小學(xué)奧數(shù)解題技巧-解工程問(wèn)題的方法

解工程問(wèn)題的方法工程問(wèn)題是研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間關(guān)系的問(wèn)題。這三者之間的關(guān)系是：工作效率×工作時(shí)間=工作量工作量÷工作時(shí)間=工作效率工作量÷工作效率=工作時(shí)間根據(jù)上面的數(shù)量關(guān)系，只要知道三者中的任意兩種量，就可求出第三種量。由于工作量的已知情況不同，工程問(wèn)題可分為整數(shù)工程問(wèn)題和分?jǐn)?shù)工程問(wèn)題兩類。在整數(shù)工程問(wèn)題中，工作量是已知的具體數(shù)量。解答這類問(wèn)題時(shí)，只要按照上面介紹的數(shù)量關(guān)系計(jì)算就可解題，計(jì)算過(guò)程中一般不涉及分率。在分?jǐn)?shù)工程問(wèn)題中，工作量是未知數(shù)量。解這類題時(shí)，也要根據(jù)上面介紹的數(shù)量關(guān)系計(jì)算，但在計(jì)算過(guò)程中要涉及到分率。（一）工作總量是具體數(shù)量的工程問(wèn)題例1建筑工地需要1200噸水泥，用甲車(chē)隊(duì)運(yùn)需要15天，用乙車(chē)隊(duì)運(yùn)需要10天。兩隊(duì)合運(yùn)需要多少天？（適于四年級(jí)程度）解：這是一道整數(shù)工程問(wèn)題，題中給出了總工作量是具體的數(shù)量1200噸，還給出了甲、乙兩隊(duì)完成總工作量的具體時(shí)間。先根據(jù)“工作量÷工作時(shí)間=工作效率”，分別求出甲、乙兩隊(duì)的工作效率。再根據(jù)兩隊(duì)工作效率的和及總工作量，利用公式“工作量÷工作效率=工作時(shí)間”，求出兩隊(duì)合運(yùn)需用多少天。甲車(chē)隊(duì)每天運(yùn)的噸數(shù)：（甲車(chē)隊(duì)工作效率）1200÷15=80（噸）乙車(chē)隊(duì)每天運(yùn)的噸數(shù)：（乙車(chē)隊(duì)工作效率）1200÷10=120（噸）兩個(gè)車(chē)隊(duì)一天共運(yùn)的噸數(shù)：80+120=200（噸）兩個(gè)車(chē)隊(duì)合運(yùn)需用的天數(shù)：1200÷200=6（天）綜合算式：1200÷（1200÷15+1200÷10）=1200÷（80+120）=1200÷200=6（天）答略。*例2生產(chǎn)350個(gè)零件，李師傅14小時(shí)可以完成。如果李師傅和他的徒弟小王合作，則10小時(shí)可以完成。如果小王單獨(dú)做這批零件，需多少小時(shí)？（適于四年級(jí)程度）解：題中工作總量是具體的數(shù)量，李師傅完成工作總量的時(shí)間也是具體的。李師傅1小時(shí)可完成：350÷14=25（個(gè)）由“如果李師傅和他的徒弟小王合作，則10小時(shí)可以完成”可知，李師傅和徒弟小王每小時(shí)完成：350÷10=35（個(gè)）小王單獨(dú)工作一小時(shí)可完成：35-25=10（個(gè)）小王單獨(dú)做這批零件需要：350÷10=35（小時(shí)）綜合算式：350÷（350÷10-350÷14）=350÷（35-25=350÷10=35（小時(shí)）答略。*例3把生產(chǎn)2191打毛巾的任務(wù)，分配給甲、乙兩組。甲組每小時(shí)生產(chǎn)毛巾128打，乙組每小時(shí)生產(chǎn)毛巾160打。乙組生產(chǎn)2小時(shí)后，甲組也開(kāi)始生產(chǎn)。兩組同時(shí)完工時(shí)超產(chǎn)1打。乙組生產(chǎn)了多長(zhǎng)時(shí)間？（適于四年級(jí)程度）解：兩組共同生產(chǎn)的總?cè)蝿?wù)是：2191-160×2+1=1872（打）兩組共同生產(chǎn)的時(shí)間是：1872÷（160+128）=6.5（小時(shí)）乙組生產(chǎn)的時(shí)間是：6.5+2=8.5（小時(shí)）綜合算式：（2191-160×2+1）÷（160+128）+2=1872÷288+2=6.5+2=8.5（小時(shí)）答略。一同生產(chǎn)用了多少小時(shí)？（適于六年級(jí)程度）解：兩臺(tái)機(jī)器一同生產(chǎn)的個(gè)數(shù)是：108-45=63（個(gè)）第一臺(tái)機(jī)器每小時(shí)生產(chǎn)：第二臺(tái)機(jī)器每小時(shí)生產(chǎn)：兩臺(tái)機(jī)器一同生產(chǎn)用的時(shí)間是：63÷（4+5）=7（小時(shí)）綜合算式：答略。（二）工作總量不是具體數(shù)量的工程問(wèn)題例1一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做24天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做16天完成。