中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國(guó)通用）：專題15 海盜埋寶模型（解析版）

專題15海盜埋寶模型(3種證明方法)模型文字概述：從前，某海盜頭帶著眾海盜，用船裝著他們搶來(lái)的財(cái)物，來(lái)到一個(gè)荒島上。他們要把這些財(cái)物埋下。因?yàn)榕聲r(shí)間久了會(huì)被人發(fā)現(xiàn)，所以他們來(lái)不及畫標(biāo)記位置的藏寶圖了。但他們發(fā)現(xiàn)，島上有三棵樹(shù)，一棵是A，一棵是B，一棵是C。海盜頭對(duì)一個(gè)水手說(shuō)：“從A到B拉一根繩子，然后從B出發(fā)，沿著垂直于繩子的方向，往島里走一段等于這段繩子的長(zhǎng)度。這一點(diǎn)叫做1號(hào)地點(diǎn)?！彼诌@樣做了。

海盜頭又對(duì)另一個(gè)水手說(shuō)：“從A到C拉一根繩子，然后從C出發(fā)，沿著垂直于繩子的方向，往島里走一段等于這段繩子的長(zhǎng)度。這一點(diǎn)叫做2號(hào)地點(diǎn)?！钡诙€(gè)水手也這樣做了。

等水手找到1號(hào)、2號(hào)地點(diǎn)的時(shí)候，海盜頭便下令說(shuō)：“伙計(jì)們，我們把財(cái)寶埋在這兩點(diǎn)的正當(dāng)中吧！”海盜們把財(cái)寶埋好了，上船走了。

過(guò)了幾個(gè)月，其中一個(gè)水手想利用這筆財(cái)寶救助難民，于是就偷偷地串通好了海盜頭的小侍從，兩個(gè)人回到島上?？烧l(shuí)知，A被臺(tái)風(fēng)刮走了，沒(méi)有留下一點(diǎn)兒痕跡，只有另外兩棵樹(shù)還在。水手非常懊惱，覺(jué)得他們的美夢(mèng)要落空了。可是，小侍從卻很聰明，他說(shuō)：“別急，沒(méi)有A，我一樣能把財(cái)寶找出來(lái)！”

只見(jiàn)小侍從找到了另外兩棵樹(shù)連線的中點(diǎn)，過(guò)中點(diǎn)作了一條該連線的垂線，沿著該垂線在向島內(nèi)走出兩棵樹(shù)連線一半的距離，這時(shí)小侍從對(duì)水手說(shuō)：“這兒就是藏寶的地點(diǎn)，我們快挖吧！”

水手將信將凝，順著小侍從指的那一點(diǎn)試著挖了下去，誰(shuí)知挖了一會(huì)兒，果然挖到了海盜們以前埋下的財(cái)寶。兩個(gè)人把財(cái)寶全都挖了出來(lái)，高高興興地用船運(yùn)走了。你能說(shuō)明其中的原因嗎？模型數(shù)學(xué)概述：如圖，?ABD和?ACE是等腰直角三角形，點(diǎn)B、C為直角頂點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接BF、CF，則?BFC為等腰直角三角形，點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)。證明方法一：1)如右圖，延長(zhǎng)BF至點(diǎn)P，使得BF=FP，連接PE、PC，延長(zhǎng)PE交AB于點(diǎn)Q連接BC∵點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)∴DF=EF在?BDF和?PEF中BF=FP∠BFD=∠PFE∴?BDF≌?PEF（SAS）∴BD=PE∠DBF=∠EPFDF=EF∴BD‖PE∴∠DBA=∠EQA∵?ABD和?ACE是等腰三角形∴AB=BD∠DBA=90°AC=AE∠ACE=90°∴AB=PE∠DBA=∠EQA=90°在四邊形EQAC中∵∠EQA+∠ECA=90°+90°=180°∴∠QAC+∠QEC=360°-180°=180°又∵∠PEC+∠QEC=180°∴∠QAC=∠PEC在?BAC和?PEC中AB=PE∠BAC=∠PEC∴?BAC≌?PEC（SAS）∴BC=PC∠ACB=∠ECPAC=AE∴∠ACB+∠BCE=∠ECP+∠BCE即∠ACE=∠BCP=90°∴?BCP為等腰直角三角形又∵BF=PE∴CF⊥BPCF=BF∴?BFC為等腰直角三角形2)如右圖，延長(zhǎng)BF至點(diǎn)P，使得BF=FP，連接PE、PC，延長(zhǎng)PE交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，PQ與AC邊相交于點(diǎn)G,連接BC∵PQ‖BD∴∠Q=90°∴∠QAG=∠GEC（8字模型）∴∠BAC=∠PEC其它證明過(guò)程相同證明方法二（思路）：將?DAB沿AB對(duì)稱得?PAB，將?EAC沿AC對(duì)稱得?QAC，連接PE，DQ∵?ABD和?ACE是等腰直角三角形∴AB=BD∠DBA=90°AC=CE∠ACE=90°∠DAB=∠EAC=45°∵∠DAP=∠EAQ∴∠DAP+∠EAD=∠EAQ+∠EAD即∠PAE=∠DAQ則?PAE≌?DAQ（SAS）∴PE=DQ∠APE=∠ADQ則PE⊥DQ（手拉手模型）∵BF是?DPE的中位線，F(xiàn)C是?EDQ的中位線∴BF=12PE，BF‖PE，F(xiàn)C=12DQ，F(xiàn)C∴CF⊥BFCF=BF∴?BFC為等腰直角三角形證明方法三（思路）：連接BC，以BC邊中點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系，假設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)（m，n），B(-1,0)，C(1,0)，過(guò)點(diǎn)D、A、E作BC邊垂線，分別與BC邊相交于點(diǎn)P、Q、M已知?DBP≌?BAQ，?CQA≌?EMC（一線三垂直模型）∴BP=AQ,BQ=DP已知AQ=-n，OQ=mBO=1CO=1∴BP=-n則OP=1-（-n）=1+nBQ=1+m則DP=1+m所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-（1+n），1+m）同理QC=EM=1-m，OM=1-（-n）=1+n所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1+n，1-m）已知點(diǎn)F為線段DE中點(diǎn)，所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1）∴?BFC為等腰直角三角形【培優(yōu)訓(xùn)練】1．（2022春·廣東深圳·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知△BAD≌△EBC，∠BAD=∠BCE=90°，∠ABD=∠BEC=30°，點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N．