導數(shù)在研究函數(shù)中的應用

導數(shù)在研究函數(shù)中的應用與生活中的優(yōu)化問題舉例1．函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系：如果

，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果

，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；如果

，那么f(x)在這個區(qū)間內(nèi)為常數(shù)．f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＝0[思考探究]

1.若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f′(x)＞0嗎？f′(x)＞0是否是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增的充要條件？提示：

函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，則f′(x)≥0，f′(x)＞0是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件．2．函數(shù)的極值與導數(shù)(1)函數(shù)的極小值函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側(cè)

，右側(cè)

，則點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．f′(x)＜0f′(x)＞0(2)函數(shù)的極大值函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近的其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側(cè)

，右側(cè)

，則點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．極小值點，極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．f′(x)＞0f′(x)＜03．函數(shù)的最值(1)如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條

的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的

．②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與

比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．連續(xù)不斷極值端點處的函數(shù)值f(a)、f(b)[思考探究]

2.極值點一定是最值點這句話對嗎？提示：

函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點附近的情況，是在局部對函數(shù)值的比較；函數(shù)的最值是表示函數(shù)在一個區(qū)間上的情況，是對函數(shù)在整個區(qū)間上的函數(shù)值的比較．函數(shù)的極值不一定是最值，最值點也不一定是極值點．答案：

B2．若函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3時取得極值，則a等于(

)A．2

B．3

C．4

D．5解析：

∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f′(－3)＝0，∴a＝5.答案：

D3．函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點的個數(shù)為(

)A．1 B．2C．3 D．4解析：從f′(x)的圖象可知f(x)在(a，b)內(nèi)從左到右的單調(diào)性依次為增→減→增→減，∴在(a，b)內(nèi)有一個極小值點．答案：

A4．(2011·廣東卷)函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________處取得極小值．解析：由f(x)＝x3－3x2＋1得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，當x∈(0，2)時，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，當x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上為增函數(shù)，故當x＝2時，函數(shù)f(x)取得極小值．答案：

25．(2011·福建廈門外國語學校高三月考)函數(shù)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值，最小值分別是________．解析：令f′(x)＝6x2－6x－12＝0，得x＝－1或x＝2.又x∈[0，3]，∴x＝2.∵f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，∴函數(shù)的最大值為5，最小值為－15.答案：

5，－15(2011·福建卷)已知a，b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2.(e＝2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))(1)求實數(shù)b的值．(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．解析：

(1)由f(e)＝2得b＝2.(2)由(1)可得f(x)＝－ax＋2＋axlnx，從而f′(x)＝alnx.因為a≠0，故：①當a＞0時，由f′(x)＞0得x＞1；由f′(x)＜0得0＜x＜1；②當a＜0時，由f′(x)＞0得0＜x＜1；由f′(x)＜0得x＞1.綜上，當a＞0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)；當a＜0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)．

求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟是：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導數(shù)f′(x)；(3)由f′(x)>0(或<0)解出相應的x的取值范圍．當f′(x)>0時，f(x)在相應的區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；當f′(x)<0時，f(x)在相應的區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)．還可以通過列表，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x1＝－2，x2＝1.當x∈(－∞，－2)時，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上為增函數(shù)；當x∈(－2，1)時，f′(x)<0，故f(x)在(－2，1)上為減函數(shù)；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)．從而函數(shù)f(x)在x1＝－2處取得極大值f(－2)＝21，在x2＝1處取得極小值f(1)＝－6.求可導函數(shù)f(x)極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導數(shù)f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0的根；(4)檢驗f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近f′(x)>0，右側(cè)附近f′(x)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近f′(x)<0，右側(cè)附近f′(x)>0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個根處取得極小值．2.已知函數(shù)y＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2處有極值，且其圖象在x＝1處的切線與直線6x＋2y＋5＝0平行．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)的極大值與極小值的差．(2)由(1)可知函數(shù)在x＝0時取得極大值c，在x＝2時取得極小值c－4，∴函數(shù)的極大值與極小值的差為c－(c－4)＝4.(2011·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值．解析：

(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)與f′(x)的變化情況如下：所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，k－1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k－1，＋∞)．x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)

－ek－1

(2)當k－1≤0，即k≤1時，函數(shù)f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值為f(0)＝－k；當0<k－1<1，即1<k<2時，由(1)知f(x)在[0，k－1)上單調(diào)遞減，在(k－1，1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值為f(k－1)＝－ek－1；當k－1≥1，即k≥2時，函數(shù)f(x)在[0，1]上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值為f(1)＝(1－k)e.函數(shù)的最大(小)值是在函數(shù)極大(小)值基礎上的發(fā)展．從函數(shù)圖象上可以直觀地看出：如果在閉區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值，只要把函數(shù)y＝f(x)的所有極值連同端點處的函數(shù)值進行比較，就可以求出函數(shù)的最大(小)值．于是，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3，6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點．所以，當x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．x(3，4)4(4，6)f′(x)＋0－f(x)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題時：(1)既要注意將問題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系表示，還要注意確定出函數(shù)關(guān)系式中自變量的定義區(qū)間．(2)一定要注意求得結(jié)果的實際意義，不符合實際的值應舍去．(3)如果目標函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么根據(jù)實際意義該極值點就是最值點．4.某銀行準備新設一種定期存款業(yè)務，經(jīng)預測：存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)，貨款的利率為4.8%，且銀行吸收的存款能全部放貸出去，試確定當存款利率定為多少時，銀行可獲取最大收益？解析：設存款利率為x，則應有x∈(0，0.048)，依題意：存款量是kx2，銀行應支付的利息是kx3，貨款的收益是0.048kx2，所以銀行的收益是y＝0.048kx2－kx3.由于y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0，得x＝0.032或x＝0(舍去)，又當0<x<0.032時，y′>0；當0.032<x<0.048時，y′<0，所以當x＝0.032時，y取得最大值，即當存款利率定為3.2%時，銀行可獲得最大收益．列表分析：可知h(x)在x＝1處有一個最小值0，當x>0且x≠1時，h(x)>0，∴h(x)＝0在(0，＋∞)上只有一個解．即當x>0時，方程f(x)＝g(x)＋2有唯一解．x(0，1)1(1，＋∞)h′(x)－0＋h(x)遞減極小值遞增研究方程的根的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，并借助函數(shù)的大致圖象判斷方程根的情況，這是導數(shù)這一工具在研究方程中的重要應用．將方程、不等式等有關(guān)知識和導數(shù)結(jié)合的綜合性問題主要考查綜合運用有關(guān)知識分析問題、解決問題的能力．5.已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax，(1)設曲線y＝f(x)在x＝1處的切線與直線x＋(e－1)y＝1垂直，求a的值；(2)若對于任意實數(shù)x≥0，f(x)>0恒成立，試確定實數(shù)a的取值范圍．當x∈(0，1)時，Q′(x)>0，則Q(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，當x∈(1，＋∞)時，Q′(x)<0，則Q(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．∴當x＝1時，Q(x)取得最大值．Q(x)max＝Q(1)＝－e，∴要使x≥0時，f(x)>0恒成立，a的取值范圍為(－e，＋∞)．1．可導函數(shù)極值存在的條件(1)可導函數(shù)的極值點x0一定滿足f′(x0)＝0，但當f′(x1)＝0時，x1不一定是極值點．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是極值點．(2)可導函數(shù)y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同．2．函數(shù)的最大值與最小值的理解最值是一個整體性概念，是指函數(shù)在給定區(qū)間(或