工程力學(xué)斌電子課件

1.動量定理2.動量矩定理3.動能定理(15)

內(nèi)容提要

1、質(zhì)點的動量矢量性;瞬時性;相對性一、動量

1.動量定理質(zhì)點的質(zhì)量與速度的乘積稱為質(zhì)點的動量（P

）質(zhì)點的動量是矢量，其方向與速度方向相同2、質(zhì)點系的動量質(zhì)點系中各質(zhì)點動量的矢量和稱為質(zhì)點系的動量質(zhì)點系質(zhì)心位置C

矢徑的公式

1.動量定理質(zhì)點系的動量等于質(zhì)點系的質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積質(zhì)點系的動量是矢量，其方向與質(zhì)心速度方向相同

3、用速度的投影計算動量：

1.動量定理Px，Py，Pz，分別是動量在x，y，z軸上的投影Vc=ωL/2ωLc例1：圖示各均質(zhì)物體的質(zhì)量均為M，計算各物體的動量。Vc=ωRVc=0cωRcωR二、質(zhì)點的動量定理質(zhì)點的動量對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點上所有外力的矢量和。動量定理

1.動量定理三、質(zhì)點系的動量定理m1m2mimjmn第

i個質(zhì)點：質(zhì)量為mi

，速度為vi

，加速度為aiaivim1m2mimjmnaiviFeiFii外力Fei內(nèi)力

Fii根據(jù)質(zhì)點的動量定理:m1m2mimjmn第

i個質(zhì)點：aiviFeiFiii=(1,2,….n)將n個方程求和：m1m2mimjmnaiviFeiFiifijfji質(zhì)點系的動量定理矢量形式：投影形式：其中：四、質(zhì)點系的動量守恒定理:Px

=c

(常量

)P=C(常矢量

)動量守恒定理：質(zhì)點系不受外力作用或所受全部外力的矢量和（或在某軸上投影的代數(shù)和）始終等于零時，則質(zhì)點系的動量（或動量在該軸上的投影）保持不變。P=C(常矢量

)Px

=C(常量

)例題2：機車質(zhì)量為m1，以速度v1撞接一輛質(zhì)量為m2的靜止車廂，設(shè)軌道平直且不計摩擦。試求撞接后這一列車的速度v，并討論撞接前后動量的變化。m1v1=（m1+m2）v解：取機車和車廂組成的質(zhì)點系為研究對象外力有機車和車廂的重力，軌道的鉛垂反力無水平外力，所以有Px

=

常數(shù)Px1=m1v1px2=（m1+m2）vm1v1=（m1+m2）vPx1=m1v1px2=（m1+m2）v例題3：小車重P1=2kN,車上有一人，重P2=0.7kN,車與人以

共同速度V0

在光滑直線軌道上勻速行駛.如人以相對于車的水平

速度u

向左方跳出,如圖示。求小車增加的速度。

uV0

解:取小車、和人組成的系統(tǒng)為研究對象，

畫出受力圖。N1N2P1uV0P20xyN1N2P1uV0P20xy所以Px=c(恒量

)根據(jù)質(zhì)點系的動量守衡定理：Px

=Px0

N1N2P1uV0P20xyPx

=Px0N1N2P1uV0P20xy

2.

動量矩定理一、動量矩OAmvr

質(zhì)量為

m的質(zhì)點A,t時刻動量為mv,O為空間任一固定點。d1、質(zhì)點的動量矩OAmvrMO(mv)d動量矩是一個矢量.質(zhì)量

m的動量

mv

對固定點O點的矩，定義為質(zhì)點對O

點的動量矩OAmvrMO(mv)=r

mvMO(mv)d方向：垂直于r、mv

所在的平面，指向由右手螺旋法則判定。大?。?/p>

2、質(zhì)點對固定軸的動量矩3、質(zhì)點系的動量矩質(zhì)點系中所有質(zhì)點的動量對于固定軸的矩的代數(shù)和，稱為質(zhì)點系對固定軸的動量矩。其中xi，yi及vxi，vyi分別為位置坐標及速度的投影值。4、定軸轉(zhuǎn)動剛體的動量矩rixyzmivi

rixyzmivi

質(zhì)點的Mi動量(mivi

)對z軸動量矩為rixyzmivi

剛體對轉(zhuǎn)軸z

的動量矩rixyzmivi

令Jz

稱為剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。ω為剛體轉(zhuǎn)動的角速度。rixyzmivi

LZ=Jz?ω二、動量矩定理m1m2mimjmnxyzmiviFeiFii第

i個質(zhì)點：質(zhì)量為mi動量為mivi外力Fei內(nèi)力Fii將上式兩端對時間求一階導(dǎo)數(shù)，得：質(zhì)點系對固定軸的動量矩定理：質(zhì)點系對某固定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等作用于質(zhì)點系上全部外力對該軸力矩的代數(shù)和。三、動量矩守恒定律Lz

=C(常量)動量矩守恒定律：質(zhì)點系不受外力等于或全部外力對某固定軸之的力矩的代數(shù)和始終等于零，則該質(zhì)點系對該的動量矩軸保持不變。

OM例題4：圖示卷揚機鼓輪質(zhì)量為m1，半徑為r，可繞過鼓輪中心O的水平軸轉(zhuǎn)動。鼓輪上繞一繩，繩的一端懸掛一質(zhì)量為m2

的重物。鼓輪視為勻質(zhì)，并令其對O軸的轉(zhuǎn)動慣量為JO

。今在鼓輪上作用一不變力矩M，試求重物上升的加速度。解：研究質(zhì)點系----鼓輪與重物

OMm2gvm1gFoxFoy系統(tǒng)對O軸的動量矩：

OMm2gvm1gFoxFoy由動量矩定理解得四、剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量Jz