（1）如圖1，當(dāng)A，B，E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，判斷AC與CN數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______；（2）將圖1中△BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）將圖1中△BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中△CAN能否為等腰直角三角形？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角度；若不能，說(shuō)明理由．【答案】（1）AC=CN；（2）成立，證明見(jiàn)解析；（3）△CAN能成為等腰直角三角形，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為60°或180°．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠NEM=∠ADM，由中點(diǎn)的定義可得DM=EM，利用ASA可證明△ADM≌△NEM，可得AD=NE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AD=BC，AB=CE，根據(jù)等量代換的NE=BC，由∠BEC=30°，可得∠NEC=∠ABC=120°，利用SAS可證明△ABC≌△NEC，即可證明AC=NC，可得答案；（2）設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，同（1）可證明△MEN≌△MDA，可得NE=BC，可利用α表示出∠ABC、∠DBE，根據(jù)平行線的性質(zhì)可用α表示出∠CEN，即可得出∠ABC=∠CEN，利用SAS可證明△ABC≌△CEN，即可證明（1）中結(jié)論依然成立；（3）由△CAN為等腰直角三角形，AC=CN可得∠CAN=90°，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，可知旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠ABC=120°+，可得∠ABC=180°時(shí)，∠CAN=90°，進(jìn)而求出的度數(shù)即可．【詳解】（1）AC與CN數(shù)量關(guān)系為：AC=CN．理由如下：∵△BAD≌△BCE，∴BC=AD，EC=AB，∵EN∥AD，∠DAB=90°，∴∠MEN=∠MDA．∠BEN=90°，∵∠BEC=30°，∠BCE=90°，∴∠CEN=120°，∠ABC=120°，∴∠CEN=∠ABC，∵M(jìn)為DE的中點(diǎn)，∴MD=ME，在△MEN與△MDA中，，∴△MEN≌△MDA（ASA），∴EN=AD，∴EN=BC．在△ABC與△CEN中，，∴△ABC≌△CEN（SAS），∴AC=CN．（2）結(jié)論仍然成立．理由如下：與（1）同理，可證明△MEN≌△MDA，∴EN=BC．設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，∴∠ABC=120°+α，∵∠ABD=30°，∴∠DBE=150°-α，∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE=（180°-∠DBE）=15°+α，∵EN∥AD，∴∠MEN=∠MDA=∠ADB+∠BDE=60°+（15°+α）=75°+α，∴∠CEN=∠CEB+∠BED+∠MEN=30°+（15°+α）+（75°+α）=120°+α，∴∠ABC=∠CEN，在△ABC與△CEN中，，∴△ABC≌△CEN（SAS），∴AC=CN．（3）如圖，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，∵圖1中∠ABC=120°，∴旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠ABC=120°+，∵△CAN為等腰直角三角形，AC=CN，∴∠CAN=90°，∴當(dāng)∠ABC=180°時(shí)，∠CAN=90°，即點(diǎn)A、B、C在一條直線上，點(diǎn)N、E、C在一條直線上．∴=180°-120°=60°∴△CAN能成為等腰直角三角形，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為60°或180°．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中不變的量，再利用全等三角形證明題設(shè)中的結(jié)論是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·山東日照·九年級(jí)日照市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N．（1）當(dāng)A，B，C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)（如圖1），求證：M為AN的中點(diǎn)；（2）將圖1中的△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A，B，E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)（如圖2），求證：△ACN為等腰直角三角形；（3）將圖1中△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）△ACN仍為等腰直角三角形，證明見(jiàn)解析．【分析】（1）由EN∥AD和點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)可以證到△ADM≌△NEM，從而證到M為AN的中點(diǎn)．（2）易證AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=135°，從而可以證到△ABC≌△NEC，進(jìn)而可以證到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，則有△ACN為等腰直角三角形．（3）同（2）中的解題可得AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=180°﹣∠CBN，從而可以證到△ABC≌△NEC，進(jìn)而可以證到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，則有△ACN為等腰直角三角形．【詳解】（1）證明：如圖1，∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．∵點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，∴DM=EM．在△ADM和△NEM中，∵，∴△ADM≌△NEM（AAS）．∴AM=MN．