甲、乙兩隊(duì)合做，多少天可以完成？（適于六年級(jí)程度）解：把這項(xiàng)工程的工作總量看作1。甲隊(duì)單獨(dú)做24天完成，做1天完成答略。例2一項(xiàng)工程，由甲工程隊(duì)修建需要20天，由乙工程隊(duì)修建需要30解：把這項(xiàng)工程的工作總量看作1，由甲工程隊(duì)修建需要20天，知甲工答略。例3一項(xiàng)工程，甲、乙合做5天可以完成，甲單獨(dú)做15天可以完成。乙單獨(dú)做多少天可以完成？（適于六年級(jí)程度）解：把這項(xiàng)工程的工作量看作1。甲、乙合做5天可以完成，甲、乙合需要多長(zhǎng)的時(shí)間。=7.5（天）答：乙單獨(dú)做7.5天可以完成。例4有一個(gè)水箱，用甲水管注水10分鐘可以注滿，用乙水管注水8分鐘可以注滿。甲、乙兩管同時(shí)開(kāi)放2分鐘后，注入水箱中的水占水箱容量的幾分之幾？（適于六年級(jí)程度）解：把水箱的容量看作1。用甲水管注水10分鐘可以注滿，則甲水管1的：答略。例5一項(xiàng)工程，由甲、乙、丙三人各自單獨(dú)做分別要用6天、3天、2天完成任務(wù)。如果三人合作需要幾天完成任務(wù)？（適于六年級(jí)程度）解：甲、乙、丙三人各自單獨(dú)做分別要用6天、3天、2天完成任務(wù)，=1（天）答略。所以，乙單獨(dú)做可以完成的時(shí)間是：綜合算式：=6（天）答略。以完成？（適于六年級(jí)程度）解：甲隊(duì)獨(dú)做3天，乙隊(duì)獨(dú)做5天所完成的工作量，相當(dāng)于甲乙兩隊(duì)合做3天，乙隊(duì)再獨(dú)做2天所完成的工作量。這時(shí)完成了全工程的：乙隊(duì)單獨(dú)做完成的時(shí)間是：答略。*例8加工一批零件，甲獨(dú)做需要3天完成，乙獨(dú)做需要4天完成。兩人同時(shí)加工完成任務(wù)時(shí)，甲比乙多做24個(gè)。這批零件有多少個(gè)？（適于六年級(jí)程度）解：解這道題的關(guān)鍵是，求出24個(gè)零件相當(dāng)于零件總數(shù)的幾分之幾。完成任務(wù)時(shí)甲比乙多做：綜合算式：答略。*例9一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做20天完成，乙單獨(dú)做30天完成。甲、乙合做了數(shù)天后，乙因事請(qǐng)假，甲繼續(xù)做，從開(kāi)工到完成任務(wù)共用了14天。乙請(qǐng)假幾天？（適于六年級(jí)程度）解：根據(jù)“甲單獨(dú)做20天完成”和“從開(kāi)工到完成任務(wù)共用了14天”，可知甲做了全工程的：乙做了全工程的：乙請(qǐng)假的天數(shù)是：14-9=5（天）綜合算式：答略。*例10一項(xiàng)工程，乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成。甲、乙兩隊(duì)合做，比乙隊(duì)單獨(dú)做可提前6天完成。如果甲、乙兩隊(duì)合做5天后，再由甲隊(duì)單獨(dú)做，甲隊(duì)還需要多少天才能完成？（適于六年級(jí)程度）解：設(shè)這項(xiàng)工程為1，則乙隊(duì)每天做：兩隊(duì)合做時(shí)每天做：甲隊(duì)每天做：兩隊(duì)合做5天后剩下的工作量是：甲隊(duì)做剩的工作還需要的時(shí)間是：綜合算式：答略。（三）用解工程問(wèn)題的方法解其他類型的應(yīng)用題例1甲、乙兩地相距487千米。李華駕駛摩托車(chē)從甲地到乙地，需要1小時(shí)；王明騎自行車(chē)從乙地到甲地需要3小時(shí)。照這樣的速度，兩人分別從兩地同時(shí)相向出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾小時(shí)在途中相遇？一般解法：（適于四年級(jí)程度）用解工程問(wèn)題的方法解：（適于六年級(jí)程度）把全程看作1。李華駕駛摩托車(chē)從甲地到乙地需要1小時(shí)，李華的速度就是1；王明騎自行車(chē)從乙地到甲地需要3小時(shí)，王明每1小時(shí)要行全程的例2某學(xué)校食堂購(gòu)進(jìn)一車(chē)煤，原計(jì)劃燒60天。由于改進(jìn)了爐灶的構(gòu)造，實(shí)際每天比原來(lái)少燒10千克，這樣這車(chē)煤燒了70天。這車(chē)煤重多少千克？*一般解法：（適于四年級(jí)程度）10×60÷（70-60）×70=4200（千克）答：這車(chē)煤重4200千克。用解工程問(wèn)題的方法解：（適于六年級(jí)程度）答略。一般解法：（適于六年級(jí)程度）答略。用解工程問(wèn)題的方法解：（適于六年級(jí)程度）如果把這批零件的總數(shù)作為一項(xiàng)“工程”，以1表示，則這個(gè)工廠計(jì)劃因此，實(shí)際需要的天數(shù)是：答略。