duì)任意的,.【答案】（Ⅰ)解：因?yàn)槭菃握{(diào)遞增數(shù)列，所以，。令,，，所以?！?分（Ⅱ)證明：數(shù)列不能為等比數(shù)列.用反證法證明:假設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,,。因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以.因?yàn)?，都成?所以，①因?yàn)?，所以，使得?dāng)時(shí)，。因?yàn)?所以，當(dāng)時(shí)，，與①矛盾,故假設(shè)不成立.………9分(Ⅲ）證明：觀察：，,，…，猜想：.用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)時(shí)，成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí),成立;當(dāng)時(shí)，所以.根據(jù)（1）（2）可知，對(duì)任意，都有，即.由已知得，。所以.所以當(dāng)時(shí),.因?yàn)?。所以?duì)任意,.對(duì)任意，存在，使得，因?yàn)閿?shù)列{｝單調(diào)遞增，所以，.因?yàn)椋?………………14分19。（北京市西城區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題)如圖，設(shè)是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表,其中表示位于第行第列的實(shí)數(shù)，且。記為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合．對(duì)于,記為的第行各數(shù)之積，為的第列各數(shù)之積．令．（Ⅰ)請(qǐng)寫出一個(gè)，使得；（Ⅱ)是否存在，使得？說明理由；（Ⅲ）給定正整數(shù)，對(duì)于所有的，求的取值集合．【答案】（Ⅰ）解：答案不唯一，如圖所示數(shù)表符合要求．………………3分(Ⅱ)解:不存在，使得．………………4分證明如下：假設(shè)存在,使得．因?yàn)椋?，所以，，，?,，這個(gè)數(shù)中有個(gè)，個(gè)．令．一方面,由于這個(gè)數(shù)中有個(gè)，個(gè),從而．①另一方面，表示數(shù)表中所有元素之積（記這個(gè)實(shí)數(shù)之積為）;也表示，從而．②①、②相矛盾，從而不存在,使得．………………8分（Ⅲ）解：記這個(gè)實(shí)數(shù)之積為．一方面，從“行"的角度看，有;另一方面，從“列”的角度看，有．從而有．③………………10分注意到，．下面考慮，，，，,，，中的個(gè)數(shù)：由③知，上述個(gè)實(shí)數(shù)中，的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)，該偶數(shù)記為；則的個(gè)數(shù)為，所以．………………12分對(duì)數(shù)表：，顯然．將數(shù)表中的由變?yōu)?，得到?shù)表，顯然．將數(shù)表中的由變?yōu)?，得到?shù)表，顯然．依此類推，將數(shù)表中的由變?yōu)?，得到?shù)表．即數(shù)表滿足：，其余．所以，．所以．由的任意性知，的取值集合為．……………13分20.（北京市順義區(qū)2013屆高三第一次統(tǒng)練數(shù)學(xué)理科試卷（解析））已知為等差數(shù)列，且。(I)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(II）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】解:（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)?所以解得，所以,因此記數(shù)列的前項(xiàng)和為,當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),=，又當(dāng)時(shí)滿足此式，綜上，(II）記數(shù)列的前項(xiàng)和為.則,，所以。由(I)可知,,所以，故21.（北京市順義區(qū)2013屆高三第一次統(tǒng)練數(shù)學(xué)理科試卷（解析））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且點(diǎn)在函數(shù)的圖像上。(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(II）設(shè)數(shù)列滿足:，求數(shù)列的前項(xiàng)和公式;(III）在第(II)問的條件下，若對(duì)于任意的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】解:(I）由題意可知，。當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí),也滿足上式,所以（II)由（I）可知,即.當(dāng)時(shí)，,①當(dāng)時(shí)，，所以，②當(dāng)時(shí),，③當(dāng)時(shí)，,所以,④當(dāng)時(shí)（為偶數(shù)）,，所以以上個(gè)式子相加,得.又，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.同理,當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí),因此,當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和；當(dāng)為奇數(shù)時(shí),數(shù)列的前項(xiàng)和。故數(shù)列的前項(xiàng)和(III)由(II）可知①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以隨的增大而減小,從而,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),的最大值是.②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，,所以隨的增大而增大，且。綜上，的最大值是1。因此,若對(duì)于任意的,不等式恒成立,只需，故實(shí)數(shù)的取值范圍是22（北京市通州區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）現(xiàn)有一組互不相同且從小到大排列的數(shù)據(jù),其中．記，，作函數(shù)，使其圖象為逐點(diǎn)依次連接點(diǎn)的折線．（Ⅰ)求和的值；（Ⅱ）設(shè)直線的斜率為，判斷的大小關(guān)系；(Ⅲ)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（Ⅰ）解：，………………2分；………………4分(Ⅱ）解：,．………………6分因?yàn)?，所以．……………?分(Ⅲ）證：由于的圖象是連接各點(diǎn)的折線，要證明，只需證明．…………9分事實(shí)上,當(dāng)時(shí),．下面證明．法一:對(duì)任何，………………10分……11分…………12分所以．…………13分法二：對(duì)任何，當(dāng)時(shí)，；………10分當(dāng)時(shí)，綜上，．………13分23。