=

miri2若剛體的質(zhì)量為M，則：m

=

miom1m2mjmimnZ

yxriom1m2mjmimnZ

yxri若C

點為剛體的質(zhì)心dCyc

Zcom1m2mjmimnZ

yxridCyc

Zc五、平行軸定理Jz=Jcz+md2om1m2mjmimnZ

yxridCyc

Zc平行軸定理：剛體對任一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對于過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。Jz=Jcz+md2六、幾種常見均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量Z1、均質(zhì)直桿對過質(zhì)心且與桿軸垂直的z軸的轉(zhuǎn)動慣量Cxl/2l/2dxxZCxl/2l/2z1均質(zhì)矩形板對過質(zhì)心的y軸的轉(zhuǎn)動慣量CXaby2、均質(zhì)等厚薄圓板對與過質(zhì)心且板面垂直的z軸的轉(zhuǎn)動慣量Rz均質(zhì)圓柱體對過質(zhì)心z軸的轉(zhuǎn)動慣量

Rz例題5：質(zhì)量為m

長度為l

的均質(zhì)

直桿

OA和質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)園盤

A

在

A

點剛接,如圖所示.

求系統(tǒng)對垂直于圖面且過O

點的軸的轉(zhuǎn)動慣量。OAR解:OARJO

=JOA+J盤例題6：均質(zhì)偏心圓輪重Q

，偏心距OC=e

，繞過O

點且與圖平面垂直的z軸轉(zhuǎn)動，某瞬時其角速度為

。求:在該瞬時圓輪對z

軸的動量矩。C

ORC

OR解：因為圓輪繞定軸轉(zhuǎn)動，所以：Lz=Jzω根據(jù)

平行移軸定理：所以例題7：質(zhì)量均為m長度均為l的直桿OD和AB在D點剛接,且AD=DB,如圖所示。求系統(tǒng)對垂直于圖面且過O點的軸的轉(zhuǎn)動慣量。OABD解:JO

=JOD

+JABOABDCA例8：均質(zhì)m、R。求：JAd1d2cZ1ZcZ2例9：質(zhì)量m、J1、d1、d2.求：J2

J2=JC+md22=J1–md12+md22JC=J1–md12J1=JC+md123.動能定理

一、力的功的定義作用在質(zhì)點上的力在一段路程中的功，是沿此路程的積累效應(yīng)的度量，其大小等于力和作用點位移的標積。1、常力的功SF

2、變力的功xyzoMM2M1ryxzv采用直角坐標法采用自然法

xyzoMM2M1ryxzv力沿曲線

M1M2的總功：3、合力的功

合力在任一段路程中的所作的功等于各分力在同一段路程中所作的功的代數(shù)和。取位置1為坐標原點,xy

平面為水平平面,z軸鉛垂向上。xyzoMM2M1yxzmg二、幾種常見力的功（1）重力的功

xyzoMM2M1yxzmg重力所作的功與質(zhì)點運動時所沿的路徑無關(guān)，只決定于運動始末兩位置的高度差。取平衡位置為坐標原點，k是彈簧剛度系數(shù)。(2)彈性力的功xyzoMM2M1yxzFr2r1彈性力的功只與彈簧在初始位置和末了位置的變形量δ有關(guān)，與力的作用點M的軌跡形狀無關(guān)。(3)

力對軸之矩矩的功ZMFrFtdn個質(zhì)點組成的質(zhì)點系,質(zhì)點系的動能1、質(zhì)點系的動能三、動能

n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系,質(zhì)心為C,速度為vc

。把平動坐標系的原點固接在質(zhì)心上。vi=vc+vri任一質(zhì)點Mi

相對于質(zhì)心的速度

vri

，由速度合成定理，質(zhì)點Mi

的絕對速度質(zhì)點系的動能為:

vi=vc+vri

mi

vri=Mvcr=0質(zhì)點系的動能為:

質(zhì)點系的動能等于隨質(zhì)心平動的動能和相對質(zhì)心運動的動能之和。2、剛體的動能(1)平動剛體的動能(2)定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能其中Jz

為剛體對定軸z

的轉(zhuǎn)動慣量(3)平面運動剛體的動能其中JI為平面運動剛體對瞬心I

的轉(zhuǎn)動慣量其中Jz

為剛體對于通過質(zhì)心且垂直于運動平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量ODAB

C例題10:三連桿結(jié)構(gòu)如圖所示,OA=DB=AB=l。

質(zhì)量均為

M。若

OA繞

O軸以勻角速度

轉(zhuǎn)動，求系統(tǒng)的動能。解:OA

和DB

定軸轉(zhuǎn)動,

AB

平動T=TOA+TDB+TABvC

=vA=l

ODAB

C例題11:周轉(zhuǎn)輪系機構(gòu)置于水平面內(nèi),曲柄OA

質(zhì)量為M

且以角速度

動,R

為定齒輪O

的半徑;動齒輪A

的半徑為r質(zhì)量為m

。求系統(tǒng)的動能。OA

OA

T=TOA+TAIvA=(R+r)

=r