（四）用份數(shù)法解工程問(wèn)題例1一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做9天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做18天完成。甲、乙兩隊(duì)合做4天后，剩下的任務(wù)由乙隊(duì)單獨(dú)做。乙隊(duì)還需要幾天才能完成？（適于六年級(jí)程度）解：把整個(gè)工程的工作量平均分成9×18=162（份）甲隊(duì)每天可以完成：162÷9=18（份）乙隊(duì)每天可以完成：162÷18=9（份）甲、乙兩隊(duì)合做每天共完成：18+9=27（份）兩隊(duì)4天共完成：27×4=108（份）兩隊(duì)合做4天后，剩下的工程是：162-108=54（份）剩下的任務(wù)由乙隊(duì)單獨(dú)做，需要的天數(shù)是：54÷9=6（天）綜合算式：[9×18-(9×18÷18+9×18÷9)×4]÷9=[162-108]÷9=6（天）答略。例2一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做16天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做20天完成。甲隊(duì)先做7天，然后由甲、乙兩隊(duì)合做。甲、乙兩隊(duì)合做還要多少天才能完成？（適于六年級(jí)程度）解：把這項(xiàng)工程的總工作量看做16×20份，則甲隊(duì)每天做20份，乙隊(duì)每天做16份。甲隊(duì)先做7天，完成的工作量是：20×7=140（份）甲隊(duì)做7天后，剩下的工作量是：16×20-140=180（份）甲、乙兩隊(duì)合做，一天可以完成：20+16=36（份）甲、乙兩隊(duì)合做還需要的天數(shù)是：180÷36=5（天）答略。例3一個(gè)水池裝有進(jìn)、出水管各一個(gè)。單開(kāi)進(jìn)水管10分鐘可將空池注滿，單開(kāi)出水管12分鐘可將滿池水放完。若兩管齊開(kāi)多少分鐘可將空池注滿？（適于六年級(jí)程度）解：把注滿全池水所用的時(shí)間看作10×12份，當(dāng)進(jìn)水管進(jìn)12份的水量時(shí)，出水管可放出10份的水量，進(jìn)出水相差的水量是：12-10=2（份）甲、乙兩管齊開(kāi)注滿水池所用的時(shí)間是：10×12÷2=60（分鐘）答：若兩管齊開(kāi)60分鐘可將空池注滿。（五）根據(jù)時(shí)間差解工程問(wèn)題例1師、徒二人共同加工一批零件，需要4小時(shí)完成。師傅單獨(dú)加工這批零件需要5小時(shí)完成。師、徒二人共同加工完這批零件時(shí)，徒弟加工了30個(gè)。這批零件有多少個(gè)？（適于六年級(jí)程度）解：從時(shí)間差考慮，師、徒共同加工完的時(shí)間與師傅單獨(dú)加工完的時(shí)間相差5-4=1（小時(shí)）。這說(shuō)明師傅1小時(shí)加工的零件數(shù)等于徒弟4小時(shí)加工的零件數(shù)。所以，師傅5小時(shí)加工的零件就是這批零件的總數(shù)：30×5=150（個(gè)）答略。例2一份稿件需要打字，甲、乙兩人合打10天可以完成。甲單獨(dú)打15天可以完成。乙單獨(dú)打需要幾天完成？（適于六年級(jí)程度）解：從時(shí)間差考慮，甲、乙兩人合打完成與甲單獨(dú)打完，兩者的時(shí)間差是15-10=5（天），這說(shuō)明甲5天的工作量相當(dāng)于乙10天的工作量。那么，甲15天的工作量，乙要工作：10÷5×15=30（天）答：乙單獨(dú)打需要30天完成。例3一輛快車(chē)和慢車(chē)同時(shí)分別從A、B兩站相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)過(guò)12小時(shí)相遇。已知快車(chē)行完全程需要20小時(shí)。求兩車(chē)相遇后慢車(chē)還要行多少小時(shí)才能到達(dá)A站？（適于六年級(jí)程度）解：從時(shí)間差考慮，兩車(chē)相遇與快車(chē)行完全程的時(shí)間差是20-12=8（小時(shí)）。這說(shuō)明快車(chē)8小時(shí)行的路程相當(dāng)于慢車(chē)12小時(shí)行的路程。那么快車(chē)行12小時(shí)的路程，慢車(chē)要行多長(zhǎng)時(shí)間？也就是兩車(chē)相遇后慢車(chē)還要行駛而到達(dá)A點(diǎn)的時(shí)間。12÷8×12=18（小時(shí)）答略。第三十七講、解流水問(wèn)題的方法流水問(wèn)題是研究船在流水中的行程問(wèn)題，因此，又叫行船問(wèn)題。在小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及到的題目，一般是勻速運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。這類問(wèn)題的主要特點(diǎn)是，水速在船逆行和順行中的作用不同。流水問(wèn)題有如下兩個(gè)基本公式：順?biāo)俣?船速+水速

