四年級(jí)奧數(shù)教材

令狐采學(xué)創(chuàng)作令狐采學(xué)創(chuàng)作令狐采學(xué)創(chuàng)作令狐采學(xué)創(chuàng)作四年級(jí)奧數(shù)目錄令狐采學(xué)（一）找規(guī)律★★（觀察力和計(jì)算能力的一個(gè)結(jié)合）①數(shù)列中的規(guī)律②圖形中的規(guī)律（二）數(shù)字謎★★★（運(yùn)用簡(jiǎn)單的數(shù)字組成不同或相同的位數(shù)，使式子合理）①橫式字謎②豎式字謎（三）定義新運(yùn)算★★★（它的符號(hào)不同于課本上明確定義或已經(jīng)約定的符號(hào)，先求出表示定義規(guī)則的一般表達(dá)式，方可進(jìn)行運(yùn)算。）（四）雞兔同籠★★★（根據(jù)現(xiàn)實(shí)的例子，進(jìn)行推理和計(jì)算）（五）行程問題★★★★（求路程的問題，公式的運(yùn)用）①追及問題與相遇問題②火車過橋（六）植樹問題★★★"植樹問題，一般又可分為封閉型的和不封閉型的，每種方法不一）（七）有趣的數(shù)陣圖★★★（把一些數(shù)字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問題叫數(shù)陣圖）（八）枚舉法★★（通過推測(cè)將所有的可能寫下來）（九）推理邏輯★★（根據(jù)已知的條件，推出合理的答案）（十）倒推法的妙用★★★（加的倒推成減，減的倒推成加，以此更簡(jiǎn)單快速地計(jì)算出答案）（十一）火柴棍游戲★★★（通過移動(dòng)火柴變成另一個(gè)數(shù)字或圖形）（十二）巧求周長（一）★★★★（一些不規(guī)則的比較復(fù)雜的幾何圖形，求周長，可以運(yùn)用平移的方法，把它轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的長方形或正方形，然后利用周長公式進(jìn)行計(jì)算）（十三）面積計(jì)算★★★★（解答比較復(fù)雜的長方形、正方形的面積計(jì)算的問題時(shí)，可以添加輔助線或運(yùn)用割補(bǔ)、轉(zhuǎn)化等解題技巧）（十四）移多補(bǔ)少平均數(shù)★★★（將多的一方分出一部分給少的，使多的和少的同樣多）（十五）一筆畫★★（類似于走迷宮）（一）找規(guī)律觀察是解決問題的根據(jù)。通過觀察，得以揭示出事物的發(fā)展和變化規(guī)律，在一般情況下，我們可以從以下幾個(gè)方面來找規(guī)律：1．根據(jù)每組相鄰兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；2．根據(jù)相隔的每?jī)蓚€(gè)數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；3．要善于從整體上把握數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，從而很快找出規(guī)律；4．?dāng)?shù)之間的聯(lián)系往往可以從不同的角度來理解，只要言之有理，所得出的規(guī)律都可以認(rèn)為是正確的。①數(shù)列中的規(guī)律一、例題與方法指導(dǎo)例1：先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。1，4，7，10，（ ），16，19思路導(dǎo)航：在這列數(shù)中，相鄰的兩個(gè)數(shù)的差都是3，即每一個(gè)數(shù)加上3都等于后面的數(shù)。根據(jù)這一規(guī)律，括號(hào)里應(yīng)填的數(shù)為：10+3=13或16－3=13像上面按照一定的順序排列的一串?dāng)?shù)叫做數(shù)列。例2：先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。1，2，4，7，（ ），16，22思路導(dǎo)航：在這列數(shù)中，前4個(gè)數(shù)每相鄰的兩個(gè)數(shù)的差依次是1，2，3。由此可以推算7比括號(hào)里的數(shù)少4，括號(hào)里應(yīng)填：7+4=11。經(jīng)驗(yàn)證，所填的數(shù)是正確的。應(yīng)填的數(shù)為：7+4=11或16-5=11例3：先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。23，4，20，6，17，8，（ ），（ ），11，12思路導(dǎo)航：在這列數(shù)中，第一個(gè)數(shù)減去3的差是第三個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)加

上2的和是第四個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)減去3的差是第五個(gè)數(shù)，第四個(gè)數(shù)加上2的和是第六個(gè)數(shù)……依此規(guī)律，8后面的一個(gè)數(shù)為：17-3=14，11前面的數(shù)為：8+2=10二、鞏固訓(xùn)練1.先找出下列各列數(shù)的排列規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）2，6，10，14，（（2）3，6，9，12，（（3）33，28，23，（（1）2，6，10，14，（（2）3，6，9，12，（（3）33，28，23，（（4）55，49，43，（（5）3，6，12，（（6）2，6，18，（），22，26），18，21），13，（ ），3），31，（ ），19），48，（ ），192），162，（ ）），2（7）128，64，32，（ ），8，（（8）19，3，17，3，15，3，（ ），（ ），11，32.先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)（1）10，11，13，16，20，（2）1，4，9，16，25，（（1）10，11，13，16，20，（2）1，4，9，16，25，（（3）3，2，5，2，7，2，（（4）53，44，36，29，（（5）81，64，49，36，（（6）28，1，26，1，24，1，（7）30，2，26，2，22，2，（ ），31），49，64），（ ），11，2），18，（ ），11，9，8），16，（ ），4，1，0（ ），（ ），20，1（ ），（ ），14，2（8）1，6，4，8，7，10，（ ），（ ），13，14三、拓展提升先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。TOC\o"1-5"\h\z（1）1，6，5，10，9，14，13，（ ），（ ）（2）13，2，15，4，17，6，（ ），（ ）（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（ ），（ ），18，14（4）21，2，19，5，17，8，（ ），（ ）（5）32，20，29，18，26，16，（ ），（ ），20，12（6）2，9，6，10，18，11，54，（ ），（ ），13，486（7）1，5，2，8，4，11，8，14，（ ），（ ）（8）320，1，160，3，80，9，40，27，（ ），（ ）②圖形中的規(guī)律我們通常會(huì)碰到一些圖形，它們?cè)谀骋环矫?，比如顏色，形狀，大小，結(jié)構(gòu)，位置或繁難等有些共同的特征或變化規(guī)律，你能通過觀察找規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律推斷出結(jié)果嗎？一、例題與方法指導(dǎo)例1.下面哪個(gè)圖形和其他幾個(gè)不一樣，你能找出來嗎？思路導(dǎo)航：題中幾個(gè)圖形的共同特征是：先連接各邊中點(diǎn)，組成一個(gè)復(fù)合圖形。所不同的是，B圖形是一個(gè)三角形，而其他幾個(gè)圖形都是四邊形，這樣，只有8與其他幾個(gè)不一樣。例2.找出下組圖形中不同的項(xiàng)。思路導(dǎo)航：題中只有D圖形不是由人翻轉(zhuǎn)過來的，其他圖形都是在同一個(gè)平面內(nèi)通過把A圖形旋轉(zhuǎn)而得到的。故不同的選項(xiàng)應(yīng)該為D例3.在下面圖形中找出一個(gè)與眾不同的.(1) (2) (3) (4) (5)思路導(dǎo)航：很容易看出題目圖中⑴逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。就是(4)，但是這樣一來,(2)、(3)、(5)都與它們不同了.題目上要求找出一個(gè).所以放棄這種想法.圖(2)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,且大、小兩個(gè)矩形顏色互換一下就得到(5).而圖(1)與(3)的變化規(guī)律也是這樣:順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,大小兩部分顏色互換.因此(1)與(3)配對(duì),(2)與(5)配對(duì).解:與眾不同的是題目圖中的(4).例4.依照下面圖中所給圖形的變化規(guī)律,在空格中填圖.思路導(dǎo)航：我們分花盆、花莖、花葉、花朵四個(gè)部分逐步觀察.(1)花盆:花盆的形狀每一行都是由同樣的三種形狀組成,所以第三行所缺的形狀便是應(yīng)填的圖案中的花盆形狀;花盆的顏色在同一行中都是由黑、白、灰(畫有斜線)三色組成,圖中第三行已有白、灰二色，所以應(yīng)填的花盆為黑色(如下圖(1));(2)花莖:如同上面一樣的分析.花莖的形狀為魚鉤狀,方向向右(如下圖(2));(3)花葉:花葉數(shù)量為兩朵,方向是向左、右平展(如下圖(3));(4)花朵:形狀為圓形(如下圖(4)).(2) (3) (4)解:依照所給圖形的變化規(guī)律,空格中應(yīng)填的圖形如圖(4).二、鞏固訓(xùn)練.按順序觀察圖5—2中圖形的變化，想一想，按圖形的變化規(guī)律，在帶“?”的空格處應(yīng)畫什么樣的圖形?