中考數學復習滿分突破（全國通用）：專題18 矩形折疊問題（解析版）

專題18矩形折疊問題模型的概述：已知矩形的長與寬，利用勾股定理、相似三角形及翻折的性質，求各線段邊長。解題方法：不找以折痕為邊長的直角三角形，利用未知數表示其它直角三角形三邊，通過勾股定理/相似三角形知識求解。問題：根據已知信息，求翻折后各邊長。模型一：思路：模型二：思路：模型三：思路：嘗試借助一線三垂直知識利用相似的方法求解模型四：思路：模型五：思路：模型六：點M,點N分別為DC，AB中點思路：模型七：點A’為BC中點思路：過點F作FH⊥AE，垂足為點H設AE=A’E=x，則BE=8-x由勾股定理解得x=174∴BE=由于△EBA’∽△A’CG∽△FD’G∴A’G=3415CG=1615DF=D’F=AH=134【培優(yōu)過關練】1．（2022秋·山東青島·九年級統考期末）如圖，在正方形中，，點、分別在邊、上，若將四邊形沿折疊，點恰好落在邊上，則的長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據翻折的性質和正方形及勾股定理的有關性質求解．【詳解】解：在正方形中，，，，，，，，，又，，，，，故選：B．【點睛】本題考查了翻折及正方形的性質，勾股定理的應用是解題的關鍵．2．（2022秋·江蘇徐州·九年級?？茧A段練習）如圖，在矩形紙片中，點E在邊上，沿著折疊使點A落在邊上的點F處，若，，則的長為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】先根據折疊的性質和正切的定義得出，再證明，最后利用相似三角形的性質得出結論．【詳解】解：由折疊可知，，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，故選：A．【點睛】本題考查了矩形中的折疊問題，涉及三角函數，相似三角形判定與性質等知識，解題的關鍵是證明．3．（2022秋·福建泉州·九年級福建省惠安第一中學校聯考期中）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊在x軸上，邊在y軸上，點B的坐標為，將矩形沿對角線折疊，使點B落在D點的位置，且交y軸交于點E，則點D的坐標是（

）A．（） B．（，2） C．（） D．【答案】D【分析】過D作于F，根據折疊可以證明，然后利用全等三角形的性質得到，設，那么，利用勾股定理即可求出m，然后利用已知條件可以證明，而，接著利用相似三角形的性質即可求出、的長度，也就求出了點D的坐標．【詳解】如圖，過D作于F，∵點B的坐標為，∴，根據折疊可知，而∴，∴，設，那么，在中，，∴，

解得，∵，∴，∴而，∴，∴，即，∴，∴，∴D的坐標為，故選：D．【點睛】此題主要考查了圖形的折疊問題，也考查了坐標與圖形的性質，解題的關鍵是把握折疊的隱含條件，利用隱含條件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它們的性質即可解決問題．4．（2023春·廣東廣州·九年級專題練習）如圖，矩形紙片中，，，折疊紙片使落在對角線上，折痕為，點的對應點為，那么的長為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】首先設，由矩形紙片中，，，可求得的長，又由折疊的性質，可求得的長，然后由勾股定理可得方程：，解此方程即可解決問題．【詳解】解：設，∵四邊形是矩形，∴，∵，，∴，由折疊的性質可得：，，，∴，，，∵在中，，∴，解得：，∴．故選：C．【點睛】此題考查了折疊的性質、矩形的性質以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．5．（2022秋·湖南邵陽·九年級校聯考期中）如圖，在矩形紙片中，，點E在上，將沿折疊，點恰落在邊上的點F處；點在上，將△ABG沿折疊，點恰落在線段上的點處，有下列結論：①；②；③四邊形的面積等于；④．其中正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】利用折疊性質得，，，，，則可得到，于是可對①進行判斷；在中利用勾股定理計算出，則，設，利用勾股定理得到，得到，于是可對④進行判斷；接著證明，于是可對②進行判斷；根據可對③進行判斷．【詳解】解：∵沿折疊，點恰落在邊上的點處；點在上，將沿折疊，點恰落在線段上的點處，∴，，，，，，∴，所以①正確；在中，，∴，設，則，在中，∵，∴，解得，∴，∴，所以④正確；在中，，設，則∴解得∴∵，，∴．所以③不正確．∵，∴∴故②正確故選：C．【點睛】本題考查了矩形的折疊問題，勾股定理，相似三角形的性質與判定，掌握以上知識是解題的關鍵．6．（2022秋·廣東梅州·九年級?？茧A段練習）如圖，在矩形中，，，點E為的中點，將沿折疊，使點B落在矩形內點F處，連接，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，根據三角形的面積公式求出，得到，根據直角三角形的判定得到，根據勾股定理求出答案．【詳解】解：連接，交于H，∵，點E為的中點，∴，又∵，∴，由折疊知，（對應點的連線必垂直于對稱軸），∴，則，∵，∴，，∵，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查的是翻折變換的性質和矩形的性質，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵．7．（2022秋·廣西貴港·九年級統考期中）如圖，在矩形紙片中，，，M是上的點，且，將矩形紙片沿過點M的直線折疊，使點D落在上的點P處，點C落在點處，折痕為，當與線段交于點H時，則線段的長是（

