GM11模型應(yīng)用及殘差修正

一.GM(1,1)預(yù)測模型應(yīng)用舉例灰色預(yù)測是基于GM(1,1)預(yù)測模型的預(yù)測，按其應(yīng)用的對象可有四種類型：數(shù)列預(yù)測。這類預(yù)測是針對系統(tǒng)行為特征值的發(fā)展變化所進(jìn)行的預(yù)測。災(zāi)變預(yù)測。這類預(yù)測是針對系統(tǒng)行為的特征值超過某個闕值的異常值將在何時出現(xiàn)的預(yù)測。季節(jié)災(zāi)變預(yù)測。若系統(tǒng)行為的特征有異常值出現(xiàn)或某種事件的發(fā)生是在一年中的某個特定的時區(qū)，則該預(yù)測為季節(jié)性災(zāi)變預(yù)測。拓?fù)漕A(yù)測。這類預(yù)測是對一段時間內(nèi)系統(tǒng)行為特征數(shù)據(jù)波形的預(yù)測。例1(數(shù)列預(yù)測)：設(shè)原始序列X<0)=(x<0)⑴,x⑼(2),x<0>(3),x(0)(4),x<0)(5))=(2.874,3.2783337,3.390,3.679)試用GM(1J)模型對X⑹進(jìn)行模擬和預(yù)測，并計算模擬精度。解：第一步：對X⑹進(jìn)行一次累加，得X")=(2.874,6.152,9.48942.89746.558)第二步:對X⑹作準(zhǔn)光滑性檢驗。由沙伙)X⑴伙一1)得q(3)a0.54,p(4)?0.36<0.5,p(5)?0.29<0.5。當(dāng)k>3時準(zhǔn)光滑條件滿足。第三步：檢驗X⑴是否具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律。山0伙)兀⑴伙一0伙)兀⑴伙一1)=1+0伙)得b⑴⑶2l?54,b⑴(4)^1.36,cr,n(5)a1.29當(dāng)k>3時,b⑴伙)=e[1,1.5LJ<0.5,準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律滿足,故可對X⑴建立GM(1,1)模型。第四步：對X⑴作緊鄰均值生成，得z⑴=(4.513,7.820,11.184,14.718)于是

7⑴⑵f■-4.513f~x<0)(2)_3.278_-Z⑴⑶1-7.8201,r=X⑹⑶3.337-円⑷1一11」841x⑹⑷3.390■-Z⑴(5)1-14.7181_X⑹(5)_3.679B=第五步：對參數(shù)列a=[a^]r進(jìn)行最小二乘估計。得a=(BTa=(BTBrlBTY=-0.03723.0653第六步：確定模型-一一0.0372x⑴=3.0653dt及時間響應(yīng)序列爐)伙+1)=(x(o>(1)一-}e-°k+-=85.27615k00372*-82.402151a a第七步：求X⑴的模擬值x(，)=(00(1),左⑴(2)，左⑴(3)=(2.8704,6.1060,9.4605,12.9422,16.5558)第八步：還原求出X⑹的模擬值。111?0)伙+1)=°⑴f⑴伙+1)=左⑴伙+1)—左⑴伙)得X<0>=(H(1),㈣(2),*°)(3)J⑹⑷,0°)(5))=（2.8740,3.2320,3.3545,3.4817,3.6136）第九步：檢驗誤差。曲下表可算出殘差平方和:誤差檢驗表序號實際數(shù)據(jù)X⑹伙）模擬數(shù)據(jù)嚴(yán)伙）殘差s(k)=xw(k)-xl0\k)相對誤差十伙）1k?嚴(yán)伙）23.2783.23000.04601.40%33.3373.3545-0.01750.52%43.3903.4817-0.09172.71%53.6793.61360.06541.78%平均相對誤差1.6025%第十步:預(yù)測丘⑼伙+1）

