現(xiàn)代控制理論基礎 課件 【ch01】動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型及變換

第一章動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型及變換電氣工程、自動化專業(yè)系列教材現(xiàn)代控制理論基礎01引言PARTONE在經典控制理論中，采用傳遞函數(shù)描述線性定常系統(tǒng)的動態(tài)。在傳遞函數(shù)中，可描述系統(tǒng)輸人和輸出的關系，但無法描述動態(tài)系統(tǒng)內部變量的信息，不能完整揭示動態(tài)系統(tǒng)的全部狀態(tài)特性。在現(xiàn)代控制理論中，采用狀態(tài)變量的一階微分方程組描述動態(tài)系統(tǒng)，反映了系統(tǒng)內部狀態(tài)變量的動態(tài)特性，同時便于處理系統(tǒng)的初始條件，成為控制系統(tǒng)分析和設計的有力工具。此外，與傳遞函數(shù)不同，狀態(tài)空間法隸屬于時域分析方法。隨著數(shù)字計算機的普及，控制系統(tǒng)時域模型的求解易于實現(xiàn)，時域分析方法更加便捷實用。除了線性定常系統(tǒng)，狀態(tài)空間法同樣適用于線性時變系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、離散系統(tǒng)等。本章主要研究時域分析方法構建動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，為后續(xù)的控制理論提供基礎。

01引言02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型PARTTWO02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型狀態(tài)變量x?(t),x?(t),…,xn(t)是描述動態(tài)系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小個數(shù)的一組變量。一個用n階微分方程描述的動態(tài)系統(tǒng)，有n個獨立變量，且獨立變量的選取方式不唯一。圖1.1中給出動態(tài)系統(tǒng)的一般形式。u(t)是輸入信號，y(t)是輸出信號。當狀態(tài)變量在t0時刻的初始值x?(t0),x?(t0),…,x?(t0)和t≥t0輸入信號u(t)已知時，足以確定系統(tǒng)狀態(tài)變量的未來響應。狀態(tài)變量的概念1以狀態(tài)變量x?(t),x?(t),…,xn(t)為坐標軸構成的空間，稱為n維狀態(tài)空間。初始時刻t0的系統(tǒng)狀態(tài)x?(t0),x?(t0),…,xn(t0)對應狀態(tài)空間中的初始點。在任意t時刻，系統(tǒng)狀態(tài)變量是狀態(tài)空間中的點。隨著時間的推移，在狀態(tài)空間中系統(tǒng)狀態(tài)形成一條軌跡，即狀態(tài)軌線。狀態(tài)空間表示是動態(tài)系統(tǒng)的代數(shù)形式和幾何概念的橋梁。02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型狀態(tài)變量組(狀態(tài)向量)可描述動態(tài)系統(tǒng)。下面采用圖1.2中的RLC網絡，具體說明狀態(tài)變量描述系統(tǒng)的動態(tài)。RLC網絡中有兩個獨立的儲能元件，即電容C和電感L,且電容、電感儲能取決于電容電壓、電感電流，因此選取兩個狀態(tài)變量：電容電壓uc(t)和電感電流iL(t)。根據(jù)電路原理，可推導如下的二元一階微分方程組狀態(tài)空間表達式2式(1.1)是RLC網絡的狀態(tài)方程，若用一般符號表示，令x?=uc,x?=iL,u=is,表示為

在RLC網絡中，輸出信號是電阻電壓y=ug,則輸出方程為02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型由于動態(tài)系統(tǒng)結構的不確定性，狀態(tài)變量的選取是不唯一的，對RLC網絡而言，也可選擇電容電壓x?=uc和電感電壓x?=u作為狀態(tài)變量。此時，RLC網絡的狀態(tài)方程為狀態(tài)變量能反映實際的動態(tài)系統(tǒng)存儲的能量，因此可描述系統(tǒng)的動態(tài)行為。選取狀態(tài)變量有不同的方案，通常盡量選取易于測量的變量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。多輸入多輸出動態(tài)定常系統(tǒng)的狀態(tài)響應由狀態(tài)變量x?,x?,…,xn和輸入信號ui,…,u,組成的一階微分方程組描述，即02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型輸出方程是狀態(tài)變量的線性組合，在特殊情況下，輸出方程受到輸入信號的影響，因此輸出方程的一般形式為狀態(tài)變量組所構成的向量稱為狀態(tài)向量，記為則狀態(tài)方程和輸出方程可表示為向量矩陣形式02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型以圖1.2所示的RLC網絡為例，當選擇電容電壓x1=uc和電感電流x?