分析觀察中，注意到圖5—1中每行三角形的個(gè)數(shù)依次減少，而正方形的個(gè)數(shù)依次增多，且三角形的個(gè)數(shù)按4、3、X、1的順序變化.顯然X應(yīng)等于2;圖5—2中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)從左到右逐次增多，且每一格(第一格除外)比前面的一格多兩個(gè)點(diǎn).事實(shí)上，本題中幾何圖形的變化僅表現(xiàn)在數(shù)量關(guān)系上，是一種較為基本的、簡(jiǎn)單的變化模式。解：在圖5—2的“?”處應(yīng)是2.請(qǐng)觀察右圖中已有的幾個(gè)圖形，并按規(guī)律填出空白處的圖形。分析首先可以看出圖形的第一行、第二列都是由一個(gè)圓、一個(gè)三角形和一個(gè)正方形所組成的;其次，在所給出的圖形中，我們發(fā)現(xiàn)各行、各列均沒有重復(fù)的圖形，而且所給出的圖形中，只有圓、三角形和正方形三種圖形.由此，我們知道這個(gè)圖的特點(diǎn)是：僅由圓、三角形、正方形組成;各行各列中，都只有一個(gè)圓、一個(gè)三角形和一個(gè)正方形。因此，根據(jù)不重不漏的原則，在第二行的空格中應(yīng)填一個(gè)三角形，而第三行的空格中應(yīng)填一個(gè)正方形。解略。3.按順序觀察下圖中圖形的變化規(guī)律，并在“?”處填上合適的圖形.分析顯然，圖(a)、圖⑹中都是圓，而圖?中卻不是圓;同時(shí)，圖(a)、?中都有3個(gè)圖形，而?中只有兩個(gè).由此可知：圖(a)到(b)的變化規(guī)律對(duì)應(yīng)于圖(c)到(d)的變化規(guī)律.再注意到圖(a)到圖⑹中圖形在繁簡(jiǎn)、多少、位置幾方面的變化，就容易得到圖(①中的圖形了。解：在上圖的“?”處應(yīng)填如下圖形.4.下圖中的圖形是按一定規(guī)律排列的，請(qǐng)仔細(xì)觀察，并在“?”處填上適當(dāng)?shù)膱D形.分析本題中，首先可以注意到每個(gè)圖形都由大、小兩部分組成，而且，大、小圖形都是由正方形、三角形和圓形組成，圖中的任意兩個(gè)圖形均不相同.因此，我們不妨試著把大、小圖形分開來考慮，再一次觀察后我們可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)于大圖形來說，每行每列的圖形決不重復(fù)。因此，每行每列都只有一個(gè)大正方形，一個(gè)大三角形和一個(gè)大圓，對(duì)于小圖形也是如此，這樣，“?”處的圖形就不難得出。解：圖中，(b)、(f)、(h)處的圖形分別應(yīng)填下面的圖甲、圖乙、圖丙.小結(jié)：對(duì)于較復(fù)雜的圖形來說，有時(shí)候需要把圖形分開幾部分來單獨(dú)考慮其變化規(guī)律，從而把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。（二）數(shù)字謎小朋友們都玩過字謎吧，就是一種文字游戲，例如“空中碼頭”（打一城市名）。謎底你還記得嗎？記不得也沒關(guān)系，想想“空中”指什么？“天”。這個(gè)地名第1個(gè)字可能是天。“碼頭”指什么呢？碼頭又稱渡口，聯(lián)系這個(gè)地名開頭是“天”字，容易想到“天津”這個(gè)地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。這樣謎底就出來了：天津。算式謎又被稱為“蟲食算”，意思是說一道算式中的某些數(shù)字被蟲子吃掉了無法辨認(rèn)，需要運(yùn)用四則運(yùn)算各部分之間的關(guān)系，通過推理判定被吃掉的數(shù)字，把算式還原。“蟲食算”主要指橫式算式謎和豎式算式謎，其中未知的數(shù)字常常用口、△、☆等圖形符號(hào)或字母表示。文字算式謎是前兩種算式謎的延伸，用文字或字母來代替未知的數(shù)字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的數(shù)字，相同的數(shù)字或字母表示同一個(gè)數(shù)字。文字算式謎也是最難的一種算式謎。在數(shù)學(xué)里面，文字也可以組成許許多多的數(shù)學(xué)游戲，就讓我們一起來看看吧。①橫式字謎一、例題與方法指導(dǎo)例1口，口8,口97在上面的3個(gè)方框內(nèi)分別填入恰當(dāng)?shù)臄?shù)字，

可以使得這3個(gè)數(shù)的平均數(shù)是150。那么所填的3個(gè)數(shù)字之和是多少？思路導(dǎo)航：150*3-8-97-5=340 所以3個(gè)數(shù)之和為3+4+5=1。2例2在下列算式的口中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得等式成立:(1)6口口(1)6口口4+56二口0口,3口口3+2口二口17,分析：(1)6104/56=109(2)7548/37=2047口口8+37二口1口,8口口口+58二口口6。(3)3393/29=117 (4)8468/58=146例3在算式40796+□□□=口99……98的各個(gè)方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字后，就可以使其成為正確的等式。求其中的除數(shù)。分析：40796/102=399...98。例4我學(xué)數(shù)學(xué)樂*我學(xué)數(shù)學(xué)樂=數(shù)數(shù)數(shù)學(xué)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)在上面的乘法算式中，“我、學(xué)、數(shù)、樂”分別代表的4個(gè)不同的數(shù)字。如果“樂”代表9，那么“我數(shù)學(xué)”代表的三位數(shù)是多少？分析：學(xué)=1，我=8，數(shù)=6，81619*81619=6661661161例5□+(□+□+□)=24在式中的4個(gè)方框內(nèi)填入4個(gè)不同的一位數(shù)，使左邊的數(shù)比右邊的數(shù)小，并且等式成立。思路導(dǎo)航：這樣，我們可以先用字母代替數(shù)字，原等式寫成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b,(a<b<c<d) 當(dāng)a=1時(shí)，有6*8/2=24,8*9/3=24； 當(dāng)a=2時(shí)，有4*9/3=12,6*8/4=12,8*9/6=12; 所以，滿足要求的等式有：1?(2+6+8)=24，1+(3+8+9)=24,2+(3+4+9)=24,2+(4+6+8)=24,2+(6+8+9)=24。例6①口*口=5口；②12+□—口二口，把1至9這9個(gè)數(shù)字分別填入上面兩個(gè)算式的各個(gè)方框中，使等式成立，這里有3個(gè)數(shù)字已經(jīng)填好。 分析：根據(jù)第一個(gè)等式，只有兩種可能：7*8=56,6*9=54;如果為7*8=56,則余下的數(shù)字有：3、4、9,顯然不行;而當(dāng)6*9=54時(shí)，余下的數(shù)字有：3、7、8,那么，12+3-7=8或12+3-8=7都能滿足。二訓(xùn)練鞏固.迎迎X春春=杯迎迎杯，數(shù)數(shù)X學(xué)學(xué)=數(shù)賽賽數(shù)，春春X春春=迎迎賽賽在上面的3個(gè)算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。如果這3個(gè)等式都成立，那么，“迎+春+杯+數(shù)+學(xué)+賽”等于多少？分析：考察上面三個(gè)等式，可以從最后一個(gè)等式入手：能夠滿足：春春X春春=迎迎賽賽的只有88*88=7744,于是，春=8,迎=7,賽=4;這樣，不難得到第一個(gè)為：77*88=6776,第二個(gè)為:55*99=5445;所以，迎+春+杯+數(shù)+學(xué)+賽=7+8+6+5+9+4=39。.迎+春*春=迎春，(迎+杯)X(迎十杯)=迎杯在上面的兩個(gè)橫式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。那么“迎+春+杯”等于多少？分析：同樣可以從第二個(gè)算式入手，發(fā)現(xiàn)滿足要求的只有(8+1)*(8+1)=81,于是，迎二8；這樣，第一個(gè)算式顯然只有：8+9*9=89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。三、拓展提升.在下列各式的口中分別填入相同的兩位數(shù)：(1)5X0=20;(2)6XO=3Oo.將3~9中的數(shù)填入下列各式，使算式成立，要求各式中無重復(fù)的數(shù)字：(1)口+口=口+口；(2)口+口＞口+口。.在下列各式的口中填入合適的數(shù)字：(1)448+口口二口；⑵2822+口口二口口；(3)13*口口=4O6o.在下列各式的口中填入合適的數(shù)：口+32=8……31；(2)573+32=口……29；(3)4837+口=74……27。②豎式字謎一、例題與方法指導(dǎo)例1在圖4-1所示的算式中，每一個(gè)漢字代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字．那么“喜歡”這兩個(gè)漢字所代表的兩位數(shù)是多少？分析：首先看個(gè)位，可以得到“歡”是0或5，但是“歡”是第二個(gè)數(shù)的十位，所以“歡”不能是0，只能是5。再看十位，“歡”是5，加上個(gè)位有進(jìn)位1，那么，加起來后得到的“人”就應(yīng)該是偶數(shù)，因?yàn)榻Y(jié)果的百位也是“人”，所以“人”只能是2；由此可知，“喜”等于8。所以，“喜歡”這兩個(gè)漢字所代表的兩位數(shù)就是85。例2在圖4-2所示的豎式中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字．如果：巧+解+數(shù)+字+謎=30，那么“數(shù)字謎”所代表的三位數(shù)是多少？