）A．3 B． C．4 D．【答案】B【分析】連接，證明即可得到，證明，得出，然后列出關于x的方程，解方程即可．【詳解】解：連接，如圖所示：∵矩形紙片中，，，∴，，∵，∴，根據折疊可知，，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，設，則，∵，∴，解得：，∴，故B正確．故選：B．【點睛】本題考查矩形的折疊問題，解題的關鍵是看到隱藏條件，證明三角形全等，學會利用翻折不變性解決問題．8．（2022秋·山東棗莊·九年級?？计谥校┤鐖D，邊長為2的正方形的對角線與交于點O，將正方形沿直線折疊，點C落在對角線上的點E處，折痕交于點M，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意先求，再求，進而根據的線段比例關系，即可求出的長．【詳解】解：如圖，連接，∵四邊形是正方形，∴，，∴，由折疊的性質可知，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，即，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查圖形的翻折，熟練掌握圖形翻折的性質，正方形的性質，等腰直角三角形的性質及相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．9．（2022·遼寧營口·統考中考真題）如圖，在矩形中，點M在邊上，把沿直線折疊，使點B落在邊上的點E處，連接，過點B作，垂足為F，若，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=，從而可得AD=BC=，最后求得AE的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，∴∠DEC=∠FCB，∵，∴∠BFC=∠CDE，∵把沿直線折疊，使點B落在邊上的點E處，∴BC=EC，在△BFC與△CDE中，∴△BFC≌△CDE（AAS），∴DE=CF=2，∴，∴AD=BC=CE=，∴AE=AD-DE=，故選：A．【點睛】本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定和性質、折疊的性質，勾股定理的應用，解決本題的關鍵是熟練掌握矩形中的折疊問題．10．（2022·貴州畢節(jié)·統考中考真題）矩形紙片中，E為的中點，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長是（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】連接BF交AE于點G，根據對稱的性質，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=，根據E為BC中點，可證BE=CE=EF，通過等邊對等角可證明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函數（或相似）求出BF，則根據計算即可．【詳解】連接BF，與AE相交于點G，如圖，∵將沿折疊得到∴與關于AE對稱∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=∵點E是BC中點∴BE=CE=DF=∴∵∴∴∵BE=CE=DF∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=∴故選D【點睛】本題考查了折疊對稱的性質，熟練運用對稱性質證明相關線段相等是解題的關鍵．11．（2022·四川宜賓·統考中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點F，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據矩形的性質和折疊的性質，利用“AAS”證明，得出，，設，則，根據勾股定理列出關于x的方程，解方程得出x的值，最后根據余弦函數的定義求出結果即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，，根據折疊可知，，，，∴在△AFD和△EFB中，∴（AAS），∴，，設，則，在中，，即，解得：，則，∴，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，三角形全等的判定和性質，勾股定理，三角函數的定義，根據題意證明，是解題的關鍵．12．（2022·浙江湖州·統考中考真題）如圖，已知BD是矩形ABCD的對角線，AB＝6，BC＝8，點E，F分別在邊AD，BC上，連結BE，DF．將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，若翻折后，點A，C分別落在對角線BD上的點G，H處，連結GF．則下列結論不正確的是（