rb(6)=85.27615k00372x5-82.402151=20.3063x<0>(6)=3.7505f⑴(7)=85.27615k00372x6-82.402151=24.1991x0>(7)=3.8928例2(災(zāi)變預(yù)測)：某企業(yè)生產(chǎn)用原料屬受自然災(zāi)害影響較大的農(nóng)產(chǎn)品。一般來說，自然災(zāi)害的發(fā)生有其偶然性，但對歷史數(shù)據(jù)的整理，仍可發(fā)現(xiàn)一定的規(guī)律性。為盡量減少生產(chǎn)不受自然災(zāi)害的影響，該企業(yè)希望了解影響原料供應(yīng)的規(guī)律性并提前做好原料儲備，所收集數(shù)據(jù)見下表，并規(guī)定每畝平均收獲量小于320千克時為欠收年份,將影響原料的正常供應(yīng)，現(xiàn)應(yīng)用灰色災(zāi)變預(yù)測來預(yù)測下次發(fā)生欠收的年份。原料收獲統(tǒng)訃表年份199119921993199419951996199719981999收獲量(千克)390.6412320559380542553310561年份20002001200220032004200520062007收獲量(千克)300632540406.2314576587318第一步：將上表中年份用序號替換，并找出收獲量小于320千克的年份序號形成本例初始序列：e?=(3810,14,17)一次累加生成序列:e⑴=(3,11,2135,52)Q⑴的緊鄰均值生成序列:Z⑴=(7,16,28,43.5)a=(BrBylBrY=a=(BrBylBrY=6.258347⑴⑵f■-7f_<y<0)(2)'「8_-Z⑴⑶1-161,r=10-乙⑴⑷1-281⑷14-z0,(5)1-43.5117B=-0.25361o⑴(/+1)=［①心(t)一-Wal+-=27.6770N。3如一24.67702aa第三步：預(yù)測當(dāng)t=6時，67n)(6)=73.684護(hù)(6)=21.6848因此，下次發(fā)生收獲量小于320千克的年份為：2011年至2012年，即四至五年后將出現(xiàn)欠收年份。其他預(yù)測類型見參考書。二.殘差GM(1,1)模型當(dāng)GM(1,1)模型精度不符合要求時，可使用殘差序列建立GM(1,1)模型，對原來模型進(jìn)行修正，以提高精度。定義4設(shè)嚴(yán)=(嚴(yán)(1),嚴(yán)(2),...,艸何)其中，鍬)⑼伙)d⑴伙)為X⑴的殘差序列。若存在ko,滿足辦n心,小°)伙)的符號一致；n-k{)>4,則稱(I嚴(yán)伙°)1,1艸伙0+1)I,...,I嚴(yán)S)I)為可建模殘差尾段，仍記為嚴(yán)=(嚴(yán)伙0),嚴(yán)伙o+l),...,嚴(yán)("))命題1設(shè)嚴(yán)=(嚴(yán)伙°),嚴(yán)伙°+1),...,嚴(yán)⑺))為可建模殘差尾段，其一次累加序￡'1'=(￡山伙()),￡山伙°+1),...,/)("))的GM(1,1)模型的時間響應(yīng)式為釘)伙+1)=匕⑼伙+空，k>燈a, ck則殘差尾段的模擬序列為嚴(yán)=(護(hù)伙。),嚴(yán)伙。+1),...,護(hù)何)其中嚴(yán)伙+1)=(_—)(嚴(yán)伙(J一如)嚴(yán)川如)，k>k.a.定義5若用卸°)修正乂⑴則稱修正后的時間響應(yīng)式(卍(1)-？)嚴(yán)+1k<k.a a(x<0>(l)-->-fl*+2±“￡(￡心伙。)一空)』如m,k>k0a a af為殘差修正GM(1,1)模型，簡稱殘差GM(1,1)。其中殘差修正值

嚴(yán)）伙+1）=（一―）（￡⑼伙（J一冬）dWf“a.的符號應(yīng)與殘差尾段￡⑹的符號保持一致。定義6若i<0>伙）=左⑴伙）—左⑴伙-1）=（1一e°）（x（o）⑴--）e-a（k~h則相應(yīng)的殘差修a正時間響應(yīng)式(l-^)(x(0)⑴一-)e-ak,k<k.F°gl)(1_aF°gl)(1_⑴-2)嚴(yán)±—(￡⑼伙°)-空)",k>k0