分析：還是先看個(gè)位，5個(gè)“謎”相加的結(jié)果個(gè)位還是等于“謎”，“謎”必定是5（0顯然可以排出）；接著看十位，四個(gè)“字”相加再加上進(jìn)位2，結(jié)果尾數(shù)還是“字”，那說明“字”只能是6；再看百位，三個(gè)“數(shù)”相加再加上進(jìn)位2，結(jié)果尾數(shù)還是“數(shù)”，“數(shù)”可能是4或9；再看千位，（1）如果“數(shù)”為4，兩個(gè)“解”相加再加上進(jìn)位1，結(jié)果尾數(shù)還是“解”，那說明“解”只能是9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于6與“字”等于6重復(fù)，不能；（2）如果“數(shù)”為9，兩個(gè)“解”相加再加上進(jìn)位2，結(jié)果尾數(shù)還是“解”，那說明“解”只能是8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以。所以“數(shù)字謎”代表的三位數(shù)是965。例3在圖4-3所示的加法算式中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字．請(qǐng)把這個(gè)豎式翻譯成數(shù)字算式．分析：首先萬位上“華”=1；再看千位，“香”只能是8或9，那么“人”就相應(yīng)的只能是0或1。但是“華”=1，所以，“人”就是0；再看百位，“人”=0，那么，十位上必須有進(jìn)位，否則“港”+“人”還是“港”。由此可知“回”比“港”大1，這樣就說明“港”不是9，百位向千位也沒有進(jìn)位。于是可以確定“香”等于9的；再看十位，“回”+“愛”=“港”要有進(jìn)位的，而“回”比“港”大1，那么“愛”就等于8；同時(shí)，個(gè)位必須有進(jìn)位；再看個(gè)位，兩數(shù)相加至少12，至多13，即只能是5+7或6+7，顯然“港”=5，“回”=6，“歸”=7。這樣，整個(gè)算式就是：9567+1085=10652。例4圖4-4是一個(gè)加法豎式，其中E,F,I,N,O,RS,T,X,丫分別表示從0到9的不同數(shù)字，且F,5不等于零.那么這個(gè)算式的結(jié)果是多少？分析：先看個(gè)位和十位，N應(yīng)為0,E應(yīng)為5；再看最高位上，S比F大1；千位上。最少是8；但因?yàn)镹等于0,所以，I只能是1,O只能是9；由于百位向千位進(jìn)位是2,且乂不能是0,因此決定了T、R只能是7、8這兩個(gè)；如果T=7,X=3,這是只剩下了2、4、6三個(gè)數(shù)，無法滿足5、F是兩個(gè)連續(xù)數(shù)的要求。所以，T=8、R=7；由此得到乂=4;那么，F(xiàn)=2,S=3,Y=6。所以，得到的算式結(jié)果是31486。二、訓(xùn)練鞏固在圖4-5所示的減法算式中，每一個(gè)字母代表一個(gè)數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字.那么口+6等于多少？分析：先從最高位看，顯然A=1,B=0,E=9;接著看十位，因?yàn)镋等于9,說明個(gè)位有借位，所以F只能是8;由F=8可知，C=7；這樣，D、G有2、4,3、5和4、6三種可能。所以，D+G就可以等于6,8或10。王老師家的電話號(hào)碼是一個(gè)七位數(shù),把它前四位組成的數(shù)與后三位組成的數(shù)相加得9063,把它前三位數(shù)組成的數(shù)與后四位數(shù)組成的數(shù)相加得2529．求王老師家的電話號(hào)碼．分析：我們可以用abcdefg來表示這個(gè)七位數(shù)電話號(hào)碼。由題意知，abcd+efg=9063,&慶+4?￡8=2529;首先從第一個(gè)算式可以看出，a=8,從第二個(gè)算式可以看出，d=1；再回到第一個(gè)算式，g=2,掉到第二個(gè)算式，c=7；又回到第一個(gè)算式，f=9,掉到第二個(gè)算式，b=3；那么，e=6。所以，王老師家的電話號(hào)碼是8371692。將一個(gè)四位數(shù)的各位順序顛倒過來,得到一個(gè)新的四位數(shù)．如果新數(shù)比原數(shù)大7902,那么在所有符合這樣條件的四位數(shù)中,原數(shù)最大是多少？分析：用abcd來表示愿四位數(shù)，那么新四位數(shù)為dcba,4處a-a從4=7902;由最高為看起，&最大為2,則d=9;但個(gè)位上10+a-d=2,所以，a只能是1；接下來看百位，b最大是9,那么，c=8F好能滿足要求。所以，原四位數(shù)最大是1989。三、拓展提升已知圖4-6所示的乘法豎式成立.那么ABCDE是多少？分析：由1/7的特點(diǎn)易知，ABCDE=42857。142857*3=428571。某個(gè)自然數(shù)的個(gè)位數(shù)字是4,將這個(gè)4移到左邊首位數(shù)字的前面,所構(gòu)成的新數(shù)恰好是原數(shù)的4倍．問原數(shù)最小是多少？分析：由個(gè)位起逐個(gè)遞推：4*4=16,原十位為6；4*6+1=25,原百位為5；4*5+2=22,原千位為2；4*2+2=10,原萬位為0；1*4=4,正好。所以,原數(shù)最小是102564。在圖4-7所示的豎式中,相同的漢字表示相同的數(shù)字,不同的漢字表示不同的數(shù)字．則符合題意的數(shù)“迎春杯競(jìng)賽贊”是多少？分析：同第10題一樣,也是利用1/7的特點(diǎn)。因?yàn)槊總€(gè)字母代表不同的數(shù)字,因此“好”只有3和6可選：好=3,則：142857*3=428571；好=6,則：142857*6=857142；兩個(gè)都能滿足,所以,符合題意的數(shù)“迎春杯競(jìng)賽贊”可能是428571或857142。（三）定義新運(yùn)算定義新運(yùn)算通常是用特殊的符號(hào)表示特定的運(yùn)算意義。它的符號(hào)不同于課本上明確定義或已經(jīng)約定的符號(hào)，例如“+、-、乂、?、、＞、〈”等。表示運(yùn)算意義的表達(dá)式，通常是使用四則運(yùn)算符號(hào)，例如a☆b=3a-3b,新運(yùn)算使用的符號(hào)是☆，而等號(hào)右邊表示新運(yùn)算意義的則是四則運(yùn)算符號(hào)。正確解答定義新運(yùn)算這類問題的關(guān)鍵是要確切理解新運(yùn)算的意義，嚴(yán)格按照規(guī)定的法則進(jìn)行運(yùn)算。如果沒有給出用字母表示的規(guī)則，則應(yīng)通過給出的具體的數(shù)字表達(dá)式，先求出表示定義規(guī)則的一般表達(dá)式，方可進(jìn)行運(yùn)算。值得注意的是：定義新運(yùn)算一般是不滿足四則運(yùn)算中的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，所以，不能盲目地運(yùn)用定律和運(yùn)算性質(zhì)解題。一、例題與方法指導(dǎo)例1.設(shè)ab都表示數(shù)，規(guī)定a△b表示a的4倍減去b的3倍，即a△b=4Xa-3Xb,試計(jì)算546,645。解5^6-5X4-6X3=20-18=26△5=6X4-5X3=24-15=9說明例1定義的△沒有交換律，計(jì)算中不得將△前后的數(shù)交換。例2.對(duì)于兩個(gè)數(shù)a、b,規(guī)定a☆b表示3Xa+2Xb,試計(jì)算(5+6)☆7,5^(6^7)O思路導(dǎo)航：先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算。解(5☆6)☆7=(5X3+6X2)☆7=27☆7=27X3+7X2=955^(6^7)=5☆(6X3+7X2)=5☆32=5X3+32X2=79說明本題定義的運(yùn)算不滿足結(jié)合律。這是與常規(guī)的運(yùn)算有區(qū)別的。例3.已知243=2><3X4,4A2=4X5,一般地，對(duì)自然數(shù)a、b,aAb表小aX(a+1)X…(a+b-1).計(jì)算(6A3)-(5A2)O思路導(dǎo)航：原式二6X7—5X6=336-30規(guī)定：aA=a+(a+l)+(a+2)H F(a+b-1)，其中a,b表示自然數(shù)。例4.求lAlOO的值。已知xA10=75,求x.思路導(dǎo)航：(1)原式=1+2+3+…+100=(1+100)X100^2=5050(2)原式即x+(x+l)+(x+2)+--+(X+9)=75,所以10X+(l+2+3+…+9尸7510x+45=7510x=30x=3二、鞏固訓(xùn)練.若對(duì)所有b,aAb=aXx,x是一個(gè)與b無關(guān)的常數(shù)；&☆!3=(a+b)+2,且(1A3)^3=1A(3^3)o.如果規(guī)定：③=2X3X4,④=3X4X5,⑤=4X5X6,……,⑨=8X9X10,求⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。三、能力提升（四）雞兔同籠雞兔同籠問題是指雞與兔同在一個(gè)籠中,已知雞與兔的總頭數(shù)以及雞與兔的總足數(shù),求雞和兔各是多少只的應(yīng)用題。這種類型題是古代趣題,在現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)中應(yīng)用廣泛,有著十分重要的使用價(jià)值。雞兔問題,也叫簡(jiǎn)換問題。解答時(shí),一般采用假設(shè)法,即假定全部的只數(shù)都是雞或者是兔,算出假定情況下的足數(shù)和實(shí)際上的足數(shù)和、足數(shù)差,然后推算出雞和兔的只數(shù)。計(jì)算時(shí)的主要數(shù)量關(guān)系是：1.如果假定全部是兔,則雞的只數(shù)二（每只兔的足數(shù)X總頭數(shù)一總足數(shù)）+（每一只雞與兔足數(shù)的差）簡(jiǎn)單理解就是：雞的只數(shù)二（4X總頭數(shù)一總足數(shù)）?2兔的只數(shù)=總頭數(shù)－雞的只數(shù)2.如果假定全部是雞,則兔的只數(shù)二（總足數(shù)一每只雞的足數(shù)*總頭數(shù)）+（每一只雞與兔足數(shù)的差）簡(jiǎn)單寫就是

