第42講 三角函數(shù)之放縮法（解析版）

第42講三角函數(shù)之放縮法1．已知函數(shù).(1)設且，求函數(shù)的最小值；(2)當，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）通過求導來判斷函數(shù)的單調性進而求出最值；（2）構造新函數(shù)，轉化為證明新函數(shù)的最小值大于等于0即可.(1)，又，又，，當時，，，當時，，，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減的最小值為；(2)不等式等價于，令，令，，又，，，所以函數(shù)在上單調遞增，又，，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，又，，所以原不等式成立.2．已知，，．（1）若，證明：；（2）對任意都有，求整數(shù)的最大值．【答案】（1）證明見解析；（2）2．【解析】【分析】（1）利用二次求導求得存在唯一零點，使得，在上恒成立上可以證明在定義域上的單調性，可知，便可證明結論.（2）先判斷整數(shù)可知，接著證明在區(qū)間上恒成立即可可出結論.【詳解】解：（1）證明：設，，則．因為，且則在，單調遞減，，所以存在唯一零點，使得則在時單調遞增，在上單調遞減又，所以在上恒成立上，所以在單調遞增則，即，所以．（2）因為對任意的，即恒成立令，則由（1）知，所以由于為整數(shù)，則因此下面證明，在區(qū)間上恒成立即可.由（1）知，則故設，，則，所以在上單調遞減，所以，所以在上恒成立.綜上所述,的最大值為2．3．已知函數(shù)，其中為實數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．是的導數(shù)．（1）試討論的極值點；（2）①若，證明：當時，恒成立；②當時，恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）①證明見解析；②，．【解析】【分析】（1）求得，對進行分類討論，由此求得的極值點.（2）①構造函數(shù)，利用導數(shù)證得，由此證得.②構造函數(shù)，結合對進行分類討論，利用導數(shù)研究的單調性、最值.由此求得的取值范圍.【詳解】（1），則，當時，，單調遞增，無極值點，當時，令，則，令，則，單調遞增，令，則，單調遞減，的極小值點為，無極大值點，綜上：當時，無極值點，當時，的極小值點為，無極大值點．（2）①證明：當時，設，，則，故在，上單調遞增，故當時，，故在，上單調遞增，故當時，，故當時，恒成立．②設，則，且，則，且，，，，則在，上單調遞增，當時，，由于在，上單調遞增，則當時，，則在，上單調遞增，故，則在，上單調遞增，故，符合題意，當時，，利用（1）中已證結論可得由于在，上單調遞增，，故必然存在，使得時，，則在上單調遞減，故當時，，則在上單調遞減，則當時，，綜上，的取值范圍為，．【點睛】利用導數(shù)證明不等式，可利用構造函數(shù)法，結合導數(shù)來研究所構造函數(shù)的單調性、最值，由此來證得不等式成立.4．已知函數(shù)，其中為的導數(shù)．（1）若為定義域內的單調遞減函數(shù)，求a的取值范圍；（2）當時，記，求證：當時，恒成立．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出，要使為定義域內的單調減函數(shù)，需滿足，即，令，求的最大值可得答案；（2）當時，轉化為，當時，，而可得答案；當時，令，利用導數(shù)判斷出在上單調遞增可得答案．【詳解】（1）因為，所以，要使為定義域內的單調減函數(shù)，需滿足，即，令，，由且函數(shù)在上單調遞減，又，所以在上單調遞增，在上單調遞減，知的最大值為，所以當時，在定義域內單調減函數(shù)．綜上，a的取值范圍是．（2）當時，，，要，即證，當時，，而，所以成立，當時，令，則，記，則，所以當時，單調遞增，，即，所以在上單調遞增，所以，即有成立．綜上，對任意，恒有成立．5．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）若，求實數(shù)的值；（2）證明：．【答案】（1）1；（2）證明見解析；【解析】【分析】（1），令，，則等價于，對任意恒成立，令，可知當時不恒成立；當時，利用導數(shù)求其最大值，由最大值等于0求得值；（2）由（1）知，當時，，即，可得，把問題轉化為證明，即證：，構造函數(shù)，再由導數(shù)證明即可．【詳解】（1）解：，令，．則等價于，對任意恒成立，令，當時，，與恒成立矛盾，不合題意；當時，，，與恒成立矛盾，不合題意；當時，，在上遞減，在上遞增，的最小值為．令，則，知在上遞增，在上遞減，，要使，當且僅當．綜上，實數(shù)的值為1；（2）證明：由（1）知，當時，，即，，下面證明，即證：．令，．當時，顯然單調遞增，，在，上單調遞減，，當時，顯然，即．故對一切，都有，即．故原不等式成立．【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查化歸與轉化思想方法，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬難題．6．已知.（1）當有兩個零點時，求a的取值范圍；（2）當，時，設，求證：.