）A．BD＝10 B．HG＝2 C． D．GF⊥BC【答案】D【分析】根據矩形的性質以及勾股定理即可判斷A，根據折疊的性質即可求得，進而判斷B，根據折疊的性質可得，進而判斷C選項，根據勾股定理求得的長，根據平行線線段成比例，可判斷D選項【詳解】BD是矩形ABCD的對角線，AB＝6，BC＝8，故A選項正確，將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，，,故B選項正確，,∴EG∥HF，故C正確設，則，，即，同理可得若則，，不平行，即不垂直，故D不正確．故選D【點睛】本題考查了折疊的性質，矩形的性質，勾股定理，平行線分線段成比例，掌握以上知識是解題的關鍵．13．（2022·江蘇連云港·統考中考真題）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點A、B、D恰好都落在點O處，且點G、O、C在同一條直線上，同時點E、O、F在另一條直線上．小煒同學得出以下結論：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=DF；④OC=2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正確的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④【答案】B【分析】由折疊的性質知∠FGE=90°，∠GEC=90°，點G為AD的中點，點E為AB的中點，設AD=BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=，然后利用勾股定理再求得DF=FO=，據此求解即可．【詳解】解：根據折疊的性質知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=(∠DGO+∠AGO)=90°，同理∠GEC=90°，∴∠FGE+∠GEC=180°∴GF∥EC；故①正確；根據折疊的性質知DG=GO，GA=GO，∴DG=GO=GA，即點G為AD的中點，同理可得點E為AB的中點，設AD=BC=2a，AB=CD=2b，則DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，∴GC=3a，在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2，即(3a)2=a2+(2b)2，∴b=，∴AB=2=AD，故②不正確；設DF=FO=x，則FC=2b-x，在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，即(2b-x)2=x2+(2a)2，∴x==，即DF=FO=，GE=a，∴，∴GE=DF；故③正確；∴，∴OC=2OF；故④正確；∵∠FCO與∠GCE不一定相等，∴△COF∽△CEG不成立，故⑤不正確；綜上，正確的有①③④，故選：B．【點睛】本題主要考查了折疊問題，解題時，我們常常設要求的線段長為x，然后根據折疊和軸對稱的性質用含x的代數式表示其他線段的長度，選擇適當的直角三角形，運用勾股定理列出方程求出答案．14．（2021·廣西來賓·統考中考真題）如圖，矩形紙片，，點，分別在，上，把紙片如圖沿折疊，點，的對應點分別為，，連接并延長交線段于點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據折疊性質則可得出是的垂直平分線，則由直角三角形性質及矩形性質可得∠AEO=∠AGD，∠FHE＝∠D＝90°，根據相似三角形判定推出△EFH∽△GAD，再利用矩形判定及性質證得FH＝AB，即可求得結果．【詳解】解：如圖，過點F作FH⊥AD于點H，∵點，的對應點分別為，，∴，，∴EF是AA＇的垂直平分線．∴∠AOE=90°．∵四邊形是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．∴∠OAE＋∠AEO=∠OAE＋∠AGD，∴∠AEO=∠AGD．∵FH⊥AD，∴∠FHE＝∠D＝90°．∴△EFH∽△GAD．∴．∵∠AHF＝∠BAD＝∠B＝90°，∴四邊形ABFH是矩形．∴FH＝AB．∴；故選：A．【點睛】本題考查了矩形的折疊問題，掌握折疊的性質、矩形及相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．15．（2011·吉林長春·中考真題）如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B落在點F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長為()A．3 B．4C．5 D．6【答案】D【分析】先根據矩形的特點求出BC的長，再由翻折變換的性質得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的長，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8﹣3=5，在Rt△CEF中，CF==4，設AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，故選：D．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理，解題的關鍵是利用勾股定理建立等式求解．16．（2020·廣東深圳·統考中考真題）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=12．將紙片折疊，使點B落在邊AD的延長線上的點G處，折痕為EF，點E、F分別在邊AD和邊BC上．連接BG，交CD于點K,FG交CD于點H．給出以下結論：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK和△GKH的面積相等；④當點F與點C重合時，∠DEF=75°．其中正確的結論共有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由折疊的性質可得四邊形EBFG是菱形從而判斷①②正確;由角平分線定理即可判斷DG≠GH,由此推出③錯誤;根據F、C重合時的性質,可得∠AEB=30°,進而算出④正確．