a a.稱為累減還原式的殘差修正模型。例題湖北省云夢縣油菜發(fā)病率數(shù)據(jù)為X⑹=(?o)(l),x(o)(2),x(o>(3),⑹⑷,x<o)(5),x(o)(6),x<o)(7),x(o>(8),…$>(13))=(6,20.40,25,40,45,35,21,14,1&15.5」7,15)建立GM（1,1）模型，得時間響應(yīng)式為左⑴伙+1)=_567?999嚴(yán)咧弘+573.999作累減還原，得X<0)={i(0)伙)屮=(35.670433.4303,31.330&29.3682,27.5192,25.7900,24」719,22.6534,21.2307,19.897418.647847.4768)檢驗其精度：列出誤差檢驗表誤差檢驗表序號實際數(shù)據(jù)x（o）（k）模擬數(shù)據(jù)嚴(yán)）伙）殘差￡(k)=x(o)(k)-x(oi(k)相對誤差_|￡伙）1*?嚴(yán)伙）22035.6704-15.67047&3540%34033.43036.569716.4242%42531.3308-6.330825.3232%54029.368210.631826.5795%64527.519217.480838.8642%73525.79019.209926.3140%82124.1719-3.171915.1043%91422.6534-8.653461.8100%101821.2307-3.230717.9483%1115.519.8974-4.397428.3703%121718.6478-1.64789.6926%131517.4768-2.476816.5120%平均相對誤差 30.11%山此可見，相對精度不到70%,需采用殘差模型進(jìn)行修正。取ko=9,得殘差尾段￡(o)=(￡(o)(9),￡(o)(1O),P°>(11),J°)(12),￡(°)(13))=(—8.6534,-3.2307,7.3974,-1.647&-2.4768)此為可建模殘差尾段，去絕對值，得=(8.6534,3.2307,4.3974,1.6478,2.4768)建立GM(1,1)模型，得?⑹的一次累加序列占的時間響應(yīng)式：嚴(yán)伙+1)=—24嚴(yán)咖5z>+32.7其導(dǎo)數(shù)還原值為￡(0\k+1)=(-0.16855)(_24)八閘'心)=4.0452嚴(yán)皿火?由丘⑹伙+1)=左⑴伙+1)-左⑴(k)=(\-ea)(x(o)(1)--)e~ak=38.061血」喚6&可得累a減還原式殘差修正模型為訃伙+1」 38.0614^",心138.0614<^006486A-4.04526>-°16855a-9),k>9其中，公⑼伙+1)的符號與原始?xì)埐钚蛄械姆栆恢?。按此模型，可對k=10JlJ2,13四個模擬值進(jìn)行休整，修正后的精度如下表：誤差檢驗表序號實際數(shù)據(jù)汕伙)模擬數(shù)據(jù)叫)殘差￡(k)=x{0\k)-xi0\k)相對誤差_|鍬)1亠麗101817.18580.81424.52%1115.516.4799-0.97996.32%121715.76041.23967.29%131515.0372-0.03720.25%平均相對誤差4.595%殘差修正GM(1J)模型的模擬精度得到了明顯提高。因此時殘差序列已不滿足建模要求，若對殘差精度仍不滿意，就只有考慮釆用其它模型或?qū)υ紨?shù)據(jù)序列進(jìn)行適當(dāng)取舍。三.GM(1,1)模型群在實際建模中，原始數(shù)據(jù)序列的數(shù)據(jù)不一定全部用來建模。我們在原始數(shù)據(jù)序列中取出一部分?jǐn)?shù)據(jù)，就可以建立一個模型。一般來說，去不同的數(shù)據(jù)，建立的模型也不一樣，即使都建立同類的GM(1,1)模型，選擇不同的數(shù)據(jù)，參數(shù)a,b的值也不一樣。這種變化，正是不同情況、不同條件對系統(tǒng)特征的影響在模型中的反映。例如我國的

