中考數(shù)學復習滿分突破（全國通用）：專題18 矩形折疊問題（解析版）

專題18矩形折疊問題模型的概述：已知矩形的長與寬，利用勾股定理、相似三角形及翻折的性質(zhì)，求各線段邊長。解題方法：不找以折痕為邊長的直角三角形，利用未知數(shù)表示其它直角三角形三邊，通過勾股定理/相似三角形知識求解。問題：根據(jù)已知信息，求翻折后各邊長。模型一：思路：模型二：思路：模型三：思路：嘗試借助一線三垂直知識利用相似的方法求解模型四：思路：模型五：思路：模型六：點M,點N分別為DC，AB中點思路：模型七：點A’為BC中點思路：過點F作FH⊥AE，垂足為點H設(shè)AE=A’E=x，則BE=8-x由勾股定理解得x=174∴BE=由于△EBA’∽△A’CG∽△FD’G∴A’G=3415CG=1615DF=D’F=AH=134【培優(yōu)過關(guān)練】1．（2022秋·山東青島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，，點、分別在邊、上，若將四邊形沿折疊，點恰好落在邊上，則的長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)和正方形及勾股定理的有關(guān)性質(zhì)求解．【詳解】解：在正方形中，，，，，，，，，又，，，，，故選：B．【點睛】本題考查了翻折及正方形的性質(zhì)，勾股定理的應用是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇徐州·九年級?？茧A段練習）如圖，在矩形紙片中，點E在邊上，沿著折疊使點A落在邊上的點F處，若，，則的長為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)和正切的定義得出，再證明，最后利用相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】解：由折疊可知，，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，故選：A．【點睛】本題考查了矩形中的折疊問題，涉及三角函數(shù)，相似三角形判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明．3．（2022秋·福建泉州·九年級福建省惠安第一中學校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊在x軸上，邊在y軸上，點B的坐標為，將矩形沿對角線折疊，使點B落在D點的位置，且交y軸交于點E，則點D的坐標是（

）A．（） B．（，2） C．（） D．【答案】D【分析】過D作于F，根據(jù)折疊可以證明，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，那么，利用勾股定理即可求出m，然后利用已知條件可以證明，而，接著利用相似三角形的性質(zhì)即可求出、的長度，也就求出了點D的坐標．【詳解】如圖，過D作于F，∵點B的坐標為，∴，根據(jù)折疊可知，而∴，∴，設(shè)，那么，在中，，∴，

解得，∵，∴，∴而，∴，∴，即，∴，∴，∴D的坐標為，故選：D．【點睛】此題主要考查了圖形的折疊問題，也考查了坐標與圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把握折疊的隱含條件，利用隱含條件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它們的性質(zhì)即可解決問題．4．（2023春·廣東廣州·九年級專題練習）如圖，矩形紙片中，，，折疊紙片使落在對角線上，折痕為，點的對應點為，那么的長為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】首先設(shè)，由矩形紙片中，，，可求得的長，又由折疊的性質(zhì)，可求得的長，然后由勾股定理可得方程：，解此方程即可解決問題．【詳解】解：設(shè)，∵四邊形是矩形，∴，∵，，∴，由折疊的性質(zhì)可得：，，，∴，，，∵在中，，∴，解得：，∴．故選：C．【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．5．（2022秋·湖南邵陽·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在矩形紙片中，，點E在上，將沿折疊，點恰落在邊上的點F處；點在上，將△ABG沿折疊，點恰落在線段上的點處，有下列結(jié)論：①；②；③四邊形的面積等于；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】利用折疊性質(zhì)得，，，，，則可得到，于是可對①進行判斷；在中利用勾股定理計算出，則，設(shè)，利用勾股定理得到，得到，于是可對④進行判斷；接著證明，于是可對②進行判斷；根據(jù)可對③進行判斷．【詳解】解：∵沿折疊，點恰落在邊上的點處；點在上，將沿折疊，點恰落在線段上的點處，∴，，，，，，∴，所以①正確；在中，，∴，設(shè)，則，在中，∵，∴，解得，∴，∴，所以④正確；在中，，設(shè)，則∴解得∴∵，，∴．所以③不正確．∵，∴∴故②正確故選：C．【點睛】本題考查了矩形的折疊問題，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·廣東梅州·九年級?？茧A段練習）如圖，在矩形中，，，點E為的中點，將沿折疊，使點B落在矩形內(nèi)點F處，連接，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)三角形的面積公式求出，得到，根據(jù)直角三角形的判定得到，根據(jù)勾股定理求出答案．【詳解】解：連接，交于H，∵，點E為的中點，∴，又∵，∴，由折疊知，（對應點的連線必垂直于對稱軸），∴，則，∵，∴，，∵，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·廣西貴港·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形紙片中，，，M是上的點，且，將矩形紙片沿過點M的直線折疊，使點D落在上的點P處，點C落在點處，折痕為，當與線段交于點H時，則線段的長是（

）A．3 B． C．4 D．【答案】B【分析】連接，證明即可得到，證明，得出，然后列出關(guān)于x的方程，解方程即可．【詳解】解：連接，如圖所示：∵矩形紙片中，，，∴，，∵，∴，根據(jù)折疊可知，，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得：，∴，故B正確．故選：B．【點睛】本題考查矩形的折疊問題，解題的關(guān)鍵是看到隱藏條件，證明三角形全等，學會利用翻折不變性解決問題．8．（2022秋·山東棗莊·九年級?？计谥校┤鐖D，邊長為2的正方形的對角線與交于點O，將正方形沿直線折疊，點C落在對角線上的點E處，折痕交于點M，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意先求，再求，進而根據(jù)的線段比例關(guān)系，即可求出的長．