（1）逆水速度=船速-水速

（2）這里，順?biāo)俣仁侵复標(biāo)叫袝r(shí)單位時(shí)間里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在靜水中單位時(shí)間里所行的路程；水速是指水在單位時(shí)間里流過(guò)的路程。公式（1）表明，船順?biāo)叫袝r(shí)的速度等于它在靜水中的速度與水流速度之和。這是因?yàn)轫標(biāo)畷r(shí)，船一方面按自己在靜水中的速度在水面上行進(jìn)，同時(shí)這艘船又在按著水的流動(dòng)速度前進(jìn)，因此船相對(duì)地面的實(shí)際速度等于船速與水速之和。公式（2）表明，船逆水航行時(shí)的速度等于船在靜水中的速度與水流速度之差。根據(jù)加減互為逆運(yùn)算的原理，由公式（1）可得：水速=順?biāo)俣?船速

（3）船速=順?biāo)俣?水速

（4）由公式（2）可得：水速=船速-逆水速度

（5）船速=逆水速度+水速

（6）這就是說(shuō)，只要知道了船在靜水中的速度、船的實(shí)際速度和水速這三者中的任意兩個(gè)，就可以求出第三個(gè)。另外，已知某船的逆水速度和順?biāo)俣?，還可以求出船速和水速。因?yàn)轫標(biāo)俣染褪谴倥c水速之和，逆水速度就是船速與水速之差，根據(jù)和差問(wèn)題的算法，可知：船速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2