兔的只數(shù)二（總足數(shù)一2X總頭數(shù)）+2雞的只數(shù)=總頭數(shù)－兔的只數(shù)一、例題與方法指導(dǎo)例1.雞兔同籠，共有100個(gè)頭，320只腳，問雞和兔各是多少只？思路導(dǎo)航：雞有2只腳，兔有4只腳，如果把兔子的兩只前腳用繩子捆起來，當(dāng)成一只腳，兩只后腳也用繩子捆起來，當(dāng)成一只腳，那么兔子和雞一樣，都是2只腳。雞和兔的總腳數(shù)就是100X2=200（只），但比實(shí)際320只腳要少320－200=120（只），為什么會(huì)少了120只腳呢？是因?yàn)槊恐煌米又凰阋恢磺澳_，一只后腳，而少算了一只前腳和一只后腳。也就是說每只兔子都少算了兩只腳，一共少算了120只腳，所以兔子應(yīng)該有120+2=60（只）。解法一： 解法二：2X100=200（只）4X100=400（只）400－320=80（只）80+2=40（400－320=80（只）80+2=40（只）100－40=60（只）120+2=60（只）100－60=40（只）答：雞有40只，兔有60只。例2.5元紙幣和2元紙幣總張數(shù)是200張，已知它們的總面值是940元，這兩種紙幣各多少張？思路導(dǎo)航：（1）假設(shè)200張紙幣完全是2元，共值：2X200=400（元）（2）比實(shí)際少：940－400=540（元）（3）2元換成5元，每張?jiān)黾樱?－2=3（元）（4）5元紙幣有：540+3=180（張）（5）2元紙幣有：200－180=20（張）答：有180張5元、20張2元紙幣。例3.雞兔同籠，雞比兔多25只，腳數(shù)共176只，雞、兔各多少只？思路導(dǎo)航：假設(shè)去掉多的25只雞，則一共去掉2X25=50（只）腳，那么176－50=126（只）腳是雞和兔一樣多的腳的總數(shù)量，而一對(duì)雞兔共有2＋4=6（只）腳，可以求出去掉25只雞以后一共多少對(duì)雞和兔，然后再加上去掉的25只雞。2X25=50（只）176－50=126（只）2＋4=6（只）126+6=21（對(duì)） 雞、兔各21只21+25=46(只) ……雞的只數(shù)答：雞有46只，兔有21只。二、鞏固訓(xùn)練1.雞兔同籠，共有頭90只，腳252只。雞兔各多少只？2.雞兔同籠，共有頭80只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)多40只，雞兔各多少只？3.30枚硬幣由2分和5分組成，共值9角9分，兩種硬幣各多少枚？三、拓展提升1.雞兔共100只，雞的腳數(shù)比兔少40只，雞兔各多少只？2.46人去劃船，一共乘坐10條船，其中大船坐7人，小船坐4人，大、小船各多少條？3.某車棚共停放三輪車和自行車共39輛，兩種車輪總和96個(gè)，三輪車和自行車各多少輛？(五)行程問題行程問題是小學(xué)奧數(shù)中變化最多的一個(gè)專題，不論在奧數(shù)競(jìng)賽中還是在“小升初”的升學(xué)考試中，都擁有非常重要的地位。行程問題中包括：火車過橋、流水行船、沿途數(shù)車、獵狗追兔、環(huán)形行程、多人行程，等等。每一類問題都有自己的特點(diǎn)，解決方法也有所不同，但是，行程問題無論怎么變化，都離不開“三個(gè)量，三個(gè)關(guān)系”：這三個(gè)量是：路程(s)、速度(v)、時(shí)間(t)三個(gè)關(guān)系：1.簡(jiǎn)單行程：路程=速度X時(shí)間2.相遇問題：路程和=速度和X時(shí)間3.追擊問題：路程差=速度差X時(shí)間牢牢把握住這三個(gè)量以及它們之間的三種關(guān)系，就會(huì)發(fā)現(xiàn)解決行程問題還是有很多方法可循的。①追擊及遇問題一、例題與方法指導(dǎo)例1.有甲、乙、丙三人同時(shí)同地出發(fā)，繞一個(gè)花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇。問：這個(gè)花圃的周長是多少米？思路導(dǎo)航：這個(gè)三人行程的問題由兩個(gè)相遇、一個(gè)追擊組成，題目中所給的條件只有三個(gè)人的速度，以及一個(gè)“3分鐘”的時(shí)間。第一個(gè)相遇：在3分鐘的時(shí)間里，甲、丙的路程和為（40+36）X3=228（米）第一個(gè)追擊：這228米是由于在開始到甲、乙相遇的時(shí)間里，乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追擊過程，可求出甲、乙相遇的時(shí)間為228+（38-36）=114（分鐘）第二個(gè)相遇：在114分鐘里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周長為（40+38）X114=8892（米）我們把這樣一個(gè)抽象的三人行程問題分解為三個(gè)簡(jiǎn)單的問題，使解題思路更加清晰。例2.東西兩地間有一條公路長217.5千米，甲車以每小時(shí)25千米的速度從東到西地，1.5小時(shí)后，乙車從西地出發(fā)，再經(jīng)過3小時(shí)兩車還相距15千米。乙車每小時(shí)行多少千米？思路導(dǎo)航：從圖中可以看出，要求乙車每小時(shí)行多少千米，關(guān)鍵要知道乙車已經(jīng)行了多少路程和行這段路程所用的時(shí)間。解：（1）甲車一共行多少小時(shí)？1.5+3=4.5（小時(shí)）（2）甲車一共行多少千米路程？25X4.5=112.5（千米）（3）乙車一共行多少千米路程？217.5-112.5=105（千米）（4）乙車每小時(shí)行多少千米？（105-15）+3=30（千米）答：乙車每小時(shí)行30千米。例3.兄妹二人同時(shí)從家里出發(fā)到學(xué)校去，家與學(xué)校相距1400米。哥哥騎自行車每分鐘行200米，妹妹每分鐘走80米。哥哥剛到學(xué)校就立即返回來在途中與妹妹相遇。從出發(fā)到相遇，妹妹走了幾分鐘？相遇處離學(xué)校有多少米？思路導(dǎo)航：從圖中可以看出，哥與妹妹相遇時(shí)他們所走的路程的和相當(dāng)于從家到學(xué)校距離的2倍。因此本題可以轉(zhuǎn)化為“哥哥妹妹相距2800米，兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行，哥哥每分鐘行200米，妹妹每分鐘行80米，經(jīng)過幾分鐘相遇？”的問題，解答就容易了。解：（1）從家到學(xué)校的距離的2倍：1400X2=2800（米）（2）從出發(fā)到相遇所需的時(shí)間：2800+（200+80）=10（分）（3）相遇處到學(xué)校的距離：1400-80X10=600（米）答：從出發(fā)到相遇，妹妹走了10分鐘，相遇處離學(xué)校有600米。二、鞏固訓(xùn)練1.兩城市相距328千米，甲、乙兩人騎自行車同時(shí)從兩城出發(fā)，相向而行。甲每小時(shí)行28千米，乙每小時(shí)行22千米，乙在中途修車耽誤1小時(shí)，然后繼續(xù)行駛，與甲相遇，求出發(fā)到相遇經(jīng)過多少時(shí)間？快車和慢車同時(shí)從甲乙兩地相對(duì)開出，已知快車每小時(shí)行40千米，經(jīng)過3小時(shí)快車已過中點(diǎn)12千米與慢車相遇，慢車每小時(shí)行多少千米？小華和小明同時(shí)從甲、乙兩城相向而行，在離甲城85千米處相遇，到達(dá)對(duì)方城市后立即以原速沿原路返回，又在離甲城35千米處相遇，兩城相距多少千米？三、拓展提升.客車和貨車同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開出，客車每小時(shí)行54千米，貨車每小時(shí)行48千米，兩車相遇后又以原來的速度繼續(xù)前進(jìn)，客車到達(dá)乙站后立即返回，貨車到達(dá)甲站后也立即返回，兩車再次相遇時(shí)，客車比貨車多行216千米。求甲乙兩站相距多少千米？.甲、乙、丙三輛車同時(shí)從A地出發(fā)到B地去，甲、乙兩車速度分別為每小時(shí)60千米和48千米，有一輛迎面開來的卡車分別在他們出發(fā)后6小時(shí)、7小時(shí)、8小時(shí)先后與甲、乙、丙三車相遇。求丙車的速度。:3.兩列火車從某站相背而行，甲車每小時(shí)行58千米，先開出2小時(shí)后，車以每小時(shí)62千米才開出，乙車開出5小時(shí)后，兩列火車相距多少千米？②火車過橋過橋問題也是行程問題的一種。首先要弄清列車通過一座橋是指從車頭上橋到車尾離橋。列車過橋的總路程是橋長加車長，這是解決過橋問題的關(guān)鍵。過橋問題也要用到一般行程問題的基本數(shù)量關(guān)系：過橋問題的一般數(shù)量關(guān)系是：因?yàn)椋哼^橋的路程=橋長+車長所以有：通過橋的時(shí)間=（橋長+車長）+車速車速=（橋長+車長）+過橋時(shí)間公式的變形：橋長=車速X過橋時(shí)間一車長車長=車速X過橋時(shí)間一橋長后三個(gè)都是根據(jù)第二個(gè)關(guān)系式逆推出的。火車通過隧道的問題和過橋問題的道理是一樣的，也要通過上面的數(shù)量關(guān)系來解決。一、例題與方法指導(dǎo)例1.一列客車經(jīng)過南京長江大橋，大橋長6700米，這列客車長100米，火車每分鐘行400米，這列客車經(jīng)過長江大橋需要多少分鐘？思路導(dǎo)航：從火車頭上橋，到火車尾離橋，這之間是火車通過這座大橋的過程，也就是過橋的路程是橋長+車長。通過“過橋的路程”和“車速”就可以求出火車過橋的時(shí)間。（1）過橋路程：6700+100=6800（米）（2）過橋時(shí)間：6800+400=17（分）答：這列客車通過南京長江大橋需要17分鐘。例2.一列火車長160米，全車通過440米的橋需要30秒鐘，這列火車每秒行多少米？思路導(dǎo)航：要想求火車過橋的速度，就要知道“過橋的路程”和過橋的時(shí)間。（1）過橋的路程：160+440=600（米）（2）火車的速度：600+30=20（米）答：這列火車每秒行20米。例3.