【詳解】連接BE,由折疊可知BO=GO，∵EG//BF，∴∠EGO=∠FBO，又∵∠EOG=∠FOB，∴△EOG≌△FOB(ASA)，∴EG=BF，∴四邊形EBFG是平行四邊形，由折疊可知BE=EG，則四邊形EBFG為菱形，故EF⊥BG，GE=GF，∴①②正確；∵四邊形EBFG為菱形，∴KG平分∠DGH，∴,DG≠GH，∴S△GDK≠S△GKH,故③錯誤；當點F與點C重合時，BE=BF=BC=12=2AB，∴∠AEB＝30°，，故④正確．綜合，正確的為①②④．故選C．【點睛】本題考查矩形的性質,菱形的判斷,折疊的性質,關鍵在于結合圖形對線段和角度進行轉換．17．（2020·內蒙古呼和浩特·中考真題）如圖，把某矩形紙片沿，折疊（點E、H在邊上，點F，G在邊上），使點B和點C落在邊上同一點P處，A點的對稱點為、D點的對稱點為，若，的面積為8，的面積為2，則矩形的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因為△A′EP的面積為4，△D′PH的面積為1，推出D′H＝x，由S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，可解得x=2，分別求出PE和PH，從而得出AD的長.【詳解】解：∵四邊形ABC是矩形，∴AB=CD，AD=BC，設AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，∵△A′EP的面積為8，△D′PH的面積為2，又∵，∠A′PF=∠D′PG=90°，∴∠A′PD′=90°，則∠A′PE+∠D′PH=90°，∴∠A′PE=∠D′HP，∴△A′EP∽△D′PH，∴A′P2：D′H2=8：2，∴A′P：D′H=2：1，∵A′P=x，∴D′H=x，∵S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，即，∴x=2（負根舍棄），∴AB=CD=2，D′H=DH=，D′P=A′P=CD=2，A′E=2D′P=4，∴PE=，PH=，∴AD==，故選D.【點睛】本題考查翻折變換，矩形的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．18．如圖，矩形紙片ABCD，AB=4，BC=3，點P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點C落在點E處，PE、DE分別交AB于點O、F，且OP=OF，則cos∠ADF的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據折疊的性質可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=OF可得出△OEF≌△OBP（AAS），根據全等三角形的性質可得出OE=OB、EF=BP，設EF=x，則BP=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x，進而可得出AF=1+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定義即可求出cos∠ADF的值．【詳解】根據折疊，可知：△DCP≌△DEP，∴DC=DE=4，CP=EP．在△OEF和△OBP中，，∴△OEF≌△OBP（AAS），∴OE=OB，EF=BP．設EF=x，則BP=x，DF=DE﹣EF=4﹣x，又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，∴AF=AB﹣BF=1+x．在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2，解得：x=，∴DF=4﹣x=，∴cos∠ADF=，故選C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理結合AF=1+x，求出AF的長度是解題的關鍵．19．（2022·山東泰安·統考中考真題）如圖，四邊形為正方形，點E是的中點，將正方形沿折疊，得到點B的對應點為點F，延長交線段于點P，若，則的長度為___________．【答案】2【分析】連接AP，根據正方形的性質和翻折的性質證明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，設PF＝PD＝x，則CP＝CD?PD＝6?x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根據勾股定理即可解決問題．【詳解】解：連接AP，如圖所示，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵點E是BC的中點，∴BE＝CE＝AB＝3，由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，在Rt△AFP和Rt△ADP中，，∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），∴PF＝PD，設PF＝PD＝x，則CP＝CD?PD＝6?x，EP＝EF＋FP＝3＋x，在Rt△PEC中，根據勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，∴（3＋x）2＝32＋（6?x）2，解得x＝2，則DP的長度為2，故答案為：2．【點睛】本題考查了翻折變換，正方形的性質，勾股定理，解決本題的關鍵是掌握翻折的性質．