醫(yī)學(xué)統(tǒng)計學(xué)-4-正太分布及應(yīng)用

第五節(jié)正態(tài)分布及其應(yīng)用正態(tài)分布重要的概率分布，統(tǒng)計分析方法的基礎(chǔ)。醫(yī)學(xué)研究中的多數(shù)觀察指標服從或近似服從正態(tài)分布；很多統(tǒng)計方法建立在正態(tài)分布的基礎(chǔ)之上；很多其他分布的極限為正態(tài)分布。

一、正態(tài)分布的概念和圖形（a）（b）（c）（d）正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為：

,(-∞＜X

＜+∞)式中，有4個常數(shù)，

為總體均數(shù)，

為總體標準差，π為圓周率，e為自然對數(shù)的底，其中

，

為不確定的常數(shù)，π，e為固定常數(shù)，僅X為變量，代表圖形上橫軸的數(shù)值，f(X)為縱軸數(shù)值。當給定

和

，就可繪制出一條正態(tài)分布曲線。正態(tài)分布曲線是一簇曲線。正態(tài)分布圖形：對稱的鐘型（最高點在均數(shù)處）兩側(cè)逐漸下降兩端在無窮遠處與橫軸無限接近。一般情況下，我們用N(

,

2)表示均數(shù)為

，方差為

2的正態(tài)分布。-5-4-3-2-1012345

=1

=1.5

=2f不同標準差

的正態(tài)分布示意二、正態(tài)分布的特征特征一正態(tài)分布是一單峰分布，高峰位置在均數(shù)X=

處。特征二正態(tài)分布以均數(shù)為中心，左右完全對稱。特征三正態(tài)分布取決于兩個參數(shù)，即均數(shù)

和標準差

。

為位置參數(shù)，

變大，則曲線沿橫軸向右移動；

變小，曲線沿橫軸向左移動。

為形態(tài)參數(shù)，表示數(shù)據(jù)的離散程度，若

小，則曲線形態(tài)“瘦高”；

大，則曲線形態(tài)“矮胖”。特征四

有些指標不服從正態(tài)分布，但通過適當變換后服從正態(tài)分布，如對數(shù)正態(tài)分布。特征五正態(tài)分布曲線下的面積分布是有規(guī)律的。用F(X)代表橫軸自-∞到X間曲線下面積，即下側(cè)累計面積(概率)。曲線下（X1，X2）兩個數(shù)值之間的面積則可以用與的差值求得：

無論

，

取什么值，正態(tài)分布密度曲線下的面積分布有以下幾個規(guī)律：①正態(tài)密度函數(shù)曲線與橫軸間的面積恒等于1或100%；②正態(tài)分布是對稱分布。其對稱軸為直線X=

，X>

與X<

范圍內(nèi)曲線下面積相等，各占50%；③曲線下面積常用規(guī)律：

在區(qū)間（

-

，

+

）內(nèi)的曲線下面積為68.27%；在區(qū)間（

-1.64

，

+1.64

）內(nèi)的面積為89.90%，在區(qū)間（

-1.96

，

+1.96

）內(nèi)的面積為95.00%；在區(qū)間（

-2.58

，

+2.58

）內(nèi)的面積為99.00%。三、標準正態(tài)分布

將正態(tài)分布變量作標準化變換，就得到均數(shù)為0，標準差為1的標準正態(tài)分布（standardnormaldistribution）標準化變換公式：正態(tài)分布的概率密度函數(shù)方程就簡化為標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)方程：，(-∞＜u

＜+∞)

對其定積分：式中

(u)為標準正態(tài)變量u的累計分布函數(shù)，反映了橫軸自-∞到u的正態(tài)曲線下面積，也就是下側(cè)累計面積(概率)。引入標準化變換后，對于其他任何正態(tài)分布都可以借助標準正態(tài)分布表估計任意（X1，X2）范圍內(nèi)的頻數(shù)比例。例、已知u1=-1.76，u2=-0.25，求標準正態(tài)曲線下（-1.76，-0.25）范圍內(nèi)的面積。查附表1，得（-∞，-1.76）范圍內(nèi)的面積為0.0392，（-∞，-0.25）范圍內(nèi)的面積為0.4013，則（-1.76，-0.25）范圍內(nèi)的面積D=0.4013-0.0392=0.3621。附表1中只列出了曲線下從-∞到0范圍內(nèi)的面積對于u>0的范圍面積，利用正態(tài)分布的對稱性，通過

(u)=1-

(-u)來求曲線下的面積。注意點一例、已知u1=-1.20，u2=1.60，求標準正態(tài)曲線下（-1.20，1.60）范圍內(nèi)的面積。查附表1，得（-∞，-1.20）范圍內(nèi)的面積為0.1151，（-∞，-1.60）范圍內(nèi)的面積為0.0548，利用正態(tài)分布的對稱性，求

(1.60)=1-

(-1.60)則（-∞，1.60）范圍內(nèi)面積為1-0.0548=0.9452。（-1.20，1.60）范圍內(nèi)的面積D=0.9452-0.1151=0.8301。

注意點二對于非標準正態(tài)分布，求曲線下任意（X1，X2）范圍內(nèi)的面積，可先作標準化變換，再借助標準正態(tài)分布表求得。例、某市120名12歲男童身高的例子中已求得均數(shù)為143.05cm，標準差s=5.82cm。設(shè)該資料服從正態(tài)分布，試求①該地12歲男童身高在132cm以下者占該地12歲男童總數(shù)的比例，②分別求±1s、±1.96s和±2.58s范圍內(nèi)12歲男童占該組兒童總數(shù)的實際百分數(shù)，并與理論百分數(shù)比較。①計算u=（132.0-143.05）/5.82=-1.90查表得，

(u)=

(-1.90)=0.0287②身高范圍(cm)實際分布理論分布(%)人數(shù)百分數(shù)(％)±1.00s137.23～148.878772.5068.27±1.96s131.64～154.4611495.0095.00±2.58s128.03～158.0711898.3399.00四、正態(tài)分布的應(yīng)用醫(yī)療衛(wèi)生領(lǐng)域中有很多的指標是服從或近似服從正態(tài)分布。如：同性別同年齡正常兒童的身高、體重，同性別健康成人的紅細胞數(shù)以及實驗中的隨機誤差等一般都服從正態(tài)分布。有一些指標不服從正態(tài)分布，但經(jīng)過變量變換后，能近似服從正態(tài)分布。如：對數(shù)正態(tài)分布（一）估計頻率分布例、若由某項研究得某地嬰兒出生體重為3100g，標準差為300g，試估計該地區(qū)當年出生低體重兒（出生體重≤2500g）所占比例。認為當年該地區(qū)嬰兒出生體重近似服從正態(tài)分布N（3100,3002）,作標準化變換：查附表1，得

(-2.00)=0.0228得出結(jié)論，估計該地區(qū)當年出生低體重兒所占比例為2.28%。例、已知某地健康成年男子的紅細胞計數(shù)是以μ=5.00×1012/L，σ=0.25×1012/L的正態(tài)分布，試問紅細胞計數(shù)在4.50×1012/L至5.20×1012/L之間，占該地健康成年男子的百分之幾？將變量值標準正態(tài)轉(zhuǎn)換為u。當x=4.50時，u1=（4.50-5.00）/0.25=-2.00當x=5.20時，u2=（5.20-5.00）/0.25=0.80查附表1標準正態(tài)曲線下