中考數學復習滿分突破（全國通用）：專題17 直角三角形翻折模型（原卷版）

專題17直角三角形翻折模型已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AC=5模型一：沿過點A的直線翻折使得點B的對應點B’落在斜邊AC上，折痕為AD，求線段AD，DC，B’C長度。解法一（勾股定理思路）：由已知條件可知，AB=AB’，BD=B’D∵∠ABC=90°，AB=3，AC=5∴∠AB’D=90°，AB’=3，B’C=2設BD=x，則B’D=x，DC=4-x在Rt△DB’C中，由勾股定理可得DB’2+B’C2=DC2即x2+22=（4-x）2解得x=1.5∴B’D=1.5,DC=2.5同理AD=3解法二（相似三角形思路）：由已知條件易證△ABC∽△DB’C則ABBC=DB’B'C則B’D=1.5【模型變形】已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AD為∠BAC的角平分線，求DC長解法（思路）：過點D作DE⊥AC，垂足為點E則△ABD≌△AED(AAS)(證明過程略)∴∠ABD=∠AED，BD=DE，AB=AE剩余步驟參照模型一解法一模型二：沿過點C的直線翻折使得點B的對應點B’落在斜邊AC上，折痕為CD，求線段AD，DC，AB’長度。解法一（勾股定理思路）：由已知條件可知，BD=B’D，BC=B’C∵∠ABC=90°，BC=4，AC=5∴∠CB’D=90°，B’C=4，AB’=1設BD=x，則B’D=x，AD=3-x在Rt△ADB’中，由勾股定理可得DB’2+AB’2=AD2即x2+12=（3-x）2解得x=4∴B’D=43,AD=在Rt△DCB’中，由勾股定理可Q求得CD長解法二（相似三角形思路）：由已知條件易證△ABC∽△AB’D則ABBC=AB’B'D則B’D=43模型三：沿MN翻折使得點A與點C重合，求線段AN，BM，MN長度。解法一（勾股定理思路）:設BM=x，則MC=AM=4-x，在Rt△ABM中，由勾股定理可得BM2+AB2=AM2即x2+32=（4-x）2解得x=7則MC=25在Rt△MNC中，由勾股定理可得MN=MC2?解法二（相似三角形思路）：由已知條件易證△ABC∽△MNC則ABBC=MNNC,BCAC=NCMC則MN=15模型四:沿斜邊中線BE翻折，使得點A落在點F處，連接AF、FC，AF與BE交于點O，求線段AF，FC的長解法(思路)：過點E作DE⊥AB，交AB邊于點D由翻折的性質可知，AE=EF,AF⊥BE∵BE是Rt△ABC斜邊中線，∴S△ABE=12S△A∴S△ABE=12AO?BE=3解得AO=125則AF=24∵∠FEC=2∠EFA,∠EFC=∠ECF在△EFC中根據三角形內角和定理可得∠FEC+∠EFC+∠ECF=180°∴∠EFA+∠EFC=90°在Rt△AFC中根據勾股定理可知FC=AC2?AF模型五:沿斜邊中線BE翻折，使得點C落在點D處，連接AD、CD求線段AD，CD的長解法(思路)：延長BE，交DC邊于點F由翻折的性質可知，DE=EC,BF⊥CD∵BE是Rt△ABC斜邊中線，∴S△BEC=12S△ABC=3∴S△BEC=12FC?BE=3解得FC=125則DC=24∵∠DEA=2∠EDC,∠EAD=∠EDA在△ADE中根據三角形內角和定理可得∠DEA+∠EAD+∠EDA=180°∴∠EDA+∠EDC=90°在Rt△ADC中根據勾股定理可知AD=AC2?DC模型六：線段AC上有一點D，沿直線BD翻折，使點A落在BC邊上點E處，求AD，DC，BD解法(思路)：過點D作DM⊥BC,DN⊥AB，分別與BC、AB交于點M，點N由翻折的性質可知，∠ABD=∠DBC=45°,則DN=DM設DN=x則S△ABC=S△ABD+S△BDC=12AB?DN+12BC?DM=6則x=∴BN=BM=127則AN=97,則AD=157，DC=207(在Rt△BND中根據勾股定理/銳角三角函數可知BD長模型七：點M和點N分別在AC與BC邊上，點C沿MN翻折，使點C落在AB邊中點D處，DC與MN相交于點O，求MN,CM,CD,CN的長度解法(思路)：由翻折的性質可知，DN=NC，DC⊥MN設BN=x，則DN=4-x在Rt△DBN中由勾股定理可得BD2+BN2=DN2則x=5532所以NC=在Rt△DBC中由勾股定理可得DC=12√73則D在Rt△NOC中由勾股定理可求得NO，從而求出MN的長過點D作DH⊥AC，交AC邊于點H∵S△ADC=12S△ABC=3∴S△ADC=12AC?DH=3解得DH=∴AH=910設MC=y，則AM=5-y,HM=在Rt△DHM中由勾股定理求得y值【過關測試】1．（2022春·四川成都·七年級校考期中）如圖，將一個等腰直角三角形按圖示方式依次翻折，，，則的周長（

）A． B． C． D．2．（2022春·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期中）如圖有一塊直角三角形紙片，，將斜邊AB翻折，使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為AD，則BD的長為（