【詳解】解：如圖，連接，∵四邊形是正方形，∴，，∴，由折疊的性質(zhì)可知，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，即，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查圖形的翻折，熟練掌握圖形翻折的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點M在邊上，把沿直線折疊，使點B落在邊上的點E處，連接，過點B作，垂足為F，若，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=，從而可得AD=BC=，最后求得AE的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，∴∠DEC=∠FCB，∵，∴∠BFC=∠CDE，∵把沿直線折疊，使點B落在邊上的點E處，∴BC=EC，在△BFC與△CDE中，∴△BFC≌△CDE（AAS），∴DE=CF=2，∴，∴AD=BC=CE=，∴AE=AD-DE=，故選：A．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，勾股定理的應用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形中的折疊問題．10．（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）矩形紙片中，E為的中點，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長是（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】連接BF交AE于點G，根據(jù)對稱的性質(zhì)，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=，根據(jù)E為BC中點，可證BE=CE=EF，通過等邊對等角可證明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函數(shù)（或相似）求出BF，則根據(jù)計算即可．【詳解】連接BF，與AE相交于點G，如圖，∵將沿折疊得到∴與關(guān)于AE對稱∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=∵點E是BC中點∴BE=CE=DF=∴∵∴∴∵BE=CE=DF∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=∴故選D【點睛】本題考查了折疊對稱的性質(zhì)，熟練運用對稱性質(zhì)證明相關(guān)線段相等是解題的關(guān)鍵．11．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點F，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，利用“AAS”證明，得出，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程得出x的值，最后根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，，根據(jù)折疊可知，，，，∴在△AFD和△EFB中，∴（AAS），∴，，設(shè)，則，在中，，即，解得：，則，∴，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵．12．（2022·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知BD是矩形ABCD的對角線，AB＝6，BC＝8，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，連結(jié)BE，DF．將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，若翻折后，點A，C分別落在對角線BD上的點G，H處，連結(jié)GF．則下列結(jié)論不正確的是（

）A．BD＝10 B．HG＝2 C． D．GF⊥BC【答案】D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)以及勾股定理即可判斷A，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得，進而判斷B，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，進而判斷C選項，根據(jù)勾股定理求得的長，根據(jù)平行線線段成比例，可判斷D選項【詳解】BD是矩形ABCD的對角線，AB＝6，BC＝8，故A選項正確，將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，，,故B選項正確，,∴EG∥HF，故C正確設(shè)，則，，即，同理可得若則，，不平行，即不垂直，故D不正確．故選D【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．13．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點A、B、D恰好都落在點O處，且點G、O、C在同一條直線上，同時點E、O、F在另一條直線上．小煒同學得出以下結(jié)論：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=DF；④OC=2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正確的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④【答案】B【分析】由折疊的性質(zhì)知∠FGE=90°，∠GEC=90°，點G為AD的中點，點E為AB的中點，設(shè)AD=BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=，然后利用勾股定理再求得DF=FO=，據(jù)此求解即可．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=(∠DGO+∠AGO)=90°，同理∠GEC=90°，∴∠FGE+∠GEC=180°∴GF∥EC；故①正確；根據(jù)折疊的性質(zhì)知DG=GO，GA=GO，∴DG=GO=GA，即點G為AD的中點，同理可得點E為AB的中點，設(shè)AD=BC=2a，AB=CD=2b，則DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，∴GC=3a，在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2，即(3a)2=a2+(2b)2，∴b=，∴AB=2=AD，故②不正確；設(shè)DF=FO=x，則FC=2b-x，在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，即(2b-x)2=x2+(2a)2，∴x==，即DF=FO=，GE=a，∴，∴GE=DF；故③正確；∴，∴OC=2OF；故④正確；∵∠FCO與∠GCE不一定相等，∴△COF∽△CEG不成立，故⑤不正確；綜上，正確的有①③④，故選：B．【點睛】本題主要考查了折疊問題，解題時，我們常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案．14．