某列火車通過360米的第一個(gè)隧道用了24秒鐘，接著通過第二個(gè)長216米的隧道用了16秒鐘，求這列火車的長度？思路導(dǎo)航：火車通過第一個(gè)隧道比通過第二個(gè)隧道多用了8秒，為什么多用8秒呢？原因是第一個(gè)隧道比第二個(gè)隧道長360—216=144（米），這144米正好和8秒相對(duì)應(yīng)，這樣可以求出車速。火車24秒行進(jìn)的路程包括隧道長和火車長，減去已知的隧道長，就是火車長。（1）第一個(gè)隧道比第二個(gè)長多少米？360—216=144（米）（2）火車通過第一個(gè)隧道比第二個(gè)多用幾秒？24—16=8（秒）（3）火車每秒行多少米？144+8=18（米）（4）火車24秒行多少米？18X24=432（米）（5）火車長多少米？432—360=72（米）答：這列火車長72米。二、鞏固訓(xùn)練1.某列火車通過342米的隧道用了23秒，接著通過234米的隧道用了17秒，這列火車與另一列長88米，速度為每秒22米的列車錯(cuò)車而過，問需要幾秒鐘？一列火車全長265米，每秒行駛25米，全車要通過一座985米長的大橋，問需要多少秒鐘？一列長50米的火車，穿過200米長的山洞用了25秒鐘，這列火車每秒行多少米？三、拓展提升1.一列長240米的火車以每秒30米的速度過一座橋，從車頭上橋到車尾離橋用了1分鐘，求這座橋長多少米？2.一列貨車全長240米，每秒行駛15米，全車連續(xù)通過一條隧道和一座橋，共用40秒鐘，橋長150米，問這條隧道長多少米？3.一列火車開過一座長1200米的大橋，需要75秒鐘，火車以同樣的速度開過路旁的電線桿只需15秒鐘，求火車長多少米？4.在上下行軌道上，兩列火車相對(duì)開來，一列火車長182米，每秒行18米，另一列火車每秒行17米，兩列火車錯(cuò)車而過用了10秒鐘，求另一列火車長多少米？（六）植樹問題只要我們稍加留意，都會(huì)看到在馬路兩旁一般都種有樹木。細(xì)心觀察，這些樹木的間距一般都是等距離種植的。路長、間距、棵數(shù)之間存在著確定的關(guān)系，我們把這種關(guān)系叫做“植樹問題”。而植樹問題，一般又可分為封閉型的和不封閉型的（開放型的）。

封閉型的和不封閉型的植樹問題，區(qū)別在于間隔數(shù)（段數(shù)）與棵數(shù)的關(guān)系：1、不封閉型的（多為直線上），一般情況為兩端植樹，如下圖所示，其路長、間距、棵數(shù)的關(guān)系是：但如果只在一端植樹，如右圖所示，這時(shí)路長、間距、棵數(shù)的關(guān)系就是：如果兩端都不植樹，那么棵數(shù)比一端植樹還要再少一棵，其路長、間距、棵數(shù)的關(guān)系就是：2、封閉型的情況（多為圓周形），如下圖所示，那么：植樹問題的三要素：總路線長、間距（棵距）長、棵數(shù)．只要知道這三個(gè)要素中任意兩個(gè)要素，就可以求出第三個(gè)．植樹問題的分類：⑴直線型的植樹問題⑵封閉型植樹問題⑶特殊類型的植樹問題一、例題與方法指導(dǎo)例1有一條公路長1000米，在公路的一側(cè)每隔5米栽一棵垂柳，可種植垂柳多少棵?思路導(dǎo)航：每隔5米栽一棵垂柳，即以兩棵垂柳之間的距離5米為一段。公路的全長1000米，分成5米一段，那么里包含有1000+5=200段。由于公路的兩端都要求種樹，所以要種植的棵數(shù)比分成的段數(shù)多1，所以，可種植垂柳200+1=201棵。例2某一淡水湖的周長1350米，在湖邊每隔9米種柳樹一株，在兩株柳樹中間種植2株夾枝桃，可栽柳樹多少株?可栽夾枝桃多少株?兩株夾枝桃之間相距多少米?思路導(dǎo)航：在圓周上植樹時(shí)，由于可栽的株數(shù)等于分成的段數(shù)，所以，可栽柳樹=1350+9=150株；由于兩株柳樹之間等距離地栽株夾枝桃，而間隔數(shù)（段數(shù)）為150,所以栽夾枝桃的株數(shù)=2X150=300株；每隔9米種柳樹一株，在兩株夾枝桃之間等距地栽2株夾枝桃，這就變成兩端都不植樹的情形，即2株等距離栽在9米的直線上，不含兩端，所以，每?jī)芍曛g的距離=9+（2+1）=3（米）。例3一條街上，一旁每隔8米有一個(gè)廣告牌，從頭到尾有16個(gè)廣告牌，現(xiàn)在要進(jìn)行調(diào)整，變成每12米有一個(gè)廣告牌。那么除了兩端的廣告牌外，中間還有幾個(gè)牌不需要移動(dòng)？思路導(dǎo)航：16個(gè)廣告牌，每相鄰的兩個(gè)廣告牌的間隔為8米，則共有16-1=15個(gè)間隔，這條街的總長度為8X15=120（米）；現(xiàn)在要調(diào)整為每12米一個(gè)廣告牌，那么不移動(dòng)的牌離端點(diǎn)的距離一定既是8的倍數(shù)，同時(shí)也是12的倍數(shù)；8X3=12X2=24,也就是說，每24米及其倍數(shù)處的廣告牌可以不需要移動(dòng)；120+24=5,即段數(shù)為5個(gè)，但要扣除兩端的2個(gè)，所以，中間不需要移動(dòng)的有5-1=4個(gè)。事實(shí)上，所謂植樹問題只是我們對(duì)這一種類型問題的總稱，并不單指植樹問題。例如，與之類似的還有爬樓（梯）問題、隊(duì)列問題、敲鐘問題、鋸木頭問題的等。所以，植樹問題又稱上樓梯問題。二、鞏固訓(xùn)練某人要到一座高層樓的第8層辦事，不巧停電，電梯停開。如果他從1層走到4層需要48秒，請(qǐng)問以同樣的速度走到八層，還需要多少秒？光華路小學(xué)三年級(jí)學(xué)生有125人參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式，他們每5人一行，前后每行間隔為2米，主席臺(tái)長42米，他們以每分鐘45米的速度通過主席臺(tái)需要多少分鐘?下圖是五個(gè)大小相同的鐵環(huán)連在一起的圖形，它的長度是多少？十個(gè)這樣的鐵環(huán)連在一起有多長？一個(gè)木工把一根長24米的木條鋸成了3米長的小段，每鋸斷一次要用5分鐘，共需多少分鐘?三、能力提升、一個(gè)街心花園如下圖所示，它由四個(gè)大小相等的等邊三角形組成。已知從每個(gè)小三角形的頂點(diǎn)開始，到下一個(gè)頂點(diǎn)均勻栽有9棵花。問大三角形邊上栽有多少棵花？整個(gè)花園中共栽多少棵花？、時(shí)鐘4點(diǎn)敲4下，用12秒敲完。那么6點(diǎn)鐘敲6下，幾秒鐘敲完？鐵路旁每隔50米有一根電線桿，某旅客為了計(jì)算火車速度，測(cè)量出從經(jīng)過第1根電線桿起到經(jīng)過第37根電線桿止共用了2分?；疖嚨乃俣仁嵌嗌?？（七）有趣的數(shù)陣圖把一些數(shù)字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問題叫數(shù)陣圖.數(shù)陣是一種由幻方演變而來的數(shù)字圖.數(shù)陣圖的種類繁多，這里只向大家介紹三種數(shù)陣圖，即封閉型數(shù)陣圖、輻射型數(shù)陣圖和復(fù)合型數(shù)陣圖.為了讓同學(xué)們學(xué)會(huì)解數(shù)陣圖的分析思考方法，我們舉例說明.一、例題與方法指導(dǎo)例1.在右圖的九個(gè)方格中填入不大于12且互不相同的九個(gè)自然數(shù)（其中已填好一個(gè)數(shù)），使得任一行、任一列及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于21。思路導(dǎo)航：由上一講例4知中間方格中的數(shù)為7。再設(shè)右下角的數(shù)為x,然后根據(jù)任一行、任一列及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于21,如下圖所示填上各數(shù)（含x）。因?yàn)榫艂€(gè)數(shù)都不大于12,由16—xW12知4Wx,由x+2W12知xW10,即4WxW10?？紤]到5,7,9已填好，所以x只能取4,6,8或10。經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)x=6或8時(shí)，九個(gè)數(shù)中均有兩個(gè)數(shù)相同，不合題意；當(dāng)x=4或10時(shí)可得兩個(gè)解（見下圖）。這兩個(gè)解實(shí)際上一樣,只是方向不同而已。例2.將九個(gè)數(shù)填入下圖的空格中,使得每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等,則一定有a-Fb證明：…〒口思路導(dǎo)航：設(shè)中心數(shù)為d。由上講例4知每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于3d。由此計(jì)算出第一行中間的數(shù)為2d——b,右下角的數(shù)為2d-c（見下圖）。根據(jù)第一行和第三列都可以求出上圖中★處的數(shù)由此得到3d-c-（2d-b）=3d-a-（2d-c）,3d-c-2d+b=3d-a-2d+c,

d——c＋b=d——a＋c,

2c=a＋b,

a＋bc=2。值得注意的是，這個(gè)結(jié)論對(duì)于a和b并沒有什么限制，可以是自然數(shù),也可以是分?jǐn)?shù)、小數(shù)；可以相同,也可以不同。

例3.在下頁右上圖的空格中填入七個(gè)自然數(shù)，使得每一行、每一列及每一條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于90。思路導(dǎo)航：由上一講例4知，中心數(shù)為90+3=30；由本講例2知，右上角的數(shù)為（23+57）+2=40（見左下圖）。其它數(shù)依次可填（見右下圖）。例4.在右圖的每個(gè)空格中填入個(gè)自然數(shù)，使得每一行、每一列及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等。思路導(dǎo)航：由例2知，右下角的數(shù)為（8+10）+2=9；由上一講例4知，中心數(shù)為（5+9）+2=7（見左下圖），且每行、每列、每條對(duì)角線上的三數(shù)之和都等于7X3=21。由此可得如圖的填法。二、鞏固訓(xùn)練等.1.將1?6分別填在圖中,使每條邊上的三個(gè)。內(nèi)的數(shù)的和相等.2.把1?8個(gè)數(shù)分別填入。中,使每條邊上三個(gè)數(shù)的和相等.2.3.把1?9個(gè)數(shù)分別填入。中,使每條邊上四個(gè)數(shù)的和相等.3.4.把1?10填入圖中,使五條邊上三個(gè)。內(nèi)的數(shù)的和相等.4.5.將1~8個(gè)數(shù)分別填入圖中,使每個(gè)圓圈上五個(gè)數(shù)和分別為20,21,22.練習(xí)