∴M為AN的中點(diǎn)．（2）證明：如圖2，∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180°．∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°．∴∠NEC=135°．∵A，B，E三點(diǎn)在同一直線上，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已證），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中，∵，∴△ABC≌△NEC（SAS）．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN為等腰直角三角形．（3）△ACN仍為等腰直角三角形．證明如下：如圖3，此時(shí)A、B、N三點(diǎn)在同一條直線上．∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°．∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．∵A、B、N三點(diǎn)在同一條直線上，∴∠ABC+∠CBN=180°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已證），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中，∵，∴△ABC≌△NEC（SAS）．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN為等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3．（2022春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，將△ABC繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．(1)當(dāng)C轉(zhuǎn)到AB邊上點(diǎn)C′位置時(shí)，A轉(zhuǎn)到A′，（如圖1所示）直線CC′和AA′相交于點(diǎn)D，試判斷線段AD和線段A′D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)將Rt△ABC繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)將Rt△ABC旋轉(zhuǎn)至A、C′、A′三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)成立，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）設(shè)，先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，，都是等邊三角形，從而可得，由此即可得出結(jié)論；（2）在上截取，連接，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，最后根據(jù)等腰三角形的判定可得，由此即可得出結(jié)論；（3）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形全等的判定定理證出，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)旋轉(zhuǎn)角即可得．(1)解：，證明如下：設(shè)，在中，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，和都是等邊三角形，，，是等邊三角形，，；(2)解：成立，證明如下：如圖，在上截取，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，在和中，，，，，，；(3)解：如圖，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，在和中，，，，則旋轉(zhuǎn)角．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2），通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．4．（2020秋·遼寧盤錦·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，點(diǎn)M為AN的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N。（1）當(dāng)A，B，C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)（如圖1），求證：AD=NE；（2）將圖1中的△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A，B，E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)（如圖2），求證：△ACN為等腰直角三角形；（3）將圖1中△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由?！敬鸢浮浚?）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）成立，證明見(jiàn)解析【分析】（1）由EN∥AD，點(diǎn)M為AN的中點(diǎn)，利用AAS證得△ADM≌△NEM，從而得到結(jié)論；（2）易證AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=135°，從而可以證到△ABC≌△NEC，進(jìn)而可以證到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，則有△ACN為等腰直角三角形；（3）借鑒（2）中的解題經(jīng)驗(yàn)可得AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=180°-∠CBN，從而可以證到△ABC≌△NEC，進(jìn)而可以證到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，則有△ACN為等腰直角三角形．【詳解】（1）如圖1，∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．∵點(diǎn)M為AN的中點(diǎn)，∴AM=MN．在△ADM和△NEM中，∴△ADM≌△NEM(AAS)．∴AD=NE；（2）如圖2，∵BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180°．∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°．∴∠NEC=135°．∵A，B，E三點(diǎn)在同一直線上，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．∴∠ABC=∠NEC．∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．∵點(diǎn)M為AN的中點(diǎn)，∴AM=MN．在△ADM和△NEM中，∴△ADM≌△NEM(AAS)．∴AD=NE．又∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中，∴△ABC≌△NEC(SAS)．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN為等腰直角三角形．（3）△ACN仍為等腰直角三角形．如圖3，此時(shí)A、B、N三點(diǎn)在同一條直線上．∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°．∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．∵A、B、N三點(diǎn)在同一條直線上，∴∠ABC+∠CBN=180°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已證），AD=NE．又∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中，∴△ABC≌△NEC(SAS)．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN為等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和等知識(shí)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握等腰直角三角形的判定方法．5．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖1，已知等腰中，E為邊AC一點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作于F點(diǎn)，以為邊作正方形，且，．(1)如圖1，連接，求線段的長(zhǎng)；(2)連接，M點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接、，求與關(guān)系．(3)將等腰繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，連接，M點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接、，求與關(guān)系．【答案】(1)(2)，(3)，【分析】對(duì)于（1），根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求出，，再求出，最后根據(jù)勾股定理求出答案即可；對(duì)于（2），根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出答案，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷；對(duì)于（3），作，連接，，根據(jù)正方形的性質(zhì)，結(jié)合得，可得，，再根據(jù)證明，可得，，進(jìn)而得出是等腰直角三角形，最后等腰三角形的性質(zhì)得出答案．（1）如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D，連接．∵是等腰直角三角形，，∴，∴．∵四邊形是正方形，∴，，在中，；（2）由點(diǎn)M是的中點(diǎn)，在中，；在，，∴；在中，，∴.在中，，則.在中，，∴是直角三角形，∴；（3），．理由：過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接，，∴．∵四邊形是正方形，∴．∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴．在和中，∴，∴，．∵四邊形是正方形，∴，．∵，∴，∴，∴．∵是等腰三角形，∴，，∴．∵，∴．在和中，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形．∵，∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理及逆定理，正方形的性質(zhì)等，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2020·山東濟(jì)南·中考真題）在等腰△ABC中，AC＝BC，是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，連接BD，BE，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，連接CF．（1）當(dāng)∠CAB＝45°時(shí)．①如圖1，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠EAB與∠CBA的數(shù)量關(guān)系是．線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是；②如圖2，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，（1）中線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；學(xué)生經(jīng)過(guò)討論，探究出以下解決問(wèn)題的思路，僅供大家參考：思路一：作等腰△ABC底邊上的高CM，并取BE的中點(diǎn)N，再利用三角形全等或相似有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題；思路二：取DE的中點(diǎn)G，連接AG，CG，并把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形全等或相似有關(guān)知識(shí)來(lái)解快問(wèn)題．（2）當(dāng)∠CAB＝30°時(shí)，如圖3，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，寫出線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）①，；②仍然成立，證明見(jiàn)解析；（2），理由見(jiàn)解析．【分析】（1）①如圖1中，連接BE，設(shè)DE交AB于T．首先證明再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．