（2021·廣西來賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形紙片，，點，分別在，上，把紙片如圖沿折疊，點，的對應點分別為，，連接并延長交線段于點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)則可得出是的垂直平分線，則由直角三角形性質(zhì)及矩形性質(zhì)可得∠AEO=∠AGD，∠FHE＝∠D＝90°，根據(jù)相似三角形判定推出△EFH∽△GAD，再利用矩形判定及性質(zhì)證得FH＝AB，即可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，過點F作FH⊥AD于點H，∵點，的對應點分別為，，∴，，∴EF是AA＇的垂直平分線．∴∠AOE=90°．∵四邊形是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．∴∠OAE＋∠AEO=∠OAE＋∠AGD，∴∠AEO=∠AGD．∵FH⊥AD，∴∠FHE＝∠D＝90°．∴△EFH∽△GAD．∴．∵∠AHF＝∠BAD＝∠B＝90°，∴四邊形ABFH是矩形．∴FH＝AB．∴；故選：A．【點睛】本題考查了矩形的折疊問題，掌握折疊的性質(zhì)、矩形及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2011·吉林長春·中考真題）如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B落在點F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長為()A．3 B．4C．5 D．6【答案】D【分析】先根據(jù)矩形的特點求出BC的長，再由翻折變換的性質(zhì)得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的長，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8﹣3=5，在Rt△CEF中，CF==4，設(shè)AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，故選：D．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理建立等式求解．16．（2020·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=12．將紙片折疊，使點B落在邊AD的延長線上的點G處，折痕為EF，點E、F分別在邊AD和邊BC上．連接BG，交CD于點K,FG交CD于點H．給出以下結(jié)論：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK和△GKH的面積相等；④當點F與點C重合時，∠DEF=75°．其中正確的結(jié)論共有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由折疊的性質(zhì)可得四邊形EBFG是菱形從而判斷①②正確;由角平分線定理即可判斷DG≠GH,由此推出③錯誤;根據(jù)F、C重合時的性質(zhì),可得∠AEB=30°,進而算出④正確．【詳解】連接BE,由折疊可知BO=GO，∵EG//BF，∴∠EGO=∠FBO，又∵∠EOG=∠FOB，∴△EOG≌△FOB(ASA)，∴EG=BF，∴四邊形EBFG是平行四邊形，由折疊可知BE=EG，則四邊形EBFG為菱形，故EF⊥BG，GE=GF，∴①②正確；∵四邊形EBFG為菱形，∴KG平分∠DGH，∴,DG≠GH，∴S△GDK≠S△GKH,故③錯誤；當點F與點C重合時，BE=BF=BC=12=2AB，∴∠AEB＝30°，，故④正確．綜合，正確的為①②④．故選C．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì),菱形的判斷,折疊的性質(zhì),關(guān)鍵在于結(jié)合圖形對線段和角度進行轉(zhuǎn)換．17．（2020·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）如圖，把某矩形紙片沿，折疊（點E、H在邊上，點F，G在邊上），使點B和點C落在邊上同一點P處，A點的對稱點為、D點的對稱點為，若，的面積為8，的面積為2，則矩形的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因為△A′EP的面積為4，△D′PH的面積為1，推出D′H＝x，由S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，可解得x=2，分別求出PE和PH，從而得出AD的長.【詳解】解：∵四邊形ABC是矩形，∴AB=CD，AD=BC，設(shè)AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，∵△A′EP的面積為8，△D′PH的面積為2，又∵，∠A′PF=∠D′PG=90°，∴∠A′PD′=90°，則∠A′PE+∠D′PH=90°，∴∠A′PE=∠D′HP，∴△A′EP∽△D′PH，∴A′P2：D′H2=8：2，∴A′P：D′H=2：1，∵A′P=x，∴D′H=x，∵S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，即，∴x=2（負根舍棄），∴AB=CD=2，D′H=DH=，D′P=A′P=CD=2，A′E=2D′P=4，∴PE=，PH=，∴AD==，故選D.【點睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．18．如圖，矩形紙片ABCD，AB=4，BC=3，點P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點C落在點E處，PE、DE分別交AB于點O、F，且OP=OF，則cos∠ADF的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=OF可得出△OEF≌△OBP（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出OE=OB、EF=BP，設(shè)EF=x，則BP=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x，進而可得出AF=1+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定義即可求出cos∠ADF的值．【詳解】根據(jù)折疊，可知：△DCP≌△DEP，∴DC=DE=4，CP=EP．在△OEF和△OBP中，，∴△OEF≌△OBP（AAS），∴OE=OB，EF=BP．設(shè)EF=x，則BP=x，DF=DE﹣EF=4﹣x，又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，∴AF=AB﹣BF=1+x．在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2，解得：x=，∴DF=4﹣x=，∴cos∠ADF=，故選C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理結(jié)合AF=1+x，求出AF的長度是解題的關(guān)鍵．19．（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形為正方形，點E是的中點，將正方形沿折疊，得到點B的對應點為點F，延長交線段于點P，若，則的長度為___________．