=iu作為狀態(tài)變量時，狀態(tài)方程和輸出方程可表示為02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為描述系統(tǒng)的動態(tài)特性，可建立系統(tǒng)的圖示化框圖模型來表示信號的傳遞關系。式(1.8)的框圖如圖1.3所示。式(1.9)RLC網絡的框圖如圖1.4所示。狀態(tài)空間模型框圖3【例1.1】傳染病的傳播模型。受調查人群可分為3類，其人數(shù)分別為x1、x?、xs,x?表示易受感染人群，x2表示已感染人群，xs表示從最初人群中剔除的不會再受到感染人群，原因是已進行免疫接種，或與傳染病院隔離，或已死亡。輸入信號為新加入易受感染者速率u?和新加入染病者速率uz。其狀態(tài)方程和輸出方程表示為02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型描述傳染病傳播過程的動態(tài)系統(tǒng)微分方程為傳染病傳播模型的框圖如圖1.5所示。02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型一般可從3個途徑建立動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型：一是由系統(tǒng)框圖根據(jù)動態(tài)模型中各個環(huán)節(jié)的連接情況，推導狀態(tài)空間模型；二是根據(jù)動態(tài)系統(tǒng)實現(xiàn)機理建模；三是由系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)確定狀態(tài)空間模型。1.由動態(tài)系統(tǒng)的框圖推導狀態(tài)空間模型將系統(tǒng)的框圖轉化成對應的模擬結構圖。將每個積分器的輸出選作狀態(tài)變量xi,積分器的輸入是xi。最后，根據(jù)模擬結構圖得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。除了框圖模型，梅森(Mason)還提出一種以節(jié)點間線段為描述手段的信號流圖法，無須對流圖進行化簡和變換，利用梅森增益公式，可推導系統(tǒng)變量間的信號傳遞關系。描述系統(tǒng)輸出和輸入關系的梅森增益公式為建立狀態(tài)空間模型4其中，Lq為第q條回路的增益；△k為通路Pk在△中的余因式，即刪除了所有與第k條通路相接觸的回路增益項后的余因式。如果系統(tǒng)所有反饋回路都相互接觸，且所有前向通路都與所有反饋回路接觸，則梅森增益公式可簡化為:其中，P表示第k條前向通路的增益；△是信號流圖的特征式，其定義為02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型【例1.2】直流電機調速系統(tǒng)的框圖如圖1.6(a)所示，其模擬結構圖和信號流圖如圖1.6(b)和(c)所示。直流電機調速系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型根據(jù)信號流圖法，直流電機調速系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型然后可以根據(jù)系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)確定狀態(tài)空間模型，從而確定直流電機調速系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。2.動態(tài)系統(tǒng)機理建模在電氣系統(tǒng)、機械系統(tǒng)、機電系統(tǒng)、氣動液壓系統(tǒng)和熱力系統(tǒng)等動態(tài)系統(tǒng)中，根據(jù)系統(tǒng)自身遵循的物理規(guī)律，如基爾霍夫定律、牛頓定律和能量守恒定律等，建立描述系統(tǒng)動態(tài)特性的微分方程，從而推導動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型?！纠?.3】雙節(jié)點電路系統(tǒng)如圖1.7所示。電路中共3個獨立儲能元件，因此選取3個狀態(tài)變量：x?=uc1,x?=uc2,x3=iL。針對節(jié)點A和節(jié)點B，根據(jù)基爾霍夫電流定律列寫電流方程為02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型電感的端電壓和電流滿足則雙節(jié)點系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為【例1.4】雙聯(lián)推車機械運動模型如圖1.8所示。M?、M?