20．（2022·貴州黔東南·統考中考真題）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片，折痕是，點落在點處，分別延長、交于點、，若點是邊的中點，則______cm．【答案】##【分析】根據折疊的性質可得DE=DC=4，EM=CM=2，連接DF，設FE=x，由勾股定理得BF，DF，從而求出x的值，得出FB，再證明，利用相似三角形對應邊成比例可求出FG．【詳解】解：連接如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∵點M為BC的中點，∴由折疊得，∠∴∠，設則有∴又在中，，∵∴∴在中，∴解得，（舍去）∴∴∴∵∠∴∠∴∠又∠∴△∴即∴故答案為：【點睛】本題主要考查了正方形的性質，折疊的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．21．（2022·浙江麗水·統考中考真題）如圖，將矩形紙片折疊，使點B與點D重合，點A落在點P處，折痕為．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)cm【分析】（1）利用ASA證明即可；（2）過點E作EG⊥BC交于點G，求出FG的長，設AE=xcm，用x表示出DE的長，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，由折疊知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF=∠ADC，∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,∴∠PDE=∠CDF，在△PDE和△CDF中，,∴（ASA）；（2）如圖，過點E作EG⊥BC交于點G，∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD=EG=4cm，又∵EF=5cm，∴cm,設AE=xcm，∴EP=xcm，由知，EP=CF=xcm，∴DE=GC=GF+FC=3+x，在Rt△PED中，,即，解得，，∴BC=BG+GC=(cm）．【點睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，根據翻折變換的性質將問題轉化到直角三角形中利用勾股定理是解題的關鍵．22．（2022·河南·統考中考真題）綜合與實踐綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動．(1)操作判斷操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內部點M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據以上操作，當點M在EF上時，寫出圖1中一個30°的角：______．(2)遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ．①如圖2，當點M在EF上時，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數量關系，并說明理由．(3)拓展應用在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當FQ＝1cm時，直接寫出AP的長．【答案】(1)或或或(2)①15，15；②，理由見解析(3)cm或【分析】（1）根據折疊的性質，得，結合矩形的性質得，進而可得；（2）根據折疊的性質，可證，即可求解；（3）由（2）可得，分兩種情況：當點Q在點F的下方時，當點Q在點F的上方時，設分別表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解．（1）解：，sin∠BME=（2）∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°由折疊性質得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°∴BM=BC①∴②（3）當點Q在點F的下方時，如圖，，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)由（2）可知，設，即解得：∴；當點Q在點F的上方時，如圖，cm，DQ=3cm，由（2）可知，設，即解得：∴．【點睛】本題主要考查矩形與折疊，正方形的性質、勾股定理、三角形的全等，掌握相關知識并靈活應用是解題的關鍵．23．（2022·吉林長春·統考中考真題）【探索發(fā)現】在一次折紙活動中，小亮同學選用了常見的A4紙，如圖①，矩形為它的示意圖．他查找了A4紙的相關資料，根據資料顯示得出圖①中．他先將A4紙沿過點A的直線折疊，使點B落在上，點B的對應點為點E，折痕為；再沿過點F的直線折疊，使點C落在上，點C的對應點為點H，折痕為；然后連結，沿所在的直線再次折疊，發(fā)現點D與點F重合，進而猜想．【問題解決】(1)小亮對上面的猜想進行了證明，下面是部分證明過程：證明：四邊形是矩形，∴．由折疊可知，，．∴．∴．請你補全余下的證明過程．【結論應用】(2)的度數為________度，的值為_________；(3)在圖①的條件下，點P在線段上，且，點Q在線段上，連結、，如圖②，設，則的最小值為_________．（用含a的代數式表示）【答案】(1)見解析(2)22.5°，(3)【分析】（1）根據折疊的性質可得AD=AF，，由HL可證明結論；（2）根據折疊的性質可得證明是等腰直角三角形，可