②解法一：如圖2﹣1中，取AB的中點(diǎn)M，BE的中點(diǎn)N，連接CM，MN．證明（SAS），可得結(jié)論．解法二：如圖2﹣2中，取DE的中點(diǎn)G，連接AG，CG，并把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接DT，GT，BG．證明四邊形BEGT是平行四邊形，四邊形DGBT是平行四邊形，可得結(jié)論．（2）結(jié)論：BE＝．如圖3中，取AB的中點(diǎn)T，連接CT，F(xiàn)T．證明，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）①如圖1中，連接BE，設(shè)DE交AB于T．∵CA＝CB，∠CAB＝45°，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠ACB＝90°，∵∠ADE＝∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴AD＝AE，∴AT⊥DE，DT＝ET，∴AB垂直平分DE，∴BD＝BE，∵∠BCD＝90°，DF＝FB，∴CF＝BD，∴CF＝BE．故答案為：∠EAB＝∠ABC，CF＝BE．②結(jié)論不變．解法一：如圖2﹣1中，取AB的中點(diǎn)M，BE的中點(diǎn)N，連接CM，MN．∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，由①得：設(shè)AD＝AE＝y(tǒng)．FM＝x，DM＝a，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，則DF＝FB＝a+x，∵AM＝BM，∴y+a＝a+2x，∴y＝2x，即AD＝2FM，∵AM＝BM，EN＝BN，∴AE＝2MN，MN∥AE，∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，∴∠CMF＝∠BMN＝90°，∴（SAS），∴CF＝BN，∵BE＝2BN，∴CF＝BE．解法二：如圖2﹣2中，取DE的中點(diǎn)G，連接AG，CG，并把△CAG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接DT，GT，BG．∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG，∵∠CAB＝45°，∴∠CAG＝90°，∴AC⊥AG，∴AC∥DE，∵∠ACB＝∠CBT＝90°，∴AC∥BT∥，∵AG＝BT，∴DG＝BT＝EG，∴四邊形BEGT是平行四邊形，四邊形DGBT是平行四邊形，∴BD與GT互相平分，∵點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，∴BD與GT交于點(diǎn)F，∴GF＝FT，由旋轉(zhuǎn)可得；是等腰直角三角形，∴CF＝FG＝FT，∴CF＝BE．（2）結(jié)論：BE＝．理由：如圖3中，取AB的中點(diǎn)T，連接CT，F(xiàn)T．∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°，∵AT＝TB，∴CT⊥AB，∴AT＝，∴AB＝，∵DF＝FB，AT＝TB，∴TF∥AD，AD＝2FT，∴∠FTB＝∠CAB＝30°，∵∠CTB＝∠DAE＝90°，∴∠CTF＝∠BAE＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝60°，∴AE＝AD＝FT，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．7．（2020·河南·統(tǒng)考中考真題）將正方形的邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為．連接，過(guò)點(diǎn)作垂直于直線，垂足為點(diǎn)，連接，如圖1，當(dāng)時(shí)，的形狀為，連接，可求出的值為；當(dāng)且時(shí)，①中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．【答案】（1）等腰直角三角形，；（2）①結(jié)論不變，理由見(jiàn)解析；②3或1．【分析】（1）根據(jù)題意，證明是等邊三角形，得，計(jì)算出，根據(jù)，可得為等腰直角三角形；證明，可得的值；（2）①連接BD，通過(guò)正方形性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)，表示出，結(jié)合，可得為等腰直角三角形；證明，可得的值；②分為以CD為邊和CD為對(duì)角線兩種情況進(jìn)行討論即可．【詳解】（1）由題知°，°，∴°，且為等邊三角形∴°，∴∵∴°∴°∴為等腰直角三角形連接BD，如圖所示∵°∴即∵∴∴故答案為：等腰直角三角形，（2）①兩個(gè)結(jié)論仍然成立連接BD，如圖所示：∵，∴∵∴∴∵∴∴是等腰直角三角形∴∵四邊形為正方形∴∴∵∴∴∴∴結(jié)論不變，依然成立②若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，分兩種情況討論第一種：以CD為邊時(shí)，則，此時(shí)點(diǎn)在線段BA的延長(zhǎng)線上，如圖所示：此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，∴，得；②當(dāng)以CD為對(duì)角線時(shí)，如圖所示：此時(shí)點(diǎn)F為CD中點(diǎn)，∵∴∵∴∴∴∴∴綜上：的值為3或1．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形與旋轉(zhuǎn)綜合性問(wèn)題，能準(zhǔn)確的確定相似三角形，是解決本題的關(guān)鍵．8．（2019·廣西貴港·中考真題）已知：是等腰直角三角形，，將繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，記旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)時(shí)，作，垂足為，與交于點(diǎn)（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，作的平分線交于點(diǎn).①寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；②求證：；（2）如圖2，在（1）的條件下，設(shè)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，若，求線段的最小值.（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（1）①旋轉(zhuǎn)角為；②見(jiàn)解析；（2）的最小值為.