分別表示兩輛推車的質量，y1、y2分別表示兩輛推車的位移，2分別表示兩輛推車的運動速度，u為推車受到的外力，k1、k?分別表示兩個彈簧的彈性系數(shù)，b1、b2分別表示兩個彈簧的阻尼系數(shù)。假設推車與地面的摩擦力可以忽略。02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型根據(jù)牛頓第二定律，列寫兩輛推車的運動方程為02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型定義狀態(tài)變量x?=y?,x?=y?,x3=y1,x?=y?,則雙聯(lián)推車機械運動系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為..【例1.5】直流他勵電機等效電路如圖1.9所示。Ra、La分別為電樞電路的電阻和電感，ia為電樞電流，J表示機械旋轉部分的轉動慣量，b為旋轉部分的摩擦系數(shù)，w、θ分別為機械旋轉部分的轉速和轉角，ua為控制輸入。02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型根據(jù)牛頓定律，有其中，K是轉矩系數(shù)。在電樞回路中，根據(jù)基爾霍夫電壓方程，有由電磁感應定律，則感應電動勢E可表達為其中，K是感應電動勢系數(shù)。定義狀態(tài)變量x?=θ,x?=w,x?=ia,則直流他勵電機的狀態(tài)空間模型為02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型3.由系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)確定狀態(tài)空間模型由系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)確定狀態(tài)空間模型，稱為實現(xiàn)問題。狀態(tài)空間模型描述了傳遞函數(shù)確定的輸入、輸出關系，同時描述系統(tǒng)的內部關系。注意：從微分方程或傳遞函數(shù)推導的狀態(tài)空間模型不唯一，即實現(xiàn)的非唯一性?？紤]單變量線性定常系統(tǒng)，其運動方程是n階線性定常微分方程：傳遞函數(shù)為建立對應的狀態(tài)空間模型顯然，輸出中包含和輸入直接相關的項。02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型雖然實現(xiàn)是非唯一的，但只要不出現(xiàn)零極點對消，n階系統(tǒng)中必有n個獨立狀態(tài)變量，同時有n個一階微分方程等效。同一個動態(tài)系統(tǒng)的實現(xiàn)中，矩陣A的元素不盡相同，但其特征根相同。無零極點對消的傳遞函數(shù)的實現(xiàn)問題稱為最小實現(xiàn)。對式(1.16)進行拉普拉斯反變換，則有其模擬結構圖如圖1.10所示。02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型前面已指出，動態(tài)系統(tǒng)的實現(xiàn)是非唯一的。針對定常系統(tǒng)(1.13),模擬結構圖1.11和圖1.10是等效的。

或向量矩陣形式將模擬結構圖1.11中輸入量u的各階導數(shù)進行等效移動，得圖1.12(a)。將圖1.12(a)中的綜合點等效前移，得到等效的模擬結構圖，如圖1.12(b)所示。由圖1.12(b)推導傳遞函數(shù)為02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型對比傳遞函數(shù)式(1.13),采用待定系數(shù)法，確定未知系數(shù)β為02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型則有02動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型【例1.6】單回路控制系統(tǒng)如圖1.13所示。根據(jù)模擬結構圖1.12(a),選擇每個積分器的輸出為狀態(tài)變量，則式(1.13)的狀態(tài)空間模型也可表示為其閉環(huán)傳遞函數(shù)為對應式(1.13)中傳遞函數(shù)，系數(shù)分別為a?=9,a?=18,a0=4,b?=0,b?=2,b?=6,b0=402動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型根據(jù)式(1.21),狀態(tài)空間模型為其中，β的取值見式(1.20)。注意：上述兩種狀態(tài)空間模型中狀態(tài)變量的選取是不同的。根據(jù)式(1.18),狀態(tài)空間模型為03動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的線性變換PARTTHREE03動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型對給定的定常系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選取方式不唯一，其狀態(tài)空間模型表達式也不唯一。