1.把1~7填入下圖中,使每條線段上三個(gè)。內(nèi)的數(shù)的和相等.2.把1~16填入下圖中,使每條邊上4個(gè)數(shù)的和相等,兩個(gè)八邊3.把4~9填入下4.把1~8這3.把4~9填入下4.把1~8這8形上8個(gè)數(shù)的和也本之上三個(gè)數(shù)的和相等，都是18.于邊上的加、減、乘、除成立.5.把0~9填入，西、小三角形中+使每4個(gè)小三角形組成的大三角形的和相等.6.把6.把1~11填入圖中,使每條線上三個(gè)數(shù)的和相等.7.把1~8,填入圖中,使每條線及正方形四個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)的和相等.8.把1~9,填入下圖中,使每條線段三個(gè)數(shù)和及四個(gè)頂點(diǎn)的和也相等.9.把17,23,25,31,46,53,58,66,72,88,94,100十二個(gè)數(shù)填入下圖,使任意三個(gè)相鄰的數(shù)相加的和除以7的余數(shù)相等.（八）枚舉法一般地，根據(jù)問題要求，一一枚舉問題的解答，或者為了解決問題的方便，把問題分為不重復(fù)、不遺漏的有限種情況，一一枚舉各種情況，并加以解決，最終達(dá)到解決整個(gè)問題的目的。這種分析問題、解決問題的方法，稱之為枚舉法。枚舉法是一種常見的數(shù)學(xué)方法，當(dāng)然枚舉法也存在一些問題，那就是容易遺漏掉一些情況，所以應(yīng)用枚舉法的時(shí)候選擇什么樣的標(biāo)準(zhǔn)尤其重要。、例題與方法指導(dǎo)例1.一本書共100頁，在排頁碼時(shí)要用多少個(gè)數(shù)字是6的鉛字？思路導(dǎo)航：解：把個(gè)位是6和十位是6的數(shù)一個(gè)一個(gè)地列舉出來，數(shù)一數(shù)。個(gè)位是6的數(shù)字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10個(gè)。十位是6的數(shù)字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10個(gè)?？偣?0+10=20（個(gè)）答：在排頁碼時(shí)要用20個(gè)數(shù)字是6的鉛字。例2.從A市到B市有3條路，從B市到C市有兩條路。從A市經(jīng)過B市到C市有幾種走法？（適于三年級(jí)程度）思路導(dǎo)航：解：作圖3-1，然后把每一種走法一一列舉出來。第一種走法：A①B④C第二種走法：A①B⑤C第三種走法：A②B④C第四種走法：A②B⑤C第五種走法：A③B④C第六種走法：A③B⑤C答：從A市經(jīng)過B市到6市共有6種走法。例3.印刷工人在排印一本書的頁碼時(shí)共用1890個(gè)數(shù)碼，這本書有多少頁？思路導(dǎo)航：(1)數(shù)碼一共有10個(gè)：0、1、2……8、9。0不能用于表示頁碼，所以頁碼是一位數(shù)的頁有9頁，用數(shù)碼9個(gè)。(2)頁碼是兩位數(shù)的從第10頁到第99頁。因?yàn)?9-9=90，所以，頁碼是兩位數(shù)的頁有90頁，用數(shù)碼：2X90=180(個(gè))(3)還剩下的數(shù)碼：1890-9-180=1701(個(gè))(4)因?yàn)轫摯a是三位數(shù)的頁，每頁用3個(gè)數(shù)碼，100頁到999頁，999-99=900，而剩下的1701個(gè)數(shù)碼除以3時(shí)，商不足600，即商小于900。所以頁碼最高是3位數(shù)，不必考慮是4位數(shù)了。往下要看1701個(gè)數(shù)碼可以排多少頁。1701+3=567（頁）（5）這本書的頁數(shù)：9+90+567=666（頁）二、鞏固訓(xùn)練1.如圖9-10，有8張卡片，上面分別寫著自然數(shù)1至8。從中取出3張，要使這3張卡片上的數(shù)字之和為9。問有多少種不同的取法？2.從1至8這8個(gè)自然數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)相加，要使它們的和大于10，共有多少種不同的取法？現(xiàn)在1分、2分和5分的硬幣各4枚，用其中的一些硬幣支付2角3分錢，一共有多少種不同的支付方法？媽媽買來7個(gè)雞蛋，每天至少吃2個(gè)，吃完為止，有多少種不同的吃法？5.有3個(gè)工廠共訂300份《吉林日?qǐng)?bào)》，每個(gè)工廠最少訂99份，最多101份。問一共有多少種不同的訂法？三、能力提升甲、乙、丙、丁4名同學(xué)排成一行。從左到右數(shù)，如果甲不排在第一個(gè)位置上，乙不排在第二個(gè)位置上，丙不排在第三個(gè)位置上，丁不排在第四個(gè)位置上，那么不同的排法共有多少種？abcd代表一個(gè)四位數(shù)，其中a,b,c,d均為1,2,3,4中的某個(gè)數(shù)字，但彼此不同，例如2134。請(qǐng)寫出所有滿足關(guān)系a<b,b>c,c<d的四位數(shù)abcd來。一個(gè)兩位數(shù)乘以5,所得的積的結(jié)果是一個(gè)三位數(shù),且這個(gè)三位數(shù)的個(gè)位與百位數(shù)字的和恰好等于十位上的數(shù)字。問一共有多少個(gè)這樣的數(shù)？3件運(yùn)動(dòng)衣上的號(hào)碼分別是1,2,3,甲、乙、丙3人各穿一件?，F(xiàn)在25個(gè)小球,首先發(fā)給甲1個(gè)球,乙2個(gè)球,丙3個(gè)球。規(guī)定3人從余下的球中各取球一次,其中穿1號(hào)衣的人取他手中球數(shù)的1倍,穿2號(hào)衣的人取他手中球數(shù)的3倍,穿3號(hào)衣的人取他手中球數(shù)的4倍,取走之后還剩下兩個(gè)球。那么,甲穿的運(yùn)動(dòng)衣的號(hào)碼是多少？甲、乙兩人打乒乓球,誰先勝兩局誰贏；如果沒有人連勝兩局,則誰先勝三局誰贏,打到?jīng)Q出輸贏為止。那么一共有多少種可能的情況？（九）邏輯推理曾經(jīng)愛因斯坦出過一道測(cè)試題,他說世界上有98%的人回答不出!!讓我們一起來看看是什么題呢。在一條街上有5座顏色不同的房子,住著5個(gè)不同國家的人,他們抽著5種不同的煙，喝著5種不同的飲料，養(yǎng)著5種不同的寵物。有下面15個(gè)已知條件，求解。1、英國人住紅色房子。2、瑞典人養(yǎng)狗。3、丹麥人喝茶。4、綠色房子在白色房子左面。5、綠色房子主人喝咖啡。6、抽PallMall香煙的人養(yǎng)鳥。7、黃色房子主人抽Dunhill香煙。8、住在中間房子的人喝牛奶。9、挪威人住第一間房。10、抽Blends香煙的人住在養(yǎng)貓的人隔壁。11、養(yǎng)馬的人住抽Dunhill香煙的人隔壁。12、抽BlueMaster的人喝啤酒。13、德國人抽Prince香煙。14、挪威人住藍(lán)色房子隔壁。15、抽Blends香煙的人有一個(gè)喝水的鄰居。問:哪個(gè)國家的人養(yǎng)魚?這道題為什么會(huì)難倒這么多人呢，首先，我們就來研究一下關(guān)于他的最基本的邏輯問題吧。一、例題與方法指導(dǎo)例1.某地質(zhì)學(xué)院的學(xué)生對(duì)一種礦石進(jìn)行觀察和鑒別：甲判斷：不是鐵，也不是銅。乙判斷：不是鐵，而是錫。丙判斷：不是錫，而是鐵。經(jīng)化驗(yàn)證明：有一個(gè)人的判斷完全正確，有一個(gè)人說對(duì)了一半，而另一個(gè)人完全說錯(cuò)了。你知道三人中誰是對(duì)的，誰是錯(cuò)的，誰是只對(duì)一半的嗎？思路導(dǎo)航：丙全說對(duì)了，甲說對(duì)了一半，乙全說錯(cuò)了。先設(shè)甲全對(duì)，推出矛盾后，再設(shè)乙全對(duì)，又推出矛盾，則說明丙全對(duì)，甲說對(duì)了一半，乙全說錯(cuò)了。例2.數(shù)學(xué)競(jìng)賽后，小明、小華和小強(qiáng)各獲得一枚獎(jiǎng)牌，其中一人得金牌，一人得銀牌，一人得銅牌。老師猜測(cè)：“小明得金牌，小華不得金牌，小強(qiáng)不得銅牌?！苯Y(jié)果老師只猜對(duì)了一個(gè)，那么誰得金牌，誰得銀牌，誰得銅牌？思路導(dǎo)航：小華得金牌，小強(qiáng)得銀牌，小明得銅牌。（1）若小明得金牌，小華一定“不得金牌”，這與“老師只猜對(duì)了一個(gè)”相矛盾，不合題意。（2）若小華得金牌，那么“小明得金牌”與“小華不得金牌”這兩句都是錯(cuò)的，那么“小強(qiáng)不得銅牌”應(yīng)是正確的，那么小強(qiáng)得銀牌，小明得銅牌。例3.一位法官在審理一起盜竊案中，對(duì)涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁進(jìn)行了審問。四人分別供述如下：甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中?！币艺f：“我沒有做案，是丙偷的?！北f：“在甲和丁中間有一人是罪犯。”丁說：“乙說的是事實(shí)?！苯?jīng)過充分的調(diào)查，證實(shí)這四人中有兩人說了真話，另外兩人說的是假話。同學(xué)們，請(qǐng)你做一名公正的法官，對(duì)此案進(jìn)行裁決，確認(rèn)誰是罪犯？思路導(dǎo)航：乙和丁是盜竊犯。如果甲說的是假話，那么剩下三人中有一人說的也是假話，另外兩人說的是真話?？墒且液投扇说挠^點(diǎn)一致，所以在剩下的三人中只能是丙說了假話，乙和丁說的都是真話。即“丙是盜竊犯”。這樣一來，甲說的也是對(duì)的，不是假話。這樣，前后就產(chǎn)生了矛盾。所以甲說的不可能是假話，只能是真話。