高斯定理場強的刻畫

高斯定理場強的刻畫

靜電場是電磁學中非常重要的部分。它不僅是場的基本內容和重要組成部分，而且是分析問題的最佳方法。1.求p點的場強電場強度通常簡稱為場強,由于場強是空間點的矢量函數(shù),場強疊加為矢量疊加,在電荷連續(xù)分布時,場強疊加原理可以寫作矢量的積分,即。用此方法原則上可以求任意靜止帶電體包括連續(xù)靜止帶電體周圍空間某點的場強,此方法一般涉及到矢量和微積分知識,故這種方法往往比較復雜。例1.設真空中有均勻帶正電的細棒,長為L,總電量為q,線外一點P離細棒的垂直距離為a,求P點的場強。(P點與細棒兩端的連線與細棒的夾角分別為θ1,θ2。見圖1)解:在P與細棒構成的平面內,取直角坐標xoy,細棒的電荷線密度;在棒上距o為x處取一線元dx,電荷元dq=λdx,離P點的距離為r,則dq在點激發(fā)的場強的大小為,方向如圖1所示。將分解為直角坐標分量:dEx=dEcosθ,dEy=dEsinθ式中θ為與x軸正向的夾角。r、x、θ是相互聯(lián)系的三個變量,積分時必須統(tǒng)一變量,本題可選θ為自變量(也可選r或x,視解題方便而定)。由圖可知對上兩式沿x正向積分,dθ的積分下限為1θ,上限為θ2。合場強的大小為:。方向可用與x軸正向夾角a表示:。[討論]:、若P點位于棒的中垂面上,OP為中垂線,這時θ2=π-θ1,代入(1)、(2)兩式得:因細棒對中垂線y軸對稱,故p點的合場強在垂直y軸方向的分量Ex=0,合場強沿中垂線y方向。、若細棒L→∞,這時θ1=0,θ2=π,則:因細棒為無限長,任何垂直于它的平面都可看成是中垂面,所以無限長細棒周圍任何地方的電場都與棒垂直,這個結果對有限長細棒在L>>a條件下也適用。2.用高斯定理求解高斯定理是靜電場的基本定理之一。當帶電體的電荷分布具有某種對稱性(平面對稱、球對稱、軸對稱)時,可用高斯定理求場的分布,根據(jù)對稱性的特點,選取合適的坐標系,通過場點作出合適的高斯面,以便于計算出用場點表示的電通量,由高斯定理解出場強。用高斯定理解題的步驟可歸納如下:(1)分析帶電體的對稱性(因為高斯定理所能求的電場只限于具有某種對稱性分布的情況)。(2)選擇適當?shù)拈]合面作高斯面,其目的是使場強從積分號中提出來。(3)寫出電通量的表達式,根據(jù)高斯定理,求出場強分布。(4)對于某些復雜的電荷分布,要注意到對帶電體的各部分可以分別使用高斯定理,再用場強疊加原理來求總的場強分布。3.空腔內均勻電場的確定對于不具有某種對稱性的帶電體,可以經(jīng)過巧妙的補償處理,使其成為若干個典型帶電體,可比較方便地計算出場強的分布。解:本題求解的帶電體形狀不大規(guī)則,利用補償法求解。我們可以設想不帶電的球形空腔內有體密度(ρ)相同等值異號的兩種電荷。這樣整個帶電系統(tǒng)可以認為是由一個以1O為球心、半徑為1R、體密度為ρ的均勻帶電球體和另一個以2O為球心、半徑為2R、體密度為-ρ的均勻帶電球體所構成。根據(jù)場強疊加原理,空腔內任一點P處的場強可看成這兩個實心球分別產(chǎn)生的場強的疊加。則空腔內任一點的電場強度為:EP=E1+E2=3ε0空腔內的電場是勻強電場。用上述方法可求解任一點的場強。4.電勢疊加原理電勢通常也說成是電位,是從靜電場力做功的角度來研究靜電場的。因為電勢V是標量,與矢量相比,V比較容易計算,所以在實際計算時,常是先計算電勢V,然后再用求出場強分布,一般在數(shù)學運算上這樣較為方便。用這種方法解題的步驟可歸納如下:(1)用點電荷的電勢和電勢疊加原理求電勢分布,電勢疊加原理可寫作V=∫dV,此步與前面講的用點電荷的場強和場強疊加原理計算場強分布步驟類似。但由于電勢是標量,電勢的疊加是標量的疊加,它比起計算場強時的矢量疊加要簡單一些。(2)用公式求場強分布。5.鏡象法上的無界問題在有導體或電介質存在的情況下,靜電場是由帶電體和導體的感應電荷或介質的束縛電荷共同產(chǎn)生。鏡象法的實質是在所研究的場域外的適當處,放置適當數(shù)量的電荷來代替導體的感應電荷或介質的束縛電荷作用,所放置的電荷稱鏡象電荷。這樣,便把實際的有界問題化為假想的無界問題來處理,這種方法就叫做鏡象法。一般適用于求解點電荷(或線電荷或面電荷)與導體(或介質)具有規(guī)則界面時的電場問題。例3:一無限大導體平面上方充滿均勻介質。設在半徑為R的球形范圍內,介質均勻帶電,總電荷為Q,球心O距導體平面距離也為R,介質的介電常數(shù)為ε,分別求O及A處之電場強度。(A距導體平面的距離為2R)解:用鏡象法求解,電荷集中放在O點,并在導體面的對稱位置放鏡象電荷-Q,則A點之場強可直接求得為:因帶電Q的介質球在球心O點產(chǎn)生之場強為零,故僅計算-Q在O點產(chǎn)生之場強就行了,即運用合適的方法以上介紹了幾種求解靜電場問題的基本方法、步驟及各自的優(yōu)缺點。在實際解