）A． B．1.5 C． D．33．（2020春·陜西銅川·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點D是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），過點D作交AB邊于點E，將沿直線DE翻折，點B落在射線BC上的F處，連接AF，當為直角三角形時，BD的長為（

）A．1 B．3 C．1或2 D．1或34．（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學?？奸_學考試）如圖，在中，，，點D、E分別在邊和邊上，沿著直線翻折，點A落在邊上，記為點F，如果，則的長為（

）A．6 B． C． D．5．（2023秋·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點F在AC上，并且，點E為BC上的動點（點E不與點C重合），將沿直線EF翻折，使點C落在點P處，結論①：當時，的長為；結論②：點P到AB的距離的最小值是，則關于上述兩個結論，下列說法正確的是（

）A．①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確C．①和②都正確 D．①和②都錯誤6．（2023秋·天津和平·八年級天津市匯文中學?？计谀┤鐖D，在中，，，為邊上的點，連接．如果將沿直線翻折后，點恰好落在邊的中點處，那么點到的距離是（

）A．2 B．1 C． D．37．（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，是的中線，，把沿著直線翻折，點C落在點E的位置，如果，那么線段的長度為（

）A．2 B．4 C． D．8．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？计谀┤鐖D，在中，點D是邊上的中點，連接，把沿若翻折，得到．連接．若，，，則為（

）A． B．2 C．3 D．9．（2022秋·廣東深圳·九年級深圳市寶安中學（集團）校考期末）如圖，在中，，，點D、E分別在邊和邊上，沿著直線翻折，點A落在邊上，記為點F，如果，則的長為（

）A．3 B． C． D．10．（2021秋·陜西咸陽·八年級咸陽市實驗中學?？茧A段練習）如圖，直線分別與x、y軸交于點A、B，點C在線段上，將沿翻折，點O落在邊上的點D處，則的長為（

）．A．4 B．3 C．2 D．111．（2022秋·江蘇無錫·八年級校聯考期中）如圖，，，，，點D是BC的中點，將沿AD翻折得到，連結BE，則線段BE的長為（）A．2 B． C． D．12．（2022秋·湖南常德·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點E在邊BC上，將沿翻折，點B落在邊上的點D處，連結，若．下列結論不正確的是（

）A．垂直平分 B．C．點E是的中點 D．的周長比的周長大513．（2022秋·廣東梅州·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，，點在上，現將沿翻折，使點落在點處連接，則長度的最小值是（

）A． B． C． D．14．（2022春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點D，E分別在AB，AC上，連接DE，將△ADE沿DE翻折，使點A的對應點F落在BC的延長線上．若FD平分∠EFB，則CF的長為（

）A． B． C． D．15．（2021春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）ABC中，，，D、E兩點分別在邊AB，BC上，將三角形的部分沿直線DE翻折，使點B落到射線BC上的F點，當ADF為直角三角形時，則折痕DE的長為______16．（2022·河南許昌·統(tǒng)考二模）如圖，為等腰直角三角形，，，點為邊上一點，且，點為邊上一動點（點不與點、重合），連接，將沿翻折得到，當的一邊過點時，的長為___________．17．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在中，，點在邊上．連接，將沿直線翻折，點落在點處，交邊于點．已知，，若為直角三角形，則的面積為______．18．（2020秋·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習）如圖①，點D為一等腰直角三角形紙片的斜邊AB的中點，E是BC邊上的一點，將這張紙片沿DE翻折成如圖②，使BE與AC邊相交于點F，若圖①中AB＝2，則圖②中△CEF的周長為______________．19．（2019·八年級單元測試）如圖，將一個等腰直角三角形按照圖示方式依次翻折，若，則下列說法正確的有________.①平分；②BC長為；③是等腰三角形；④的周長等于的長.20．（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學?？奸_學考試）如圖，在中，為邊上的中線，已知，，．將沿著翻折得到，連接，，則的面積為______．21．（2023秋·上海靜安·八年級上海市風華初級中學?？计谀┤鐖D，在中，，，為邊上一點，將沿著直線翻折，點恰好落在邊上的點處，連接．如果，那么的長為________．22．（2021·浙江湖州·統(tǒng)考一模）如圖，已知在直角三角形紙片中，，點D、E分別是邊、上的動點，將沿著翻折，使點A的對應點F落在內（包括邊上），連結．（1）如圖1，若．①當時，求的度數；②當與相似時，求線段的長．（2）如圖2，當時，在點E的運動過程中，若有且只有一個位置使得構成直角三角形，請求出滿足條件的的取值范圍．23．（2022春·九年級課時練習）如圖，AB是等腰直角三角形ABC的斜邊，若點M在邊AC上，點N在邊BC上，沿直線MN將△MCN翻折，使點C落在邊AB上，設其落點為P．（1）求證：AM=PN；（2）當點P是邊AB的中點時，求證：；（3）當點P不是邊AB的中點時，是否仍然成立？請說明理由．24．（2021·上海·九年級期末）在ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=，點D為邊AC的中點（如圖），點P、Q分別是射線BC、BA上的動點，且BQ=BP，聯結PQ、QD、DP．（1）求證：PQ⊥AB；（2）如果點P在