第一部分知識(shí)梳理第六章第二節(jié)

第一部分教材知識(shí)梳理第六章圓第二節(jié)與圓有關(guān)的位置關(guān)系中招考點(diǎn)清單考點(diǎn)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外.

如果圓的半徑為r,點(diǎn)到圓心的距離為d,則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系如圖所示：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圖形d與r的大小關(guān)系點(diǎn)A在圓內(nèi)d=OA<r點(diǎn)B在圓上d=OB=r點(diǎn)C在圓外d=OC>r考點(diǎn)二直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系相交相切相離圖形＜=＞圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系d①___rd②___rd③___r公共點(diǎn)名稱交點(diǎn)切點(diǎn)無直線名稱割線④_____無切線考點(diǎn)三切線的性質(zhì)與判定（高頻考點(diǎn)）

【考情總結(jié)】近7年考查6次，僅2008年未考查.其中2014年在解答題中考查特殊四邊形判定時(shí)涉及到該考點(diǎn)，2012年與2013年在選擇題中以結(jié)論判斷形式考查，其余每年都在填空題中結(jié)合圓周角與圓心角求角度.

1.定義：直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)我們說這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn).2.性質(zhì)與判定垂直性質(zhì)定理圓的切線⑤_____于過切點(diǎn)的半徑推論1.經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過⑥_____2.經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必過⑦_(dá)____切點(diǎn)圓心1個(gè)切線的判定1.和圓有⑧_____公共點(diǎn)的直線是圓的切線2.如果圓心到一條直線的距離等于圓的⑨_____，那么這條直線是圓的切線3.經(jīng)過半徑的外端并且⑩_____于這條半徑的直線是圓的切線（判定定理）半徑垂直3.切線長如圖，過圓外一點(diǎn)P有兩條直線PA，PB分別與⊙O相切，經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和_____之間線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長.切點(diǎn)114.切線長定理(2011版新課標(biāo)新增內(nèi)容)

從圓外一點(diǎn)可以引圓的___條切線，它們的切線長_____,這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.兩13相等12考點(diǎn)四

三角形的內(nèi)心和外心1415

三個(gè)頂點(diǎn)

三條邊名稱圖形作圖方法性質(zhì)三角形的外心三條垂直平分線的交點(diǎn)三角形的外心到三角形的_________距離相等三角形的內(nèi)心三條角平分線的交點(diǎn)三角形的內(nèi)心到三角形的________距離相等?？碱愋推饰鲱愋鸵恢本€與圓的位置關(guān)系

例1如果一個(gè)圓的半徑是8cm,圓心到一條直線的距離也是8cm，那么這條直線和這個(gè)圓的位置關(guān)系是()A.相離B.相交

C.相切D.不能確定C【解析】∵圓的半徑是8cm，圓心到直線的距離也是8cm，8=8，∴直線與圓相切.【方法指導(dǎo)】（1）根據(jù)直線上的點(diǎn)到圓心的距離判斷直線與圓的位置關(guān)系，但是一定要分清這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離是不是等于直線到圓心的距離，（2）設(shè)圓的半徑為r,圓心到直線的距離為d,若d＜r，則直線與圓相交；若d=r,則直線與圓相切；若d＞r，則直線與圓相離，從而解決此類問題.類型二切線性質(zhì)的有關(guān)計(jì)算

例2（’14邵陽）如圖，△ABC的邊AC與⊙O相交于C、D兩點(diǎn)，且經(jīng)過圓心O，邊AB與⊙O相切，切點(diǎn)為B．已知∠A=30°，則∠C的大小是()A.30°B.45°C.60°D.40°A例2題解圖【解析】連接OB，如解圖，∵AB與⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=60°，∵∠AOB=∠C+∠OBC，而∠C=∠OBC，∴∠C=∠AOB=30°．【方法指導(dǎo)】對(duì)于解決圓切線性質(zhì)的有關(guān)計(jì)算問題，往往是已知圓的切線，連接圓心與切點(diǎn)的半徑構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形兩銳角互余、勾股定理和其他知識(shí)解決問題.