【答案】2【分析】連接AP，根據(jù)正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)證明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，設(shè)PF＝PD＝x，則CP＝CD?PD＝6?x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根據(jù)勾股定理即可解決問題．【詳解】解：連接AP，如圖所示，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵點E是BC的中點，∴BE＝CE＝AB＝3，由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，在Rt△AFP和Rt△ADP中，，∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），∴PF＝PD，設(shè)PF＝PD＝x，則CP＝CD?PD＝6?x，EP＝EF＋FP＝3＋x，在Rt△PEC中，根據(jù)勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，∴（3＋x）2＝32＋（6?x）2，解得x＝2，則DP的長度為2，故答案為：2．【點睛】本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．20．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片，折痕是，點落在點處，分別延長、交于點、，若點是邊的中點，則______cm．【答案】##【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DE=DC=4，EM=CM=2，連接DF，設(shè)FE=x，由勾股定理得BF，DF，從而求出x的值，得出FB，再證明，利用相似三角形對應邊成比例可求出FG．【詳解】解：連接如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∵點M為BC的中點，∴由折疊得，∠∴∠，設(shè)則有∴又在中，，∵∴∴在中，∴解得，（舍去）∴∴∴∵∠∴∠∴∠又∠∴△∴即∴故答案為：【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．21．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片折疊，使點B與點D重合，點A落在點P處，折痕為．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)cm【分析】（1）利用ASA證明即可；（2）過點E作EG⊥BC交于點G，求出FG的長，設(shè)AE=xcm，用x表示出DE的長，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，由折疊知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF=∠ADC，∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,∴∠PDE=∠CDF，在△PDE和△CDF中，,∴（ASA）；（2）如圖，過點E作EG⊥BC交于點G，∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD=EG=4cm，又∵EF=5cm，∴cm,設(shè)AE=xcm，∴EP=xcm，由知，EP=CF=xcm，∴DE=GC=GF+FC=3+x，在Rt△PED中，,即，解得，，∴BC=BG+GC=(cm）．【點睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．22．（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．(1)操作判斷操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據(jù)以上操作，當點M在EF上時，寫出圖1中一個30°的角：______．(2)遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ．①如圖2，當點M在EF上時，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展應用在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當FQ＝1cm時，直接寫出AP的長．【答案】(1)或或或(2)①15，15；②，理由見解析(3)cm或【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，結(jié)合矩形的性質(zhì)得，進而可得；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)，可證，即可求解；（3）由（2）可得，分兩種情況：當點Q在點F的下方時，當點Q在點F的上方時，設(shè)分別表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解．（1）解：，sin∠BME=（2）∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°由折疊性質(zhì)得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°∴BM=BC①∴②（3）當點Q在點F的下方時，如圖，，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)由（2）可知，設(shè)，即解得：∴；當點Q在點F的上方時，如圖，cm，DQ=3cm，由（2）可知，設(shè)，即解得：∴．【點睛】本題主要考查矩形與折疊，正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的全等，掌握相關(guān)知識并靈活應用是解題的關(guān)鍵．23．（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動中，小亮同學選用了常見的A4紙，如圖①，矩形為它的示意圖．他查找了A4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中．他先將A4紙沿過點A的直線折疊，使點B落在上，點B的對應點為點E，折痕為；再沿過點F的直線折疊，使點C落在上，點C的對應點為點H，折痕為；然后連結(jié)，沿所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點D與點F重合，進而猜想．【問題解決】(1)小亮對上面的猜想進行了證明，下面是部分證明過程：證明：四邊形是矩形，∴．由折疊可知，，．∴．∴．請你補全余下的證明過程．【結(jié)論應用】(2)的度數(shù)為________度，的值為_________；(3)在圖①的條件下，點P在線段上，且，點Q在線段上，連結(jié)、，如圖②，設(shè)，則的最小值為_________．（用含a的代數(shù)式表示）【答案】(1)見解析(2)22.5°，(3)【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AD=AF，，由HL可證明結(jié)論；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得證明是等腰直角三角形，可