【分析】（1）①解直角三角形求出即可解決問(wèn)題.②連接，設(shè)交于點(diǎn).在時(shí)截取，連接.首先證明是等邊三角形，再證明，即可解決問(wèn)題.（2）如圖2中，連接，，，作交的延長(zhǎng)線于.證明，推出，推出，關(guān)于對(duì)稱，推出，推出，求出即可解決問(wèn)題.【詳解】解：（1）①旋轉(zhuǎn)角為．理由：如圖1中，∵，∴，∵，∴，∴，∴旋轉(zhuǎn)角為.②證明：連接，設(shè)交于點(diǎn).在時(shí)截取，連接.∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴是等邊三角形，，，∵，∴，∴，∴，∴.（2）解：如圖2中，連接，，，作交的延長(zhǎng)線于.由②可知，，，，∴，∴，∴，關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，在中，，，∴，，∴.∴的最小值為.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.9．（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，是邊的中點(diǎn)．(1)如圖，，分別是的兩條高，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系是；若，則；(2)如圖，點(diǎn)，在的外部，和分別是以，為斜邊的直角三角形，且，連接，．①判斷(1)中與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立，并證明你的結(jié)論；②求的度數(shù)；(3)如圖，點(diǎn)，在的內(nèi)部，和分別是以，為斜邊的直角三角形，且，連接，，直接寫出的度數(shù)（用含的式子表示）．【答案】(1)；(2)①仍然成立，理由見(jiàn)解析；②(3)【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中心是斜邊的一半得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出．（2）分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，，證明，根據(jù)全等三角形的性體質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．（3）由（2）得出，同理即可求出．【詳解】（1）∵，分別是的兩條高,∴,∴,∴,,,,故答案為：；．（2）①仍然成立；分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，，如圖2．點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，是的中位線．，．，是的中點(diǎn)，是的中線．．．同理可證．，．．，．．同理可證．．在和中，．．②如圖．，．，．∵，，,．（3）由（2）得出，∴，∴，，∵，∴，∴，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．（2018·寧夏銀川·銀川唐徠回民中學(xué)?？级＃╅喿x理解：如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．垂美四邊形有如下性質(zhì)：垂美四邊形的兩組對(duì)邊的平方和相等．已知：如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E．求證：AD2+BC2=AB2+CD2證明：∵四邊形ABCD是垂美四邊形∴AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2．拓展探究：（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問(wèn)四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如圖3，在Rt△ABC中，點(diǎn)F為斜邊BC的中點(diǎn)，分別以AB，AC為底邊，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，連接FD，F(xiàn)E，分別交AB，AC于點(diǎn)M，N．試猜想四邊形FMAN的形狀，并說(shuō)明理由；問(wèn)題解決：如圖4，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5．求GE長(zhǎng)．【答案】拓展探究：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，理由詳見(jiàn)解析；（2）四邊形FMAN是矩形，理由詳見(jiàn)解析；問(wèn)題解決：.【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的判定定理可得直線AC是線段BD的垂直平分線，進(jìn)而得證；（2）首先猜想出結(jié)論，根據(jù)垂直的定義可得∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，進(jìn)而證得猜想，將已知代入即可求得CD；（3）根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計(jì)算即可.【詳解】拓展探究：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，理由如下：∵AB=AD，∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，∵CB=CD，∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形．（2）四邊形FMAN是矩形，理由：如圖3，連接AF，∵Rt△ABC中，點(diǎn)F為斜邊BC的中點(diǎn)，∴AF=CF=BF，又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，∴AD=DB、AE=CE，∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，又∵∠BAC=90°，∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，∴四邊形AMFN是矩形；問(wèn)題解決：連接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，∵在△GAB和△CAE中，AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，∴△GAB≌△CAE，∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，∴CG2+BE2=CB2+GE2，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=，BE=，∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73，∴GE=【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵；11．