同理，剩下的三人中只能是丙說真話。乙和丁說的是假話，即丙不是罪犯，乙是罪犯。又由甲所述為真話，即甲不是罪犯。再由丙所述為真話，即丁是罪犯。二、鞏固訓(xùn)練.小王、小張、小李三人在一起，其中一位是工人，一位是戰(zhàn)士，一位是大學(xué)生?，F(xiàn)在知道：小李比戰(zhàn)士年齡大，小王和大學(xué)生不同歲，大學(xué)生比小張年齡小。那么三人各是什么職業(yè)?.甲、乙、丙分別是來自中國、日本和英國的小朋友。甲不會(huì)英文，乙不懂日語卻與英國小朋友熱烈交談。問：甲、乙、丙分別是哪國的小朋友？.徐、王、陳、趙四位師傅分別是工廠的木工、車工、電工和鉗工，他們都是象棋迷。（1）車工只和電工下棋；（2）王、陳兩位師傅經(jīng)常與木工下棋；（3）徐師傅與電工下棋互有勝負(fù)；（4）陳師傅比鉗工下得好。問：徐、王、陳、趙四位師傅各從事什么工種？（十）倒推法的妙用師說：“這里有10張紙牌，依次寫著1-10，我閉上眼睛，你任意抽一張出來?！薄昂茫殉楹昧??！币一卮鸬馈！班牛涯愕哪菑埣埮粕系臄?shù)乘上6再加9，然后除以3再加上2。算好后告訴我得數(shù)是幾。（可任意找學(xué)生抽卡片）乙又說：“得數(shù)是23?！蹦撬榈哪且粡埵菐啄?？這個(gè)數(shù)是9，我們?cè)趺粗溃客瑢W(xué)們，你們都知道其中的奧秘嗎？讓這節(jié)課來告訴大家吧，利用倒推法，倒推法是根據(jù)加法與減法、乘法與除法互相逆運(yùn)算的關(guān)系，從最后的得數(shù)出發(fā)。因?yàn)?3是加上2后得到的，就要減去2，得21；21除以3后得到的，就要乘上3，得63；63是加上9后得到的，就就要減去9得54；54是乘上6后得到的，就要除以6，得9。所以乙抽到的那一張一定是9。一些游戲，只要你知道其中的奧秘后，你就不會(huì)大驚小怪了。一、例題與方法指導(dǎo)例1.喜迎奧運(yùn)，猜年齡:劉翔的年齡除以4再減去2,乘25正好是100.你知道劉翔今幾歲嗎？思路導(dǎo)航：①100+25+2X4②100+（25+2X4）③（100+25+2）X4至^底是哪個(gè)呢？倒推法的方法：從結(jié)果出發(fā)，從后向前運(yùn)算，并且每個(gè)運(yùn)算變成它的逆運(yùn)算。正確答案③例2.籃子里有一些梨.小剛?cè)∽呖倲?shù)的一半多一個(gè).小明取走余下的一半多1個(gè).小軍取走了小明取走后剩下一半多一個(gè).這時(shí)籃子里還剩梨1個(gè).問：籃子里原有梨多少個(gè)？思路導(dǎo)航：依題意，畫圖進(jìn)行分析.解：列綜合算式：{[（1+1）X2+1]X2+1}X2=22（個(gè)）答：籃子里原有梨22個(gè).例3.菜站原有冬貯大白菜若干千克.第一天賣出原有大白菜的一半.第二天運(yùn)進(jìn)200千克.第三天賣出現(xiàn)有白菜的一半又30千克，結(jié)果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬貯大白菜多少千克？思路導(dǎo)航：解題時(shí)用倒推法進(jìn)行分析.根據(jù)題目的已知條件畫線段圖（見下圖），使數(shù)量關(guān)系清晰的展現(xiàn)出來.解：①剩余的白菜是多少千克？1800+3=600（千克）②第二天運(yùn)進(jìn)200千克后的一半是多少千克？600＋30=630（千克）③第二天運(yùn)進(jìn)200千克后有白菜多少千克？630X2=1260（千克）④原來的一半是多少千克？1260—200=1060（千克）⑤原有貯存多少千克？1060*2=2120（千克）答：菜站原來貯存大白菜2120千克.綜合算式：[（1800+3+30）X2—200]X2=2120（千克）答：菜站原有冬貯大白菜2120千克.通過以上例題說明，用倒推法解題時(shí)要注意：①從結(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的過程中，每一步運(yùn)算都是原來運(yùn)算的逆運(yùn)算.③列式時(shí)注意運(yùn)算順序，正確使用括號(hào)二、鞏固訓(xùn)練一次數(shù)學(xué)考試后，李軍問于昆數(shù)學(xué)考試得多少分.于昆說：“用我得的分?jǐn)?shù)減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分嗎？馬小虎做一道整數(shù)減法題時(shí)，把減數(shù)個(gè)位上的1看成7，把減數(shù)十位上的7看成1，結(jié)果得出差是111.問正確答案應(yīng)是幾？樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上；從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，這時(shí)三棵樹上鳥的只數(shù)相等.問：原來每棵樹上各落多少只鳥？三、拓展提升.一次數(shù)學(xué)考試后，李軍問于昆數(shù)學(xué)考試得多少分.于昆說：“用我得的分?jǐn)?shù)減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分嗎？.馬小虎做一道整數(shù)減法題時(shí)，把減數(shù)個(gè)位上的1看成7，把減數(shù)十位上的7看成1，結(jié)果得出差是111.問正確答案應(yīng)是幾？3.樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上；從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，這時(shí)三棵樹上鳥的只數(shù)相等.問：原來有多少只鳥？4.籃子里有一些梨.小剛?cè)∽呖倲?shù)的一半多一個(gè).小明取走余下的一半多1個(gè).小軍取走了小明取走后剩下一半多一個(gè).這時(shí)籃子里還剩梨1個(gè).問：籃子里原有梨多少個(gè)？5.甲乙兩個(gè)油桶各裝了15千克油.售貨員賣了14千克.后來，售貨員從剩下較多油的甲桶倒一部分給乙桶使乙桶油增加一倍；然后從乙桶倒一部分給甲桶，使甲桶油也增加一倍，這時(shí)甲桶油恰好是乙桶油的3倍.問：售貨員從兩個(gè)桶里各賣了多少千克油？（十一）火柴棍游戲

①擺圖形游戲一、例題與方法指導(dǎo)例1.用8根火柴棍可以擺成一個(gè)正方形?，F(xiàn)添兩根，即用10根火柴能擺出與這個(gè)正方形同樣大小的圖形嗎？思路導(dǎo)航：8根火柴擺一個(gè)正方形，每邊必是兩根火柴。它可以分成四個(gè)小正方形（如右圖）。因此，只要用10根火柴擺出有四個(gè)同樣大小的小正方形的圖形即可。下面的四個(gè)圖形都符合題意。例2.用8根火柴棍擺出八個(gè)大小一樣的三角形和兩個(gè)一樣大小的正方形。思路導(dǎo)航：4根火柴可擺出一個(gè)正方形，另4根火柴又可擺出一個(gè)同樣大小的正方形。把這兩個(gè)正方形如右圖所示交叉放在一起，就形成八個(gè)相同的三角形。②移動(dòng)火柴，變換圖形游戲一、例題與方法指導(dǎo)例1.右圖是用10根火柴棍擺成的一座房子。請(qǐng)移動(dòng)2根火柴，使房子改變方向。思路導(dǎo)航：如左下圖所示，除虛線表示的2根火柴外，其余火柴是左、右對(duì)稱的，所以改變房子的方向與這些火柴無關(guān)，應(yīng)移動(dòng)虛線表示的2根火柴（見右下圖）。例2.在左下圖中移動(dòng)4根火柴棍，使圖形成為只有三個(gè)正方形的圖形。思路導(dǎo)航：因?yàn)橹荒芤苿?dòng)4根火柴，所以圖中較長的邊（3根或4根火柴的邊）都不能動(dòng)。把圖中最里面的4根火柴移補(bǔ)到右上圖的相關(guān)位置上即可。例3.在左下圖中移動(dòng)4根火柴棍，使它變成3個(gè)三角形，并且這3個(gè)三角形的面積之和與原來的六邊形面積相同。思路導(dǎo)航：原圖中有6個(gè)三角形，變化后剩下3個(gè)三角形，這3個(gè)三角形與原來的6個(gè)三角形的面積相同，必然有一個(gè)三角形的面積要增大。如右上圖所示，移動(dòng)虛線表示的4根火柴。圖中下面的大三角形面積等于小三角形面積的4倍。③去掉火柴，變換圖形游戲一、例題與方法指導(dǎo)例1.在左下圖中去掉盡量少的火柴棍，使得圖中不存在任何正方形。思路導(dǎo)航：拿掉的火柴應(yīng)能盡量多的“破壞”正方形。如右上圖，拿掉虛線處的4根火柴即可。拿法不唯一。例2.在左下圖中，去掉4根火柴棍，使它變成兩個(gè)完全相同的圖形組合。思路導(dǎo)航：左上圖的面積等于七個(gè)邊長為1根火柴棍的小正方形的面積之和。要達(dá)到規(guī)定要求，必須去掉一個(gè)小正方形。剩下的部分劃分成兩個(gè)面積等于三個(gè)小正方形面積的圖形。去掉右上圖中虛線所示的火柴棍即可。（十二）巧求周長（一）專題簡(jiǎn)析：一個(gè)圖形的周長是指圍成它的所有線段的長度和。我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了求長方形、正方形這些標(biāo)準(zhǔn)圖形的周長，那么怎樣運(yùn)用長方形、正方形的周長計(jì)算公式，巧妙地求一些復(fù)雜圖形的周長呢？對(duì)于一些不規(guī)則的比較復(fù)雜的幾何圖形，要求它們的周長，我們可以運(yùn)用平移的方法，把它轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的長方形或正方形，然后再利用周長公式進(jìn)行計(jì)算。將一個(gè)大長方形或正方形分割成若干個(gè)長方形和正方形，那么圖形周長就會(huì)增加幾個(gè)長或?qū)?；反之，將若干個(gè)小長方形或正方形合成一個(gè)大長方形或正方形，圖形周長就會(huì)減少幾個(gè)長或?qū)?。例題1下圖是一個(gè)樓梯的側(cè)面圖，求此圖形的周長。思路導(dǎo)航：如果把每層臺(tái)階的寬度向上移到和最上層臺(tái)階同樣高的地方，把每層臺(tái)階的高度向右移到和最下層的臺(tái)階長度一致的地方（如下圖），這樣樓梯側(cè)面圖就轉(zhuǎn)化為一個(gè)長方形，然后我們利用長方形周長計(jì)算公式求出此圖形的周長。