但所選取的狀態(tài)向量之間，可實現(xiàn)線性變換。針對如下的定常系統(tǒng)存在任意一個非奇異變換矩陣T,對原狀態(tài)向量x實現(xiàn)線性變換，得到另一狀態(tài)變量z為其逆變換為在狀態(tài)變量z下，式(1.22)轉化為動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的非唯一性1【例1.7】某動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為03動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的線性變換變換后的狀態(tài)空間模型為03動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的線性變換變換后的狀態(tài)空間模型為變換后的狀態(tài)空間模型為變換后的狀態(tài)空間模型為03動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的線性變換下面將給出動態(tài)系統(tǒng)的幾個重要定義。證明：針對定常系統(tǒng)(1.22),線性變換后，其狀態(tài)空間模型表達式轉化為式(1.25),特征方程|λI-T1AT|=0滿足03動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的線性變換式(1.22)和式(1.25)中，特征方程的根相同，則系統(tǒng)特征值不變。定義1.2系統(tǒng)特征向量：針對系統(tǒng)方陣A,若存在向量Pi∈Ri“,使得APi=λiPi成立，則稱Pi為A對應于特征值λi的特征向量，其中特征值λi為標量。定義1.1系統(tǒng)特征值：針對定常系統(tǒng)(1.22),定義方陣A的特征值為系統(tǒng)特征值。方陣A的特征值，即特征方程|λ-A|=0的根。若A∈R”×",則系統(tǒng)有n個特征值。若A為實數(shù)矩陣，則系統(tǒng)特征值為實數(shù)或共軛復數(shù)；若A為實對稱矩陣，則系統(tǒng)特征值為實數(shù)。注意：針對定常系統(tǒng)(1.22),其狀態(tài)空間模型表達式不唯一，但系統(tǒng)特征值具有不變性。03動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的線性變換03動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型1.約當標準型定義1.3約當標準型：定常系統(tǒng)(1.22)的約當標準型定義為λ(i=1,2,…,n)為系統(tǒng)特征值，約當標準型矩陣J定義為動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的約當標準型2建立系統(tǒng)(1.22)約當標準型的關鍵在于求取線性變換矩陣T。(1)系統(tǒng)特征值無重根時03動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的線性變換其中，P:為互異特征根λ;(i=1,2,…,n)對應的特征向量。證明：由于系統(tǒng)特征值λ;(i=1,2,…,n)互異，則特征向量P;是線性無關的，因此T=[P?P?…P,]是非奇異的，即T-1存在。03動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的線性變換【例1.9】將以下動態(tài)系統(tǒng)轉換為約當標準型：解：方陣A的特征值和對應的特征向量在例1.8已求出，為線性變換矩陣及其逆矩陣選取為03動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的線性變換(2)系統(tǒng)特征值有重根時設A的特征值λ1有q個重根，其他n-q個特征值λi互異，選取如下線性變換矩陣變換后的線性變換后的狀態(tài)空間模型為模型為其中，Pi(i=q+1,…,n)為互異特征值對應的特征向量。重根λ所對應的特征向量按下式求?。篜1是λ?對應的特征向量，Pi(i=2,…,q)是廣義特征向量?！纠?.10】將以下動態(tài)系統(tǒng)轉換為約當標準型：03動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的線性變換解：系統(tǒng)特征方程為解得λ1,2=-1,λ3=-2。線性變換矩陣及其逆矩陣選取為03動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的線性變換線性變換后的狀態(tài)空間模型為(1)特征值無重根03動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的線性變換線性變換矩陣T是范德蒙德(Vandermonde)矩陣。