（2018秋·廣東廣州·九年級(jí)中山大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎凇鰽BC中，∠BAC=60°，點(diǎn)P為邊BC的中點(diǎn)，分別以AB和AC為斜邊向外作Rt△ABD和Rt△ACE，且∠DAB=∠EAC=α，連結(jié)PD，PE，DE．（1）如圖1，若α=45°，則=；（2）如圖2，若α為任意角度，求證：∠PDE=α；（3）如圖3，若α=15°，AB=8，AC=6，則△PDE的面積為．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【分析】(1)分別取AB、AC中點(diǎn)F、G，連接DF、PF、PG、EG，證明AFPG為平行四邊形，再證明△DFP和△PGE全等，再證明∠DPE=90°，最后得到△DEP是等腰直角三角形.(2)類似（1）證明四邊形AFPG為平行四邊形，證明△DFP和△PGE全等，再證明∠DPE=180°﹣∠DFB，∠DFA=180°﹣∠DFB，所以∠DPE=∠DFA，所以等腰三角形DPE和等腰三角形ADF中，∠PDE=∠DAF=α.（3）同理（1）求出DP=EP長(zhǎng)度，由（2）可得，∠PDE=α=15°=∠PED，過(guò)點(diǎn)E作DP的垂線，交DP的延長(zhǎng)線于H，則∠EPH=30°，所以可求得EH=PE=，所以可以得到△PDE的面積.【詳解】解：（1）分別取AB、AC中點(diǎn)F、G，連接DF、PF、PG、EG，則根據(jù)三角形中位線定理可得，AF=PG，AG=PF，即四邊形AFPG為平行四邊形，∴∠PFB=∠BAC=∠PGC=60°，∵Rt△ABD和Rt△ACE中，∠DAB=∠EAC=α=45°，∴△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴DF⊥AB，EG⊥AC，且DF=AF=PG，PF=AG=EG，∴∠DFP=∠PGE=150°，在△DFP和△PGE中，,∴△DFP≌△PGE（SAS），∴DP=PE，∠GPE=∠FDP，∵△DPF中，∠FDP+∠DPF+∠PFB=90°，而∠PFB=∠FPG，∴∠GPE+∠DPF+∠FPG=90°，即∠DPE=90°，∴△DEP是等腰直角三角形，∴.（2）證明：分別取AB、AC中點(diǎn)F、G，連接DF、PF、PG、EG，則根據(jù)三角形中位線定理可得，AF=PG，AG=PF，即四邊形AFPG為平行四邊形，∴∠PFB=∠BAC=∠PGC=60°，∵Rt△ABD和Rt△ACE中，DF=AF，GE=AG，∴DF=PG，PF=EG，∠DFB=2∠DAF=2α，∠EGC=2∠CAE=2α，∴∠DFP=∠PGE，在△DFP和△PGE中，，∴△DFP≌△PGE（SAS），∴DP=PE，∠GPE=∠FDP，∵在△DFP中，∠FDP+∠DPF+∠PFB=180°﹣∠DFB，而∠PFB=∠FPG，∴∠GPE+∠DPF+∠FPG=180°﹣∠DFB，即∠DPE=180°﹣∠DFB，又∵∠DFA=180°﹣∠DFB，∴∠DPE=∠DFA，∴在等腰三角形DPE和等腰三角形ADF中，∠PDE=∠DAF=α.（3）分別取AB、AC中點(diǎn)F、G，連接DF、PF、PG、EG，則根據(jù)三角形中位線定理可得，AF=PG=4，AG=PF=3，即四邊形AFPG為平行四邊形，∴∠PFB=∠BAC=∠PGC=60°,∵Rt△ABD和Rt△ACE中，DF=AF，GE=AG，∴DF=PG=4，PF=EG=3，∠DFB=2∠DAF=2α=30°，∠EGC=2∠CAE=2α=30°，∴∠DFP=∠PGE=90°，∴DP=EP==5，由（2）可得，∠PDE=α=15°=∠PED，過(guò)點(diǎn)E作DP的垂線，交DP的延長(zhǎng)線于H，則∠EPH=30°，∴EH=PE=，∴△PDE的面積=×DP×EH=×5×=．【點(diǎn)睛】本題利用題目中的原理遷移解決問(wèn)題，一般利用正方形，等腰，等邊三角形，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半等隱含條件，構(gòu)造全等三角形，把沒(méi)辦法利用的已知條件轉(zhuǎn)移到方便利用的圖形位置,從而求解，其中多個(gè)問(wèn)題層層遞進(jìn)，互相聯(lián)系，找到不同問(wèn)法的相同原理或者技巧既是此類問(wèn)題的鑰匙，相同原理或技巧在不同情境中,以不變應(yīng)萬(wàn)變.12．（2021春·北京·八年級(jí)期中）在△ABC中，M是BC邊的中點(diǎn)．（1）如圖1，BD，CE分別是△ABC的兩條高，連接MD，ME；則MD與ME的數(shù)量關(guān)系是．（2）如圖2，點(diǎn)D，E在∠BAC的外部，△ABD和△ACE分別是以AB，AC為斜邊的直角三角形，且∠BAD=∠CAE=30°，連接MD，ME．①判斷（1）中MD與ME的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立，并證明你的結(jié)論；②求∠DME的度數(shù)．【答案】（1）MD＝ME（2）①M(fèi)D＝ME仍然成立；理由見(jiàn)解析②120°【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半得到MD＝ME；（2）分別取AB，AC的中點(diǎn)F，H，連接FD，F(xiàn)M，HE，HM，證明△DFM≌△MHE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵BD，CE分別是△ABC的兩條高，M是BC邊的中點(diǎn)，∴EM＝BC，DM＝BC，∴MD＝ME，故答案為：MD＝ME；（2）①M(fèi)D＝ME仍然成立；證明：分別取AB，AC的中點(diǎn)F，H，連接FD，F(xiàn)M，HE，HM，∵點(diǎn)F，M分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴FM是△ABC的中位線．∴FM∥AC，F(xiàn)M＝AC．∴∠BFM＝∠BAC．∵H是AC的中點(diǎn)，∴EH是Rt△AEC的中線．∴EH＝AC＝AH．∴FM＝EH．同理可證，MH＝DF．∵DF＝AB＝AF，∴∠FDA＝∠FAD．∴∠BFD＝∠FDA＋∠FAD＝2∠FAD．∵∠BAD＝30°，∴∠BFD＝60°．∴∠DFM＝∠BFD＋∠BFM＝60°＋∠BAC．同理可證，MHE＝60°＋∠BAC．∴∠DFM＝∠MHE．