（2+3）X2=10米。練習(xí)一1，下圖是一個(gè)樓梯的側(cè)面，如果在階梯上鋪地毯，要計(jì)算地毯的長度，可以怎樣測(cè)量？2，如下圖所示，小明和小玲同時(shí)從學(xué)校到少兒書店，小明沿A路線行走，小玲沿B路線行走。如果兩人速度一樣，誰先到少兒書店？為什么？3，下圖是一個(gè)“凹”字形的花園，求花園的周長。(單位：米)例題2下圖是由6個(gè)邊長2厘米的正方形拼成的，這個(gè)圖形的周長是多少厘米？思路導(dǎo)航：這題我們可以用平移的方法將它轉(zhuǎn)化為一個(gè)長方形，如下圖：這個(gè)長方形的長含有4個(gè)小正方形的邊長，長為2X4=8厘米；寬含有2個(gè)小正方形的邊長，寬為2X2=4厘米。這個(gè)長方形的周長為：(2X4+2X2)X2=24厘米。練習(xí)二1，下圖是由5個(gè)邊長為3厘為的正方形組成的圖形，求此圖形的周長。2，下圖是由6個(gè)邊長為2厘米的正方形組成的，求此圖形的周長。3，用24個(gè)邊長是1厘米的正方形拼成一個(gè)長方形，這個(gè)長方形的周長是多少厘米？例題3兩個(gè)大小相同的正方形拼成一個(gè)長方形后，周長比原來兩個(gè)正方形周長的和減少了6厘米。原來一個(gè)正方形的周長是多少厘米？思路導(dǎo)航：根據(jù)題意，畫出下圖。當(dāng)兩個(gè)正方形拼成一個(gè)長方形時(shí)，組成兩個(gè)正方形的8條邊就減少了2條，而已知兩條邊的和是6厘米，那么一條邊長就是6+2=3厘米。所以，原來正方形的周長是：3X4=12厘米。練習(xí)三1，把兩個(gè)大小相同的正方形拼成一個(gè)長方形后，周長比原來兩個(gè)正方形的周長和減少10厘米。原來一個(gè)正方形的周長是多少？2，把一個(gè)正方形剪成兩個(gè)大小相同的長方形后，兩個(gè)長方形的周長和比原來正方形的周長增加28分米。原來正方形的周長是多少？3，把邊長是48厘米的正方形剪成三個(gè)同樣大小的長方形，算一算，每個(gè)長方形的周長是多少厘米？例題4一個(gè)正方形，邊長是5厘為，將9個(gè)這樣的正方形如下圖一樣拼成一個(gè)大正方形，問：拼成的大正方形的周長是多少？思路導(dǎo)航：從圖上可以看出，9個(gè)小正方形拼成的大正方形共有3排，每排由3個(gè)小正方形組成。已知小正方形的邊長是5厘米，所以大正方形的邊長就是5X3=15厘米，大正方形的周長就是15X4=60厘米。練習(xí)四1，把16個(gè)邊長為3厘米的小正方形拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)大正方形的周長是多少厘米？2，把6個(gè)邊長為4厘米的小正方形如下圖拼成一個(gè)長方形，這個(gè)長方形的周長為多少厘米？3，把6個(gè)長為3厘米、寬為2厘米的小長方形如下圖拼成一個(gè)大長方形，這個(gè)大長方形的周長是多少？例題5將一張邊長為36厘米的正方形紙，剪成4個(gè)完全一樣的小正方形紙片，這4個(gè)小正方形周長的和比原來的正方形周長增加了多少厘米？思路導(dǎo)航：將邊長36厘米的正方形，沿豎直方向剪一刀，周長的和就比原來大正方形周長增加2個(gè)邊長；再沿水平方向剪一刀，又增加2個(gè)邊長，一共增加2X2個(gè)邊長。所以這4個(gè)小正方形周長的和比原來的正方形周長增加了36X4=144厘米。練習(xí)五1，將一張邊長為12厘米的正方形紙，剪成4個(gè)完全一樣的小正方形，那么這4個(gè)小正方形周長之和比原來的大正方形的周長增加了多少厘米？2，把一個(gè)邊長為20厘米的正方形，如下圖剪成6個(gè)完全一樣的小長方形，這6個(gè)小長方形周長的和與原來的正方形相比，增加了多少厘米？3，將一個(gè)長為8分米，寬為6分米的長方形如下圖剪成6個(gè)完全一樣的小長方形，這6個(gè)小長方形周長之和比原來的正方形周長增加了多少分米？（十三）巧求周長（二）專題簡(jiǎn)析：在解答比較復(fù)雜的關(guān)于長方形、正方形周長計(jì)算的問題時(shí)，生搬硬套公式往往行不通，這時(shí)靈活地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)在解題中顯得相當(dāng)?shù)闹匾?。解答稍?fù)雜的有關(guān)長方形、正方形周長的問題，首先要仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，想想已知條件和要求問題之間有什么聯(lián)系，應(yīng)該先求什么，再求什么，然后靈活運(yùn)用長方形、正方形周長公式進(jìn)行計(jì)算。例題1把長130厘米的鐵絲圍成一個(gè)長方形，接頭處重合2厘米，要使長比寬多18厘米，長和寬各是多少厘米？思路導(dǎo)航：把長130厘米的鐵絲圍成一個(gè)長方形，去掉接頭處重合的2厘米，可知圍成的長方形的周長為130－2=128厘米。因?yàn)殚L方形的周長=（長+寬）*2,所以長與寬的和為128+2=64厘米。又因?yàn)轭}目中還告訴長與寬的差為18厘米，因此這道題可以轉(zhuǎn)化為和差應(yīng)用題來解。13-2=128厘米 128+2=64厘米長：（64＋18）+2=41厘米 寬：（64－18）+2=23厘米練習(xí)一1，如圖：已知這個(gè)長方形的周長為38厘米，陰影部分為正方形，求長方形的長和寬。2，小華家給長方形的院子裝上了籬笆墻，由于門寬2米，所以籬笆墻共長16米，而這個(gè)長方形的寬是長的一半。長和寬各是多少米？3，一個(gè)周長為20厘米的正方形，從中間剪開成為兩個(gè)大小相等的長方形。這兩個(gè)長方形周長共多少厘米？例題2一根鐵絲長80厘米，圍成一個(gè)邊長為8厘米的正方形，余下的鐵絲圍成一個(gè)長為14厘米的長方形。這個(gè)長方形的寬是多少厘米？思路導(dǎo)航：要求長方形的寬是多少，必須先求出這個(gè)長方形的周長是多少，也就是這根鐵絲余下的長度。(1)正方形的周長：8X4=32厘米(2)長方形的周長：80－32=48厘米(3)長方形的寬：48+2—14=10厘米練習(xí)二1，一根鐵絲長100厘米，圍成一個(gè)邊長為10厘米的正方形，余下的鐵絲圍成一個(gè)寬為10厘米的長方形。這個(gè)長方形的長是多少厘米？2，一根繩子長78厘米，圍成一個(gè)長12厘米，寬9厘米的長方形，余下的圍成一個(gè)正方形。這個(gè)正方形的邊長是多少厘米？3，一根鐵絲圍成一個(gè)邊長為7厘米的正方形，余下的正好圍成一個(gè)長為12厘米、寬為10厘米的長方形。這根鐵絲長多少厘米？例題3一個(gè)長方形的周長是正方形的2倍，正方形的邊長與長方形的寬都是4厘米。長方形的長是多少厘米？思路導(dǎo)航：根據(jù)長方形的周長是正方形的2倍，我們就應(yīng)先求出正方形的周長，然后根據(jù)它們之間的關(guān)系，求出長方形的周長，再求出長方形的長。(1)正方形的周長：4X4=16厘米(2)長方形的周長：16X2=32厘米(3)長方形的長：32+2—4=12厘米。練習(xí)三1，一個(gè)長方形的周長是正方形的4倍，正方形邊長與長方形的寬為6厘米。長方形長多少厘米？2，一個(gè)長方形的周長是正方形的2倍，正方形的邊長與長方形的寬為10厘米。長方形的長是多少厘米？3，一張長方形紙，長28厘米，寬15厘米，剪下一個(gè)最大的正方形后，余下的長方形紙周長是多少？例題4三個(gè)同樣大小的長方形正好拼成一個(gè)正方形，正方形的周長是48厘米，求每個(gè)長方形的周長。思路導(dǎo)航：要求每個(gè)長方形的周長必須先求出每個(gè)長方形的長和寬，長方形的長正好是正方形的邊長，寬是把正方形的邊長平均分成3份，其中的1份，根據(jù)正方形的周長是48厘米，可求出它的邊長為48+4=12厘米，那么長方形的周長是（12+4）*2=32厘米。練習(xí)四1，四個(gè)同樣大小的長方形正好拼成一個(gè)正方形，正方形的周長為64厘米，長方形周長是多少？2，六個(gè)同樣大小的長方形正好拼成一個(gè)如下圖的正方形，正方形周長為48厘米，每個(gè)長方形周長是多少？3，明明用學(xué)具盒里的三個(gè)同樣大小的長方形拼成了一個(gè)大長方形，已知大長方形的周長是60厘米，長是寬的4倍，求小長方形的周長。例題5一張長方形的紙，長是28厘米，寬是15厘米，先剪下一個(gè)最大的正方形，再從余下的紙片中，再剪下一個(gè)最大的正方形。最后余下的長方形周長是多少？思路導(dǎo)航：根據(jù)題中的要求，我們可以畫出一張示意圖。觀察圖形，我們發(fā)現(xiàn)：第一次剪下的以寬為標(biāo)準(zhǔn)的邊長為15厘米的正方形，這時(shí)長邊還剩下28－15=13厘米；第二次剪下的以長邊剩下的13厘米為邊長的正方形，這時(shí)最后剩下的長方形寬是15－13=2厘米，長為13厘米，即周長是：（13+2）*2=30厘米。練習(xí)五1，一張長為25厘米，寬為10厘米的長方形，先剪下一個(gè)最大的正方形，余下的長方形的周長是多少？2，一張長方形紙，長為32厘米，寬為15厘米，先剪下一個(gè)最大的正方形，再從余下的紙片中，又剪下一個(gè)最大的正方形，最后余下的長方形周長是多少？（十四）面積計(jì)算專題簡(jiǎn)析：我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了計(jì)算長方形、正方形的面積，知道長方形的面積二長X寬，正方形的面積=邊長X邊長。利用這些知識(shí)我們能解決許多有關(guān)面積的問題。在解答比較復(fù)雜的關(guān)于長方形、正方形的面積計(jì)算的問題時(shí)，生搬硬套公式往往不能奏效，可以添加輔助線或運(yùn)用割補(bǔ)、轉(zhuǎn)化等解題技巧。因此，敏銳的觀察力和靈活的思維在解題中十分重要。例題1把一張長為4米，寬為3米的長方形木板，剪成一個(gè)面積最大的正方形。這個(gè)正方形木板的面積是多少平方米？思路導(dǎo)航：要使剪成的正方形面積最大，就要使它的邊長最長（如圖），那么只能選原來的長方形寬為邊長，即正方形的邊長是3米。正方形的面積：3*3=9米。練習(xí)一1，把一張長6厘米，寬4厘米的長方形紙剪成一個(gè)面積最大的正方形，這張正方形紙的面積是多少