【答案】（1）或；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）化簡，根據(jù)題意得有一個非零實根，設，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性和極值，結合函數(shù)的值的變化趨勢，即可求解；（2）化簡，根據(jù)題意轉化為，令，得到新函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性與最小值，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)因為有兩個零點，又因為時，解得，所以當有一個非零實根，設，可得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以當時，函數(shù)取得最小值，最小值為，又由，時，；時，，所以或，即實數(shù)a的取值范圍是.（2）由題意，可得，要證，即證，令，令，可得，令，即，解得；令，即，解得，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，即.【點睛】利用導數(shù)證明不等式問題：（1）直接構造法：證明不等式轉化為證明，進而構造輔助函數(shù)；（2）適當放縮構造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數(shù)，變形再構造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結構構造輔助函數(shù).7．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)在上的單調性；（2）若，求證：當時，.【答案】（1）單調遞減；（2）證明見解析【解析】（1）求導得到，令，證明在上恒成立，得到答案.（2）先證明當時，，再證明當時，，得到答案.【詳解】（1），令，則，故當時，，當時，，故，故在上恒成立，故，即函數(shù)在上單調遞減.（2）依題意，.下面證明：①當時，；②當時，；，則，所以在上單調遞增，，則，又，則，令，則，由，得的極小值點為，若，則，則，故，若，即，則在上單調遞減，故.綜上所述，當時，，則，即.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，考查推理論證能力以及函數(shù)與方程思想.8．已知函數(shù)（）（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）當時，判斷函數(shù)的單調性；（2）若，證明對于任意的恒成立.【答案】（1）增函數(shù)；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出導函數(shù)，令，再求導，求得的最小值可證；（2）先證對任意，，然后利用不等式的性質證明時，不等式成立.【詳解】解：（1）當時，，，設，則，令，得，所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以，即對任意恒成立，所以函數(shù)為增函數(shù)；（2）先證對任意，.令，，.令，得，所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以，所以，所以在上單調遞增，所以，所以，，當時，，即對于任意的恒成立.9．（1）當時，求證：；（2）若對于任意的恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；（3）設a>0，求證；函數(shù)在上存在唯一的極大值點，且.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析【解析】（1）構造函數(shù)，轉化為函數(shù)的最值問題求解；（2）設，則，分，討論，通過研究的最小值求解；（3）求得，令得到，通正切函數(shù)的性質可得函數(shù)單調性，進而可得極值點．將證明轉化為證明，令，則，即證，即證，構造函數(shù)利用導數(shù)求其最值即可．【詳解】（1）證明：設，則，從而在為增函數(shù)．所以，故當時，成立；（2）解：設，則，考慮到當時，，（?。┊敃r，，則在上為增函數(shù)，從而，此時適合題意．（ⅱ）當時，，則當時，，從而在上是減函數(shù)，所以當時，，這與“當時，恒成立”矛盾．故此時不適合題意．由（?。áⅲ┑盟髮崝?shù)的取值范圍為．（3）證明：，令，得，當時，可化為，由正切函數(shù)的性質及，得在內必存在唯一的實數(shù)，使得，所以當時，，則在上為增函數(shù)：當時，，則在上為減函數(shù)，所以是的極大值點．且的極大值為．下面證明：．當時，由（1）知，由（2）易證．所以，從而．下面證明：．令，則，即證，即證．令，則，從而在上為增函數(shù)，所以當，，即．故成立．【點睛】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，再由單調性來證明不等式是函數(shù)、導數(shù)、不等式綜合中的一個難點，解題技巧是構造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結構特征構造一個可導函數(shù)是用導數(shù)證明不等式的關鍵.10．已知x為正實數(shù)（1）比較與的大小；（2）若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）求證:．【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．【解析】【分析】（1）作差構造函數(shù)，證明即可；（2）作差可得，對分兩種情況討論，即可得答案；（3）利用（1）（2）的結論，結合兩個常用的不等式，即可得證；【詳解】（1）令，在恒成立，在單調遞增，且，在恒成立，在單調遞增，且，在恒成立，.（2）令，在恒成立，，，當，即時，，在單調遞增，在恒成立，且，在單調遞增，且，在恒成立，.當時，即，，，在單調遞減，且，在恒成立，在單調遞減，且，在恒成立，這與已知矛盾，舍去.