在△DFM和△MHE中，，∴△DFM≌△MHE．∴MD＝ME；②∵HM∥AB，∴∠FMH＝∠BFM．∵△DFM≌△MHE，∴∠FDM＝∠HME，∴∠DME＝∠FMD＋∠FMH＋∠HME＝∠FMD＋∠BFM＋∠FDM＝180°?∠BFD＝120°．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．13．如圖①，在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖①所示，其中，DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連接MD，ME，MF，MG．則下列結(jié)論正確的是__________（填寫序號(hào)）①四邊形AFMG是菱形；②△DFM和△EGM都是等腰三角形；③MD=ME；④MD⊥ME．（2）數(shù)學(xué)思考：如圖②，在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則MD與ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請(qǐng)給出證明過(guò)程．（3）類比探究：如圖③Rt△ABC中，斜邊BC=10，AB=6，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABD和ACE，請(qǐng)直接寫出DE的長(zhǎng)．【答案】（1）①②③④；（2）證明見(jiàn)解析；（3）DE的長(zhǎng)為：或,.【詳解】試題分析：（1）由條件可以通過(guò)三角形全等和軸對(duì)稱的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及四點(diǎn)共圓即可得出結(jié)論；（2）取AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出四邊形AFMG是平行四邊形，從而得出△DFM≌△MGE，根據(jù)其性質(zhì)以及各個(gè)角之間的關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）分四種情況，①等腰直角三角形ABD和ACE都在Rt△ABC外側(cè)，②等腰直角三角形ABD和ACE都在Rt△ABC內(nèi)側(cè)，③等腰直角三角形ABD和ACE一個(gè)Rt△ABC外側(cè)，④等腰直角三角形ABD和ACE,一個(gè)在Rt△ABC外側(cè)，一個(gè)在等腰直角三角形ABD和ACE都在Rt△ABC內(nèi)側(cè)分別求出DE的長(zhǎng)度即可．試題解析：（1）∵和是等腰直角三角形，∵在和中，于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，∴和都是等腰三角形，故②正確；∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴∴即在和中，故③正確；連接AM、FM、GM，如圖1所示：M是BC的中點(diǎn)，∴四邊形AFMG是菱形，故①正確；M是BC的中點(diǎn)，∴四邊形ADBM四點(diǎn)共圓，∵AM是對(duì)稱軸,故④正確，故答案為①②③④；（2）理由如下：取AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，如圖2所示：∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴四邊形AFMG是平行四邊形，∵在和中，,(3)中，斜邊BC=10，AB=6，∴AC=8，和是等腰直角三角形，分四種情況，①如圖3，和是等腰直角三角形，∴D，A，E三點(diǎn)共線，②如圖4，和是等腰直角三角形，∴點(diǎn)A，D，E共線，③如圖5，和是等腰直角三角形，④如圖6，和是等腰直角三角形，綜上所述：DE的長(zhǎng)為：或,.考點(diǎn)：四邊形綜合題．14．（2022秋·湖北武漢·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在的同側(cè)以、為底邊向外作等腰、，其中，為的中點(diǎn)，連接、．(1)如圖，當(dāng)時(shí)，直接寫出與的關(guān)系．(2)如圖，當(dāng)時(shí)，（1）的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)你做出判斷并說(shuō)明理由；(3)如圖，當(dāng)，，連接，取其中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)A從的位置運(yùn)動(dòng)到時(shí)停止，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】(1)(2)結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）先證點(diǎn)，點(diǎn)A，點(diǎn)三點(diǎn)共線，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求解；（2）由“”SAS””可證≌，可得，，由三角形內(nèi)角和定理可求解；（3）先證點(diǎn)A,點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共圓，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求，可得，由弧長(zhǎng)公式可求解．【詳解】（1）解：，，理由如下：如圖，連接，等腰和等腰，，，，，為邊的中點(diǎn)，，，點(diǎn)，點(diǎn)A，點(diǎn)三點(diǎn)共線，垂直平分，，同理可得：，，，，；（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖，分別取、中點(diǎn)、，連接、，再連接、，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，,，，，，，，，四邊形為平行四邊形，，，，在與中，，≌，，，，，，，，，；（3）如圖，連接，并延長(zhǎng)至,使，連接，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，又，四邊形是平行四邊形，∥，，，又，是的中垂線，，同理可得：，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)都在以為圓心，為半徑的圓上，，，，，，動(dòng)點(diǎn)從的位置運(yùn)動(dòng)到，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角度為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是三