2024春新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量的運算6.2.4第1課時向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)分層演練含解析新人教A版必修第二冊

PAGE平面對量的運算A級基礎(chǔ)鞏固1.下列說法中正確的是 ()A.若a≠0,則對隨意b≠0,有a·b≠0B.若a·b=0,則a,b中至少有一個為0C.|a·b|表示向量a·b的長度D.b在a方向上的投影可能是正數(shù),可能是負數(shù),還可能是0解析:選項A、B都是錯誤的,因為不但零向量與隨意向量的數(shù)量積為0,而且相互垂直的兩個非零向量的數(shù)量積也為0.選項C錯誤,因為a·b是數(shù)量,|a·b|表示其肯定值.選項D是正確的.答案:D2.若a·b>0,則a與b的夾角θ的取值范圍是 ()A.[0,π2) B.[π2,π) C.(π2解析:因為a·b>0,所以cosθ>0,所以θ∈[0,π2)答案:A3.已知|b|=5,a·b=12,則向量a在b方向上的投影為125解析:因為a在b方向上的投影為|a|cosθ,且cosθ=a·所以|a|cosθ=a·b|4.若e1,e2是單位向量,且e1·e2=-12,則e1與e2的夾角等于120°解析:設(shè)e1,e2的夾角為θ.由已知|e1|=|e2|=1,所以e1·e2=1×1×cosθ=-12,因此θ=120°5.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,已知|AB|=4,|AD|=3,∠DAB=60°,求:(1)AD·BC;(2)AB·CD;(3)AB·DA.解:(1)因為AD與BC共線且同向,所以AD·BC=3×3×cos0°=9.(2)因為AB與CD共線且反向,所以AB·CD=4×4×cos180°=-16.(3)因為AB與DA的夾角為120°,所以AB·DA=4×3×cos120°=-6.B級實力提升6.定義:|a×b|=|a||b|sinθ,其中θ為向量a與b的夾角.若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,則|a×b|等于 ()A.8 B.-8 C.8或-8 D.6解析:因為a·b=|a||b|cosθ=2×5×cosθ=-6,所以cosθ=-35.因為θ∈[0,π],所以sinθ=45,所以|a×b|=|a||b|sinθ=2×5×4答案:A7.在等腰直角三角形ABC中,AC是斜邊,且AB·AC=12,則該三角形的面積等于1解析:設(shè)Rt△ABC的直角邊長為a,則斜邊長為2a,于是AB·AC=a·2a·22=a2=12,從而a=22,于是S△ABC=12×228.已知|a|=6,e為單位向量,當(dāng)它們之間的夾角θ分別等于60°、90°、120°時,求出a在e方向上的投影向量.解:a在e方向上的投影向量為|a|cosθe.當(dāng)θ=60°時,a在e方向上的投影向量為|a|cos60°e=3e;當(dāng)θ=90°時,a在e方向上的投影向量為|a|cos90°e=0;當(dāng)θ=120°時,a在e方向上的投影向量為|a|cos120°e=-3e.C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新9.多選題已知a,b都是單位向量,則下列結(jié)論中肯定正確的是()A.a·b=1 B.a2=b2C.a∥b?a=b或a=-b D.a·b=0解析:單位向量是指模為1的向量,對方向沒有要求,因此夾角也是未知的,故選項A、D不肯定正確,易知選項B,C正確.答案:BC10.多空題在△ABC中,若∠C=90°,AC=BC=4,則CA·CB=0,AB·BC=-16.解析:因為∠C=90°,所以CA·CB=0.因為AC=BC=4,所