糧食產(chǎn)量，若采用建國以來的數(shù)據(jù)建立GM(1,1)模型，發(fā)展系數(shù)-a偏小；而舍去1978年以前的數(shù)據(jù)，用剩余的數(shù)據(jù)建模，發(fā)展系數(shù)-a明顯增大。定義1設(shè)序列X?=(艸⑴，嚴(yán)2),...,叫))將?嚴(yán)何取為時間軸的原點，則稱tvn為過去，匸n為現(xiàn)在，t>n為未來。定義2設(shè)序列X<0)=(?o)(l),x(o)(2)，…,x(0)(/1)),丹)伙+l)=(l-^)(x(o)⑴—-)e~ak,a為其GM(1,1)時間相應(yīng)式的累減還原值，貝I」：當(dāng)FS時,稱x(0\t)為模型模擬值；當(dāng)時，稱臥⑴為模型預(yù)測值。建模的主要目的是預(yù)測，為提高預(yù)測精度，首先要保證有充分高的模擬精度，尤其是時的模擬精度。因此建模數(shù)據(jù)一般應(yīng)取為包括疋”⑺)在內(nèi)的一個等時距序列。定義3設(shè)原始數(shù)據(jù)序列X<o)=(?o)(l),x(o)(2),...,x(o)(n))用=(艸⑴，占(2)，…,嚴(yán)(”))建立的GM(1,1)模型稱為全數(shù)據(jù)GM(1,1)；%>1,用X? 伙°),嚴(yán)伙°+l),...,x⑼何)建立的GM(1,1)模型稱為部分?jǐn)?shù)據(jù)GM(1,1)；設(shè)兀％+1)為最新信息,將%+1)置入X?,稱用X?=(x⑹(1)￡>(2)，…,嚴(yán))(論％+1))建立的模型為新信息GM(1,1)；置入新信息x(o,(n+l),去掉最老信息x(o)(l),稱用x(0>=(x(o>(2) x(o)G),x(o)5+i?建立的模型為新陳代謝GM(l,l)o很顯然，新信息模型和新陳代謝模型預(yù)測效果會更好。任何一個系統(tǒng)隨著時間的推移，將會不斷地有一些隨機擾動或驅(qū)動因素進(jìn)入系統(tǒng)，使系統(tǒng)的發(fā)展受到影響。因此，在實際預(yù)測中，必須不斷地將每一個新數(shù)據(jù)置入，已考慮到這些隨機或驅(qū)動因素。相比之下，新陳代謝模型是最理想的模型。隨著系統(tǒng)的發(fā)展，老數(shù)據(jù)的信息意義將逐步降低，在不斷補充新信息的同時，及時地去掉老數(shù)據(jù)，建模序列更能反映系統(tǒng)在LI前的特征。四.GM(1,1)四.GM(1,1)模型的適用范可以證明，當(dāng)GM(1,1)的發(fā)展系數(shù)\a\>2時，GM(1,1)模型無意義。因此,(-oo,—2]52,+s)是GM(1,1)發(fā)展系數(shù)a的禁區(qū)。在此區(qū)間，GM(1,1)模型失去意義。一般地，當(dāng)Ialv2時，GM(1,1)模型有意義。但是，隨著a的不同取值，預(yù)測效果也不同。通過數(shù)值分析，有如下結(jié)論：當(dāng)-oSO.3時，GM(1,1)的1步預(yù)測精度在98%以上，2步和5步預(yù)測精度都在97%以上，可用于中長期預(yù)測；當(dāng)0.3<<0.5時，GM(1,1)的1步和2步預(yù)測精度都在90%以上，10步預(yù)測精度也高于80%,可用于短期預(yù)測，中長期預(yù)測慎用；當(dāng)0.5v-c/SO.8時，GM(1,1)用作短期預(yù)測應(yīng)十分慎重；當(dāng)0.8<fS1時,GM(1,1