四點共圓的判定與性質(zhì)

四點共圓的判定與性質(zhì)一、四點共圓的判定（一）判定方法1、若四個點到一個定點的距離相等，則這四個點共圓。2、若一個四邊形的一組對角互補（和為180°），則這個四邊形的四個點共圓。3、若一個四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，則這個四邊形的四個點共圓。4、若兩個點在一條線段的同旁，并且和這條線段的兩端連線所夾的角相等，那么這兩個點和這條線的兩個端點共圓。5、同斜邊的直角三角形的頂點共圓。6、若AB、CD兩線段相交于P點，且PAXPB=PCXPD,則A、B、C、D四點共圓（相交弦定理的逆定理）。7、若AB、CD兩線段延長后相交于P。且PAXPB=PCXPD,則A、B、C、D四點共圓（割線定理）。8、若四邊形兩組對邊乘積的和等于對角線的乘積，則四邊形的四個頂點共圓（托勒密定理的逆定理。（二）證明1、若四個點到一個定點的距離相等，則這四個點共圓。若可以判斷出OA=OB=OC=OD,則A、B、C、D四點在以O(shè)為圓心OA為半徑的圓上。乂弓2、若一個四邊形的一組對角互補（和為180°）,則這個四邊形的四個點共圓。若NA+NC=180?；騈B+ND=180。，則點A、B、C、D四點共圓。3、若一個四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，則這個四邊形的四個點共圓。若NB=NCDE,則A、B、C、D四點共圓證法同上。4、若兩個點在一條線段的同旁，并且和這條線段的兩端連線所夾的角相等，那么這兩個點和這條線的兩個端點共圓。若/AnND或/ABDnNACD,則A、B、C、D四點共圓。5,同斜邊的百用三角5,同斜邊的百用三角形的頂點共倒.如圖2,若NA=NC=90"，則A、B、C.D四點共躍6、若AB、CD兩線段相交于P點，且PAXPB=PCXPD,則A、B、C、D四點共圓（相交弦定理的逆定理）。7、若AB、CD兩線段延長后相交于P。且PAXPB=PCXPD,則A、B、C、D四點共圓（割線定理）。8、若四邊形兩組對邊乘積的和等于對角線的乘積，則四邊形的四個頂點共圓（托勒密定理的逆定理）。已知四邊形ABCD,若ABXCD+BDXAC=ADXBC,則A、B、C、D四點共圓。（三）例題1

225.225.如圖一，在&15匚中，分別以一41為直徑在△HC■外作半圓Q和半圓門二，其中Q和力：分別為兩個半圜的圓心.F是邊3。的中點,，點門和點￡分別為兩個半國圓弧的中點1口)連結(jié)。：尸.口口,0產(chǎn)一。尸.REEF,證明，&DO子MQE…<2>如圖二，過點兒分別作半感S和半國0的切線，交BD的延長線和CE的延長戰(zhàn)于虎P和點Q,連結(jié)PQ?^ZACB-?O\DB-SCE■孔求旗&PQ的長?<?)如圖三，過點W作平圓o的切線，交CE的延長線于點a邊點。作直線序的垂踐,交&口的延長線于點P，連結(jié)”證明：鼻是半建Q的切線.3如圖h 3如圖h 為等腰直為三角形，/XC3為直角，。為.二中點，三為邊上一動點，OFJ_DF交5c于F,U平分/員』。交多于MEY平分工W3C交DF于工*(1)求證】A/DEgACDH*(2)求證*Z3/CV=455*，⑴如圖匕當(dāng)CXLZJF時，延長UY交.?于R若期二季,試證明》的長是方程：F-:v-￡=O的一