相似三角形專題復習學生版

相似三角形知識點與經(jīng)典題型知識點1有關(guān)相似形的概念(1)形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡單的是相似三角形.(2)如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，這兩個多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對應邊長度的比叫做相似比(相似系數(shù))．知識點2比例線段的相關(guān)概念（1）如果選用同一單位量得兩條線段的長度分別為，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗桑ⅲ涸谇缶€段比時，線段單位要統(tǒng)一。（2）在四條線段中，如果的比等于的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．注：=1\*GB3①比例線段是有順序的，如果說是的第四比例項，那么應得比例式為：．=2\*GB3②a、d叫比例外項，b、c叫比例內(nèi)項,a、c叫比例前項，b、d叫比例后項，d叫第四比例項，如果b=c，即那么b叫做a、d的比例中項，此時有。（3）黃金分割：把線段分成兩條線段，且使是的比例中項，即，叫做把線段黃金分割，點叫做線段的黃金分割點，其中≈0.618．即簡記為：注：黃金三角形：頂角是360的等腰三角形。黃金矩形：寬與長的比等于黃金數(shù)的矩形知識點3比例的性質(zhì)（注意性質(zhì)立的條件：分母不能為0）（1）基本性質(zhì)：①；②．注：由一個比例式只可化成一個等積式，而一個等積式共可化成八個比例式，如，除了可化為，還可化為，，，，，，．（2）更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項或外項)：（3）反比性質(zhì)(把比的前項、后項交換)：．（4）合、分比性質(zhì)：．注：實際上，比例的合比性質(zhì)可擴展為：比例式中等號左右兩個比的前項，后項之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：等等．（5）等比性質(zhì)：如果，那么．注：①此性質(zhì)的證明運用了“設(shè)法”（即引入新的參數(shù)k）這樣可以減少未知數(shù)的個數(shù)，這種方法是有關(guān)比例計算變形中一種常用方法．②應用等比性質(zhì)時，要考慮到分母是否為零．③可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個比的前項與后項同時乘以一個數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立．如：；其中．知識點4比例線段的有關(guān)定理1.三角形中平行線分線段成比例定理:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例.由DE∥BC可得：注：①重要結(jié)論：平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例.②三角形中平行線分線段成比例定理的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊.此定理給出了一種證明兩直線平行方法,即：利用比例式證平行線.③平行線的應用：在證明有關(guān)比例線段時，輔助線往往做平行線,但應遵循的原則是不要破壞條件中的兩條線段的比及所求的兩條線段的比.2.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對應線段成比例.已知AD∥BE∥CF,可得等.注：平行線分線段成比例定理的推論：平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行線所截，如果在其中一條上截得的線段相等，那么在另一條上截得的線段也相等。知識點5相似三角形的概念對應角相等，對應邊成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符號“∽”表示，讀作“相似于”．相似三角形對應邊的比叫做相似比(或相似系數(shù))．相似三角形對應角相等，對應邊成比例．注：①對應性：即兩個三角形相似時，一定要把表示對應頂點的字母寫在對應位置上，這樣寫比較容易找到相似三角形的對應角和對應邊．②順序性：相似三角形的相似比是有順序的．③兩個三角形形狀一樣，但大小不一定一樣．=4\*GB3④全等三角形是相似比為1的相似三角形．二者的區(qū)別在于全等要求對應邊相等，而相似要求對應邊成比例．(4)如圖：∠1=∠2，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。2、幾種基本圖形的具體應用：（1）若DE∥BC（A型和X型）則△ADE∽△ABC（2）射影定理若CD為Rt△ABC斜邊上的高（雙直角圖形）則Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；（3）滿足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．（4）當或AD·AB=AC·AE時，△ADE∽△ACB．知識點9全等與相似的比較：三角形全等三角形相似兩角夾一邊對應相等(ASA)

兩角一對邊對應相等(AAS)

兩邊及夾角對應相等(SAS)

三邊對應相等(SSS)

直角三角形中一直角邊與斜邊對應相等(HL)相似判定的預備定理

兩角對應相等

兩邊對應成比例，且夾角相等

三邊對應成比例

直角三角形中斜邊與一直角邊對應成比例知識點10相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形對應角相等，對應邊成比例．(2)相似三角形對應高的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比．(3)相似三角形周長的比等于相似比．(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方．注：相似三角形性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等，也可用來計算周長、邊長等．知識點11相似三角形中有關(guān)證（解）題規(guī)律與輔助線作法

1、證明四條線段成比例的常用方法：

(1)線段成比例的定義(2)三角形相似的預備定理(3)利用相似三角形的性質(zhì)(4)利用中間比等量代換(5)利用面積關(guān)系

2、證明題常用方法歸納：（1）總體思路:“等積”變“比例”，“比例”找“相似”

(2)找相似：通過“橫找”“豎看”尋找三角形，即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r候一共各有三個不同的字母，并且這幾個字母不在同一條直線上，能夠組成三角形，并且有可能是相似的，則可證明這兩個三角形相似，然后由相似三角形對應邊成比例即可證的所需的結(jié)論.