(2)特征值有重根(以λ是三重根為例)(3)特征值有共軛復根(以4階為例，λ1,2=σ±jw,λ3≠λ?)03動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的線性變換且有2.動態(tài)系統(tǒng)的并聯(lián)型實現(xiàn)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)(1.34)特征值λ:是互異的，或者有重根。下面將分情況討論。(1)特征值互異時，傳遞函數(shù)可展開成分式形式03動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的線性變換選取積分器的輸出為狀態(tài)變量，系統(tǒng)狀態(tài)空間模型是對偶的，可表示為式(1.35)對應的積分器并聯(lián)型模擬結構圖如圖1.14(a)或(b)所示。03動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的線性變換或(2)特征值有重根假設λ為q重根，其他特征值λi(i=q+1,…,n)互異。此時，傳遞函數(shù)可展開成分式形式式(1.38)對應的一種模擬結構圖如圖1.15所示。03動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的線性變換顯然，q重根特征值是積分器串聯(lián)形式，互異特征值是積分器并聯(lián)形式。狀態(tài)空間模型可表示為03動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型上面介紹了從傳遞函數(shù)求取狀態(tài)空間模型的系統(tǒng)實現(xiàn)問題，本節(jié)將討論從狀態(tài)空間模型求取傳遞函數(shù)陣問題。已知動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型其中，x為n維狀態(tài)向量；A為n×n維系統(tǒng)矩陣；B為n×r維輸入矩陣；u為r維輸入向量；y為m維輸出向量；C為m×n維輸出矩陣；D為m×r維直接傳遞矩陣。在零初始條件的前提下，對式(1.40)進行拉普拉斯變換，得從狀態(tài)空間模型求取傳遞函數(shù)陣303動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的線性變換其中，Gij(s)是標量傳遞函數(shù)，表示第j個輸入對第i個輸出的影響。當i≠j時，G(s)表示不同標號的輸入和輸出有耦合關系。因此，U(s)與X(s)間的傳遞函數(shù)陣為式(1.43)中，G(s)的分母|sI-A|是系統(tǒng)矩陣的特征多項式。可以證明，同一動態(tài)系統(tǒng)，可以用不同的狀態(tài)空間模型表示，但傳遞函數(shù)陣是相同的。采用線性變換z=T-1x后，新的狀態(tài)空間模型為對應的傳遞函數(shù)陣G(s)為已證，同一動態(tài)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣是唯一的。03動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型在實際系統(tǒng)中，系統(tǒng)由多個子系統(tǒng)并聯(lián)、串聯(lián)或反饋組合而成，本節(jié)將討論子系統(tǒng)組合后等效的傳遞函數(shù)陣。假設第1個子系統(tǒng)∑(A?,B?,C?,D?)的狀態(tài)空間模型為假設第2個子系統(tǒng)∑(A2,B2,C2,D2)的狀態(tài)空間模型為子系統(tǒng)組合后的傳遞函數(shù)陣403動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的線性變換由于u=u?=u?,y=y?±y?,子系統(tǒng)并聯(lián)連接的狀態(tài)空間模型為因此，等效傳遞函數(shù)陣為子系統(tǒng)并聯(lián)連接的等效傳遞函數(shù)陣，等于子系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣的代數(shù)和。子系統(tǒng)并聯(lián)連接子系統(tǒng)并聯(lián)，即各子系統(tǒng)輸入相同，而組合系統(tǒng)的輸出是各子系統(tǒng)輸出的代數(shù)和。子系統(tǒng)并聯(lián)連接的結構圖如圖1.16所示。03動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的線性變換子系統(tǒng)串聯(lián)連接的結構圖如圖1.17所示。2.子系統(tǒng)串聯(lián)由于u?=u-y?,u?=y?,子系統(tǒng)反饋連接的狀態(tài)空間模型為因此，等效傳遞函數(shù)陣為04線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型PARTFOUR04線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型在線性狀態(tài)空間模型中，系統(tǒng)矩陣的元素依