拓展題1（’14內(nèi)江）如圖，Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜邊AB上的一點(diǎn)O為圓心所作的半圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)D、E，則AD為()A.2.5B.1.6C.1.5D.1B拓展題1解圖【解析】如解圖，連接OD、OE，設(shè)AD=x，∵半圓分別與AC、BC相切，∴∠CDO=∠CEO=90°，∵∠C=90°，∴四邊形ODCE是矩形，∴OD=CE，OE=CD，∴CD=CE=4-x，BE=6-（4-x）=x+2，∵∠AOD+∠A=90°,∠AOD+∠BOE=90°，∴∠A=∠BOE，∴△AOD∽△OBE，∴，∴，解得x=1.6，故選B.類型三與切線有關(guān)的證明與計(jì)算

例3如圖，△ABC中，∠A=90°，以AB為直徑的⊙O交BC于D，E為AC邊中點(diǎn)，求證：DE是⊙O的切線.【思路分析】由題意知D在圓上，要證明DE是⊙O的切線，故應(yīng)先連接DO，再證明OD⊥DE即可.而AB是直徑，故連接AD，有AD⊥BC，即△ADC為直角三角形，又E是AC的中點(diǎn)，即得ED=EA，從而得∠EAD=∠EDA，再由OA=OD得∠OAD=∠ODA，在△ABC中，∠CAB=90°，即可得證.

證明：如解圖，連接AD、DO；∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠ADC=90°.∵E是AC的中點(diǎn)，∴DE=AE（直角三角形中斜邊中線等于斜邊一半），∴∠EAD=∠EDA.∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO，例3題解圖

∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=∠EAD+∠DAO=∠CAB=90°，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O的切線.【方法指導(dǎo)】1.證明直線是圓的切線的方法：①可以利用定義判定，與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；②若已知直線與圓有公共點(diǎn)，連接過這點(diǎn)的半徑，證明這條半徑與直線垂直即可，可簡述為：有切點(diǎn)，連圓心，證垂直；③若未知直線與圓的交點(diǎn)，過圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長等于圓的半徑.可簡述為：無切點(diǎn)、作垂直、證相等.2.解決與切線有關(guān)的求角度或線段問題的方法：當(dāng)已知切線時(shí)，常作的輔助線為連接切點(diǎn)與圓心或?qū)ふ抑睆剿鶎?duì)的圓周角，構(gòu)造直角三角形，然后利用勾股定理或相關(guān)的三角函數(shù)知識(shí)計(jì)算線段長度；而在求角度時(shí)，往往與圓周角、圓心角有關(guān)，求解過程中有時(shí)需要作出合適的輔助線，構(gòu)造與所求角有關(guān)的圓心角或直角三角形進(jìn)行求解，特別注意一些特殊角，如直徑所對(duì)的圓周角等于90°、和圓的半徑相等的弦所對(duì)的圓心角等于60°、切線與過切點(diǎn)的半徑或直徑所構(gòu)成的角等于90°等.

拓展題2（’14烏魯木齊）如圖，在△ABC中，以BC為直徑的⊙O與邊AB交于點(diǎn)D，E為的中點(diǎn)，連接CE交AB于點(diǎn)F，AF=AC.

（1）求證：直線AC是⊙O的切線；（2）若AB=10，BC＝8，求CE的長.

【思路分析】

（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為90°，作適當(dāng)?shù)妮o助線.由E是

的中點(diǎn)，利用同弧所對(duì)的圓周角相等得出∠EBF和∠ECB的關(guān)系，再由各個(gè)角度之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換得出∠ACF+∠ECB=90°即可得證；

（2）由（1）中結(jié)果得到△ACB為直角三角形，利用勾股定理計(jì)算出AC的長度，進(jìn)而BF的長度可求，再根據(jù)∠FEB=∠BEC=90°得出兩三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)將CE用BE表示，再在Rt△BEC中利用勾股定理解出BE的值，從而得出CE的長.

（1）證明：如解圖，連接BE，

∵BC為⊙O的直徑，

∴∠CEB=90°，

∴∠EFB+∠EBF=90°，

∵E為

的中點(diǎn)，

∴DE=BE,

∴∠EBF=∠ECB.

∵AF=AC,

∴∠AFC=∠ACF，

拓展題2解圖

∵∠AFC=∠EFB，

∴∠EFB=∠ACF，

∴∠ACF+∠ECB=90°，即∠ACB=90°，

∴直線AC為⊙O的切線；

（2）解：在Rt△ACB中，AB=10,BC=8，

∴AC=6.∴AF=AC=6,∴BF=4.

∵∠FEB=∠BE