綜上所述：.（3）由（1）（2）可得：當時，，，只要證，令，，，遞增，在遞減，且恒成立，，令，，，在遞增，在遞減，且，，，，，，.【點睛】本題考查構造函數(shù)利用導數(shù)證明不等式和比較大小、利用不等式的恒成立求參數(shù)的取值范圍，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.11．已知函數(shù)，（且，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）討論函數(shù)的單調性；（2）當時，恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）【解析】【分析】（1）由，求導得到，再分和討論求解.（2）由時，根據(jù)，得到．然后令，求導，分和討論求解.【詳解】（1）易知①若，則當時，，當時，，②若，則當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減．（2）當時，，即，所以．令，則，，若，則當時，，所以在上單調遞增；當時，，所以當時，單調遞增，所以．若，則，，由得，所以，所以，使得，且當時，，所以在上單調遞減，所以當時，，不合題意．綜上，a的取值范圍為．【點睛】本題主要考查導數(shù)與函數(shù)的單調性，導數(shù)與不等式恒成立以及零點存在定理，還考查了分類討論思想，運算求解的能力，屬于難題.12．（Ⅰ）證明：當時，；（Ⅱ）若不等式對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】試題分析：（Ⅰ）記，可證在上是減函數(shù)，得，記，可在上是減函數(shù)，，故可得結論；（Ⅱ）反證法，先證當時，不等式對不恒成立，即存在，即可.【詳解】試題解析：（Ⅰ）記，則.當時，F(xiàn)′(x)＞0，F(xiàn)(x)在上是增函數(shù)；當時，F(xiàn)′(x)＜0，F(xiàn)(x)在上是減函數(shù)．∵F(0)＝0，F(xiàn)(1)＞0，∴當x∈[0，1]時，F(xiàn)(x)≥0，即.記H(x)＝sinx－x，則當x∈(0，1)時，H′(x)＝cosx－1＜0，∴H(x)在[0，1]上是減函數(shù)，∴H(x)≤H(0)＝0，即sinx≤x．綜上，．（Ⅱ）∵當x∈[0，1]時.∴當a≤－2時，不等式對x∈[0，1]恒成立．下面證明：當a＞－2時，不等式對x∈[0，1]不恒成立．.∴存在x0∈(0，1)（例如x0取和中的較小者）滿足，即當a＞－2時，不等式對x∈[0，1]不恒成立．綜上，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]．考點：1、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及最值；2、利用導數(shù)證明不等式及不等式恒成立問題．【點睛】本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調性積最值以、不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結合；③討論最值或恒成立；④直接討論參數(shù).本題是利用方法④求得的取值范圍的.13．（I）證明當（II）若不等式取值范圍.【答案】（I）見解析（II）【解析】【詳解】（I）令，即為增函數(shù)，即為減函數(shù)，故，為減函數(shù)，（II）下面證明，綜上直接移項構造函數(shù)，比較容易想到，但是求出導函數(shù)后又變得無從下手，這時候需要二次求導分析來解決．兩種解法各有特點．第二問主要是在第一問的基礎上利用不等式進行適當?shù)姆趴s，轉化為另一個函數(shù)進行分析解答．【考點定位】本題考查函數(shù)與導數(shù)，導數(shù)與不等式的綜合應用．14．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的零點個數(shù)；（2）證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）先求導，令導數(shù)為0，得，分析導數(shù)在定義域內的增減性知時，函數(shù)有極小值，再分類討論極值點處的正負，結合零點存在定理判斷即可；（2）結合（1）知當時，，要證，需證，即證，再分段在時和時，結合導數(shù)分類討論即可證明【詳解】（1）解：因為，所以.令，得；令，得.所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，.當時，，有且只有一個零點；當時，，沒有零點；當時，，，所以在上有唯一的零點，又，所以在上有唯一的零點.綜上所述，當時，有且只有一個零點；當時，沒有零點；當時，有兩個零點.（2）證明：由（1）知，當時，，即.要證，需證，需證，即證.設.當時，.當時，，令，則.再令，則，所以在上為增函數(shù)，，所以在上為增函數(shù)，，所以在上為增函數(shù)，.故成立.【點睛】本題考查利用導數(shù)討論函數(shù)的零點個數(shù)，證明函數(shù)不等式恒成立問題，屬于難題，討論零點個數(shù)，常用以下基本步驟：①利用導數(shù)判斷函數(shù)的增減區(qū)間；②求出函數(shù)極值點；③判斷（討論）函數(shù)極值與零點個數(shù)關系.對于函數(shù)不對等式的證明，常采用放縮法，如本題中，證明不等式恒成立的問題關鍵在于不等式的等價轉化.15．已知函數(shù)，.(1)若，求的取值范圍；(2)當時，證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)對