(3)找中間比：若沒有三角形(即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r候一共有四個字母或者三個字母，但這幾個字母在同一條直線上)，則需要進行“轉(zhuǎn)移”(或“替換”)，常用的“替換”方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代換.即：找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來。①②③(4)添加輔助線：若上述方法還不能奏效的話，可以考慮添加輔助線(通常是添加平行線)構(gòu)成比例.以上步驟可以不斷的重復使用，直到被證結(jié)論證出為止.注：添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。平面直角坐標系中通常是作垂線（即得平行線）構(gòu)造相似三角形或比例線段。（5）比例問題：常用處理方法是將“一份”看著k;對于等比問題，常用處理辦法是設(shè)“公比”為k。（6）．對于復雜的幾何圖形，通常采用將部分需要的圖形（或基本圖形）“分離”出來的辦法處理。知識點12相似多邊形的性質(zhì)(1)相似多邊形周長比，對應對角線的比都等于相似比．(2)相似多邊形中對應三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比．(3)相似多邊形面積比等于相似比的平方．注意：相似多邊形問題往往要轉(zhuǎn)化成相似三角形問題去解決，因此，熟練掌握相似三角形知識是基礎(chǔ)和關(guān)鍵．知識點13位似圖形有關(guān)的概念與性質(zhì)及作法1.如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應頂點的連線都交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形.2.這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比.注：（1）位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點.（2）位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.（3）位似圖形的對應邊互相平行或共線.3.位似圖形的性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比.注：位似圖形具有相似圖形的所有性質(zhì).4.畫位似圖形的一般步驟：（1）確定位似中心（位似中心可以是平面中任意一點）（2）分別連接原圖形中的關(guān)鍵點和位似中心，并延長（或截?。?（3）根據(jù)已知的位似比，確定所畫位似圖形中關(guān)鍵點的位置.（4）順次連結(jié)上述得到的關(guān)鍵點，即可得到一個放大或縮小的圖形.①②③④⑤注：①位似中心可以是平面內(nèi)任意一點，該點可在圖形內(nèi)，或在圖形外，或在圖形上（圖形邊上或頂點上）。②外位似：位似中心在連接兩個對應點的線段之外，稱為“外位似”（即同向位似圖形）③內(nèi)位似：位似中心在連接兩個對應點的線段上，稱為“內(nèi)位似”（即反向位似圖形）（5）在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點O為位似中心，相似比為k（k>0）,原圖形上點的坐標為（x,y）,那么同向位似圖形對應點的坐標為(kx,ky),反向位似圖形對應點的坐標為(-kx,-ky),經(jīng)典例題透析類型一、相似三角形的概念

1．判斷對錯：

(1)兩個直角三角形一定相似嗎？為什么？

(2)兩個等腰三角形一定相似嗎？為什么？

(3)兩個等腰直角三角形一定相似嗎？為什么？

(4)兩個等邊三角形一定相似嗎？為什么？

(5)兩個全等三角形一定相似嗎？為什么？

舉一反三

【變式1】兩個相似比為1的相似三角形全等嗎？

【變式2】下列能夠相似的一組三角形為()

A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形D.所有的一邊和這邊上的高相等的三角形

類型二、相似三角形的判定

2．如圖所示，已知中，E為AB延長線上的一點，AB=3BE，DE與BC相交于F，請找出圖中各對相似三角形，并求出相應的相似比.

3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，則△ABC和△EDF相似嗎？為什么？

如圖所示，點D在△ABC的邊AB上，滿足怎樣的條件時，△ACD與△ABC相似？試分別加以列舉.

舉一反三

【變式1】已知：如圖正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP=3PC，Q是CD的中點．求證：△ADQ∽△QCP．

【變式2】如圖，弦和弦相交于內(nèi)一點，求證：.

【變式3】已知：如圖，AD是△ABC的高，E、F分別是AB、AC的中點．求證：△DFE∽△ABC．

類型三、相似三角形的性質(zhì)

5．△ABC∽△DEF，若△ABC的邊長分別為5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一邊的長度，你能求出△DEF的另外兩邊的長度嗎？試說明理由.

如圖所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC中，且長邊FG在BC上，矩形相鄰兩邊的比為1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面積.

舉一反三【變式1】△ABC中，DE∥BC，M為DE中點，CM交AB于N，若，求.

類型四、相似三角形的應用

7．如圖，我們想要測量河兩岸相對應兩點A、B之間的距離(即河寬)，你有什么方法？

舉一反三【變式1】如圖：小明欲測量一座古塔的高度，他站在該塔的影子上前后移動，直到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時他距離該塔18m，已知小明的身高是1.6m，他的影長是2m．

(1)圖中△ABC與△ADE是否相似?為什么?

(2)求古塔的高度．

【變式2】已知：如圖，陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下1.5m寬的亮區(qū)DE.亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高BC？

類型五、相似三角形的周長與面積

8．已知：如圖，在△ABC與△CAD中，DA∥BC，CD與AB相交于E點，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F點，△ADE的面積為1，求△BCE和△AEF的面積．

舉一反三

【變式1】有同一三角形地塊的甲、乙兩地圖，比例尺分別為1∶200和1∶500，求：甲地圖與乙地圖的相似比和面積比.

【變式2】如圖，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P點在AC上(與點A、C不重合)，Q點在BC上．

(1)當△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時，求CP的長；

(2)當△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求CP的長；

類型六、綜合探究

9．如圖，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一動點(不與A