（7）水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2

（8）*例1一只漁船順?biāo)?5千米，用了5小時(shí)，水流的速度是每小時(shí)1千米。此船在靜水中的速度是多少？（適于高年級(jí)程度）解：此船的順?biāo)俣仁牵?5÷5=5（千米/小時(shí)）因?yàn)椤绊標(biāo)俣?船速+水速”，所以，此船在靜水中的速度是“順?biāo)俣?水速”。5-1=4（千米/小時(shí)）綜合算式：25÷5-1=4（千米/小時(shí)）答：此船在靜水中每小時(shí)行4千米。例2一只漁船在靜水中每小時(shí)航行4千米，逆水4小時(shí)航行12千米。水流的速度是每小時(shí)多少千米？（適于高年級(jí)程度）解：此船在逆水中的速度是：12÷4=3（千米/小時(shí)）因?yàn)槟嫠俣?船速-水速，所以水速=船速-逆水速度，即：4-3=1（千米/小時(shí)）答：水流速度是每小時(shí)1千米。*例3一只船，順?biāo)啃r(shí)行20千米，逆水每小時(shí)行12千米。這只船在靜水中的速度和水流的速度各是多少？（適于高年級(jí)程度）解：因?yàn)榇陟o水中的速度=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2，所以，這只船在靜水中的速度是：（20+12）÷2=16（千米/小時(shí)）因?yàn)樗鞯乃俣?（順?biāo)俣?逆水速度）÷2，所以水流的速度是：（20-12）÷2=4（千米/小時(shí)）答略。*例4某船在靜水中每小時(shí)行18千米，水流速度是每小時(shí)2千米。此船從甲地逆水航行到乙地需要15小時(shí)。求甲、乙兩地的路程是多少千米？此船從乙地回到甲地需要多少小時(shí)？（適于高年級(jí)程度）解：此船逆水航行的速度是：18-2=16（千米/小時(shí)）甲乙兩地的路程是：16×15=240（千米）此船順?biāo)叫械乃俣仁牵?8+2=20（千米/小時(shí)）此船從乙地回到甲地需要的時(shí)間是：240÷20=12（小時(shí)）答略。*例5某船在靜水中的速度是每小時(shí)15千米，它從上游甲港開(kāi)往乙港共用8小時(shí)。已知水速為每小時(shí)3千米。此船從乙港返回甲港需要多少小時(shí)？（適于高年級(jí)程度）解：此船順?biāo)乃俣仁牵?5+3=18（千米/小時(shí)）甲乙兩港之間的路程是：18×8=144（千米）此船逆水航行的速度是：15-3=12（千米/小時(shí)）此船從乙港返回甲港需要的時(shí)間是：144÷12=12（小時(shí)）綜合算式：（15+3）×8÷（15-3）=144÷12=12（小時(shí)）答略。*例6甲、乙兩個(gè)碼頭相距144千米，一艘汽艇在靜水中每小時(shí)行20千米，水流速度是每小時(shí)4千米。求由甲碼頭到乙碼頭順?biāo)行枰獛仔r(shí)，由乙碼頭到甲碼頭逆水而行需要多少小時(shí)？（適于高年級(jí)程度）解：順?biāo)械臅r(shí)間是：144÷（20+4）=6（小時(shí)）逆水而行的時(shí)間是：144÷（20-4）=9（小時(shí)）答略。*例7一條大河，河中間（主航道）的水流速度是每小時(shí)8千米，沿岸邊的水流速度是每小時(shí)6千米。一只船在河中間順流而下，6.5小時(shí)行駛260千米。求這只船沿岸邊返回原地需要多少小時(shí)？（適于高年級(jí)程度）解：此船順流而下的速度是：260÷6.5=40（千米/小時(shí)）此船在靜水中的速度是：40-8=32（千米/小時(shí)）此船沿岸邊逆水而行的速度是：32-6=26（千米/小時(shí)）此船沿岸邊返回原地需要的時(shí)間是：260÷26=10（小時(shí)）綜合算式：260÷（260÷6.5-8-6）=260÷（40-8-6）=260÷26=10（小時(shí)）答略。*例8一只船在水流速度是2500米/小時(shí)的水中航行，逆水行120千米用24小時(shí)。順?biāo)?50千米需要多少小時(shí)？（適于高年級(jí)程度）解：此船逆水航行的速度是：120000÷24=5000（米/小時(shí)）此船在靜水中航行的速度是：5000+2500=7500（米/小時(shí)）此船順?biāo)叫械乃俣仁牵?500+2