計算電四極子電勢的兩個問題

計算電四極子電勢的兩個問題

電四極子電勢在測量小區(qū)域電壓分布時起著非常有用的作用，但計算方法復(fù)雜且困難。本文分析和討論了部分教科書中電氣價格變化的錯誤，并提供了一種簡化方法。當(dāng)學(xué)生接受和理解電氣價格時，電四極子電勢的概念。1關(guān)于“點電荷-等位面間”的假設(shè)例1一電四極子如圖1所示,證明:當(dāng)rl時,它在P(r,θ)處產(chǎn)生的電位為圖中極軸通過正方形中心O點,且與一對邊平行(見文獻習(xí)題13).例1給出的結(jié)論是不正確的.文獻對該錯誤做了訂正,卻又有幾句錯誤的附注:“注意不能用兩個偶極子的近似場強公式迭加,因……公式中對O(l2/r2)量級的項已作某種忽略”.例2“計算如圖2所示的線性四極子在很遠處(rl)的電勢”(見文獻習(xí)題8-52,文獻習(xí)題8-35).文獻[3,4]給出的答案為“”,按該答案,全部空間中電勢均為正值,顯然是錯誤的.因為若兩正電荷距P點各為r1和r2,則U=0的等位面方程為,兩等位面間必有U<0.上述兩個習(xí)題都采用了點電荷電位疊加的方法求解,并對各點電荷到觀察點的距離取幾何近似.如例2中,r1、r2的精確值為取幾何近似,并略去高階小量,即得所給的錯誤答案.1.1偶極子公式迭加反應(yīng)可見,幾何近似值只精確到前兩項,代入點電荷電位公式疊加時都被消去了,只留下不正確的第3項,故必然出錯.若使用偶極子公式,只用到級數(shù)的第2項,故精度足夠.因此,文獻的附注純屬誤解,電四極子電勢不是“不能用偶極子公式迭加”,而是不能在各ri取近似的情況下,用點電荷公式迭加.實際上用偶極子公式迭加是完全可行的.1.2點電荷的選取這種方法只用初等數(shù)學(xué)即可,其繁簡隨坐標(biāo)的選取而定.把例1中4個點電荷看成方向相反的一對偶極子,則有用類似的方法,可得例2的正確答案為2點電荷的電四極矩計算用偶極子公式計算電四極子電勢的方法,可以推廣到任意四極子電勢的計算.利用近似公式(1+a)n≈1+na(-1<a<1),并將坐標(biāo)系選擇為:以四極子對稱中心為原點,各點電荷所在平面為x—y平面.令x軸與一個偶極子平行,則各點電荷坐標(biāo)為+q(x′,y′,0),-q(x″,y′,0),+q(-x′,-y′,0),-q(-x″,-y′,0),如圖4所示.由圖中可知代入(4)式,得式中,(2x′ix′j-2x″ix″j)為各正負(fù)點電荷自身的兩個坐標(biāo)分量乘積之和,x′ix′j或x″ix″j的正負(fù)由各點電荷的電性及坐標(biāo)分量的正負(fù)決定.因此可定義D′ij=3x′ix′jqa為單個點電荷qa的“電四極矩的ij分量”,并規(guī)定它只能與其它點電荷的電四極矩ij分量相加,腳碼順序必須嚴(yán)格相同.另外,順便給學(xué)生指出,電四極矩的ij分量有9個,這種物理量稱為張量.于是整個四極子的電四極矩的ij分量即為因此(5)式可改寫為將(6)式推廣到n個點電荷組成的點電荷系,則該點電荷系的電四極矩ij分量為對n個點電荷求和,當(dāng)電荷連續(xù)分布時,以ρ′dV′代替qa,求和改為積分,即得小區(qū)域連續(xù)分布電荷的電四極矩的ij分量.實際上相當(dāng)于將多個點電荷組成的點電荷系或連續(xù)分布電荷看成“等效電四極子”,然后用(7)式求出它們在遠處的四極勢.上述引入四極矩的方式,使不具備多元泰勒展開及算符運算等數(shù)學(xué)知識的學(xué)生也能方便地接受,尤其是對低年級學(xué)生和非物理專業(yè)基礎(chǔ)課更為適用,而且有以實例提前引入張量概念的效果至于勢的多極展開等也不難處理對此文獻中已有范例不再贅述.反復(fù)應(yīng)用近似公式(1+a)n≈1+na,可得以上各式代入(1)式,并注意到偶極子極軸l=x′-x″,整理得適當(dāng)選擇x′,x″,y′可解出任意一種四極子電勢.如例1中取y′=x″=l/2,x′=-l/2;例2中取x′=d/2,x″=y′=0,即可.3關(guān)于四極矩概念的引入如圖5所示,以四極子對稱中心為原點,任選三維直角坐標(biāo)系,記o—x1,x2,x3.設(shè)四極子各點電荷的坐標(biāo)為,+q(x′1,x′2,x′3),-q(x″1,x″2,x″3),+q(-x′1,-x′2,-x′3),-q(-x″,-x″,-x″),則其電勢為式中利用近似公式(1+a)n≈1+na,可得同理有另外,不難求得以上各式代入(3