（北京市豐臺(tái)區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題）已知曲線,是曲線C上的點(diǎn)，且滿足，一列點(diǎn)在x軸上，且是坐標(biāo)原點(diǎn)）是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．（Ⅰ）求、的坐標(biāo)；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）令，是否存在正整數(shù)N，當(dāng)n≥N時(shí)，都有，若存在，求出N的最小值并證明；若不存在，說明理由．【答案】解：（Ⅰ)?B0A1B1是以A1為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，直線B0A1的方程為y=x．由得，即點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（2，2）,進(jìn)而得．…。。3分(Ⅱ)根據(jù)和分別是以和為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形可得,即．(＊）………….。5分和均在曲線上，,，代入（*）式得，,………..7分?jǐn)?shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為（)．……………。...8分（Ⅲ）由(Ⅱ）可知,，，……………………9分，．==．….……………。.…………10分．………。11分(方法一）-=．當(dāng)n=1時(shí)不符合題意,當(dāng)n=2時(shí)，符合題意，猜想對(duì)于一切大于或等于2的自然數(shù)，都有．（)觀察知,欲證（)式,只需證明當(dāng)n≥2時(shí)，n+1〈2n以下用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:（1）當(dāng)n=2時(shí),左邊=3，右邊=4,左邊〈右邊；（2）假設(shè)n=k(k≥2）時(shí)，(k+1）<2k，當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=（k+1）+1<2k+1〈2k+2k=2k+1=右邊，對(duì)于一切大于或等于2的正整數(shù)，都有n+1〈2n，即<成立．綜上，滿足題意的n的最小值為2.…………….。13分（方法二）欲證成立，只需證明當(dāng)n≥2時(shí)，n+1<2n．，并且，當(dāng)時(shí)，。24.（北京市昌平區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題）已知每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列，其中等于的項(xiàng)有個(gè)，設(shè),(Ⅰ)設(shè)數(shù)列,求；（Ⅱ)若中最大的項(xiàng)為50，比較的大小；（Ⅲ)若，求函數(shù)的最小值．【答案】（I)因?yàn)閿?shù)列，所以,所以…4分（II)一方面，，根據(jù)的含義知,故，即，①當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。因?yàn)橹凶畲蟮捻?xiàng)為50,所以當(dāng)時(shí)必有，所以即當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有…9分（III)設(shè)為中的最大值.由（II）可以知道，的最小值為.根據(jù)題意，下面計(jì)算的值。，∵，∴,∴最小值為.………….14分25.(北京市朝陽區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題)將正整數(shù)（)任意排成行列的數(shù)表.對(duì)于某一個(gè)數(shù)表，計(jì)算各行和各列中的任意兩個(gè)數(shù)（）的比值，稱這些比值中的最小值為這個(gè)數(shù)表的“特征值”。（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，試寫出排成的各個(gè)數(shù)表中所有可能的不同“特征值”；（Ⅱ）若表示某個(gè)行列數(shù)表中第行第列的數(shù)（，），且滿足請(qǐng)分別寫出時(shí)數(shù)表的“特征值”，并由此歸納此類數(shù)表的“特征值”（不必證明）；（Ⅲ）對(duì)于由正整數(shù)排成的行列的任意數(shù)表，記其“特征值"為，求證：?！敬鸢浮孔C明：（Ⅰ）顯然,交換任何兩行或兩列，特征值不變.可設(shè)在第一行第一列，考慮與同行或同列的兩個(gè)數(shù)只有三種可能，或或。得到數(shù)表的不同特征值是或………………3分714582369（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，數(shù)表為此時(shí),數(shù)表的“特征值”為……………………4分13159101426711153481216當(dāng)時(shí)，數(shù)表為此時(shí)，數(shù)表的“特征值”為。………5分21161116172227121318233891419244510152025當(dāng)時(shí)，數(shù)表為此時(shí)，數(shù)表的“特征值”為?！?分猜想“特征值”為.……………7分(Ⅲ）對(duì)于一個(gè)數(shù)表而言，這個(gè)較大的數(shù)中,要么至少有兩個(gè)數(shù)在一個(gè)數(shù)表的同一行（或同一列)中，要么這個(gè)較大的數(shù)在這個(gè)數(shù)表的不同行且不同列中。①當(dāng)這個(gè)較大的數(shù),至少有兩個(gè)數(shù)在數(shù)表的同一行（或同一列）中時(shí),設(shè)（）為該行(或列)中最大的兩個(gè)數(shù)，則,因?yàn)樗?，從而………?0分②當(dāng)這個(gè)較大的數(shù)在這個(gè)數(shù)表的不同行且不同列中時(shí)，當(dāng)它們中的一個(gè)數(shù)與在同行（或列）中,設(shè)為與在同行、同列中的兩個(gè)最大數(shù)中的較小的一個(gè)。則有.綜上可得?！?3分26。（北京市海淀區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題)已知函數(shù)的定義域?yàn)?若在上為增函數(shù)，則稱為“一階比增函數(shù)";若在上為增函數(shù)，則稱為“二階比增函數(shù)”.我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為，所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為.(Ⅰ)已知函數(shù)，若且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(Ⅱ）已知，且的部分函數(shù)值由下表給出，求證：；(Ⅲ)定義集合請(qǐng)問：是否存在常數(shù),使得，，有成立？若存在，求出的最小值;若不存在,說明理由?！敬鸢浮浚↖）因?yàn)榍遥丛谑窃龊瘮?shù)，所以………………1分而在不是增函數(shù),而當(dāng)是增函數(shù)時(shí),有，所以當(dāng)不是增函數(shù)時(shí)，綜上，得………………4分（Ⅱ）因?yàn)?，且所?所以，同理可證,三式相加得所以………………6分因?yàn)樗远?所以所以