中南大學(xué)自動控制理論第三章 控制系統(tǒng)的時域分析法33

3.3二階系統(tǒng)的時域分析10/6/20231一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型以下圖所示為穩(wěn)定的二階系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖。開環(huán)傳遞函數(shù)為:閉環(huán)傳遞函數(shù)為:-這是最常見的一種系統(tǒng)，很多高階系統(tǒng)也可簡化為二階系統(tǒng)。稱為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，稱為阻尼系數(shù)，稱為無阻尼振蕩圓頻率或自然頻率。10/6/20232特征根為：，注意：當(dāng)不同時，〔極點〕有不同的形式，其階躍響應(yīng)的形式也不同。二、二階系統(tǒng)的單位躍響應(yīng)〔有振蕩和非振蕩兩種情況〕特征方程為：⒈當(dāng)時，特征方程有一對共軛的虛根，稱為零(無)阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為持續(xù)的等幅振蕩。⒉當(dāng)時，特征方程有一對實部為負(fù)的共軛復(fù)根，稱為欠阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為衰減的振蕩過程。⒊當(dāng)時，特征方程有一對相等的實根，稱為臨界阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過程。⒋當(dāng)時，特征方程有一對不等的實根，稱為過阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過程。10/6/20233當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時，，有：[分析]：當(dāng)時，極點為：此時輸出將以頻率做等幅振蕩，所以，稱為無阻尼振蕩圓頻率。10/6/20234兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)階躍響應(yīng)為：當(dāng)時，極點為：極點的負(fù)實部決定了指數(shù)衰減的快慢，虛部是振蕩頻率。稱為阻尼振蕩圓頻率。10/6/20235兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)階躍響應(yīng)函數(shù)為：當(dāng)時，極點為：10/6/20236兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)當(dāng)時，極點為：即特征方程為特征方程還可為10/6/20237兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)因此過阻尼二階系統(tǒng)可以看作兩個時間常數(shù)不同的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，其單位階躍響應(yīng)為于是閉環(huán)傳函為：這里，式中10/6/20238

上述四種情況分別稱為二階無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng)。其阻尼系數(shù)、特征根、極點分布和單位階躍響應(yīng)如下表所示：單位階躍響應(yīng)極點位置特征根阻尼系數(shù)單調(diào)上升兩個互異負(fù)實根單調(diào)上升一對負(fù)實重根

衰減振蕩一對共軛復(fù)根(左半平面）

等幅周期振蕩一對共軛虛根

典型兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)10/6/20239典型兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)可以看出：隨著的增加，c(t)將從無衰減的周期運動變?yōu)橛兴p的正弦運動，當(dāng)時c(t)呈現(xiàn)單調(diào)上升運動(無振蕩)?？梢姺从硨嶋H系統(tǒng)的阻尼情況，故稱為阻尼系數(shù)。10/6/202310三、動態(tài)過程分析〔一〕欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)分析：⒈上升時間：根據(jù)定義，當(dāng)時，。解得：10/6/202311稱為阻尼角，這是由于。2、延遲時間10/6/2023123.峰值時間：當(dāng)時，整理得：由于出現(xiàn)在第一次峰值時間，取n=1，有：其中10/6/20231310/6/2023144.最大超調(diào)量：故：將峰值時間代入10/6/20231510/6/2023165.調(diào)節(jié)時間：可見，寫出調(diào)節(jié)時間的表達(dá)式是困難的。由右圖可知響應(yīng)曲線總在一對包絡(luò)線之內(nèi)。包絡(luò)線為根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義，當(dāng)t≥ts時|c(t)-c(∞)|≤c(∞)×Δ%。10/6/202317當(dāng)t=t’s時，有：由于實際響應(yīng)曲線的收斂速度比包絡(luò)線的收斂速度要快因此可用包絡(luò)線代替實際響應(yīng)來估算調(diào)節(jié)時間。即認(rèn)為響應(yīng)曲線的包絡(luò)線進入誤差帶時，調(diào)整過程結(jié)束。10/6/202318當(dāng)較小時，近似?。?，且所以10/6/202319衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)10/6/202320衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)10/6/202321衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)由分析知，在之間，調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量都較小。工程上常取作為設(shè)計依據(jù)，稱為最佳阻尼常數(shù)。10/6/202322非振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)(二〕過阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)分析1、延遲時間2、上升時間3、調(diào)節(jié)時間10/6/202323非振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)10/6/202324非振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)當(dāng)時，系統(tǒng)也具有單調(diào)非振蕩的瞬間過程，是單調(diào)非振蕩的臨界狀態(tài)。在非振蕩過程中，它的最小。通常，都希望控制系統(tǒng)有較快的響應(yīng)時間，即希望希統(tǒng)的阻尼系數(shù)在0~1之間。而不希望處于過阻尼情況，因為調(diào)節(jié)時間過長。但對于一些特殊的系統(tǒng)不希望出現(xiàn)超調(diào)系統(tǒng)（如液位控制）和大慣性系統(tǒng)（如加熱裝置），則可以處于情況。當(dāng)時，極點遠(yuǎn)離虛軸，且c(t)中包含極點s2的衰減項的系數(shù)小，所以由極點s2引起的指數(shù)項衰減的很快，因此，在瞬態(tài)過程中可以忽略s2的影響，把二階系統(tǒng)近似為一階系統(tǒng)。10/6/202325小結(jié)當(dāng)wn一定，要減小tr和tp，必須減少z值，要減少ts那么應(yīng)增大zwn值，而且z值有一定范圍，不能過大增大wn，能使tr，tp和ts都減少最大超調(diào)量sp只由z決定，z越小，sp越大。10/6/202326阻尼系數(shù)是二階系統(tǒng)的一個重要參數(shù)，用它可以間接地判斷一個二階系統(tǒng)的瞬態(tài)品質(zhì)。在的情況下瞬態(tài)特性為單調(diào)變化曲線，無超調(diào)和振蕩，但長。當(dāng)時，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。[總結(jié)]在欠阻尼情況下工作時，若過小，則超調(diào)量大，振蕩次數(shù)多，調(diào)節(jié)時間長，瞬態(tài)控制品質(zhì)差。注意到只與有關(guān)，所以一般根據(jù)來選擇。越大，（當(dāng)一定時）為了限制超調(diào)量，并使較小，一般取0.4~0.8，則超調(diào)量在25%~1.5%之間。10/6/202327阻尼系數(shù)、阻尼角與最大超調(diào)量的關(guān)系zb=cos-1zd%zb=cos-1zd%0.184.26°72.90.6950.278.46°52.70.745.57°4.60.372.54°37.230.70745°4.30.466.42°25.380.7820.560°16.30.836.87°1.50.653.13°9.840.925.84°0.1510/6/202328瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)例子[例]：求系統(tǒng)的特征參數(shù)并分析與性能指標(biāo)的關(guān)系：[解]：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：時，?？焖傩院?，振蕩加??；時，下面分析瞬態(tài)性能指標(biāo)和系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系：（假設(shè)）10/6/202329四、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)

輸入信號為單位斜坡函數(shù)時，系統(tǒng)輸出為：10/6/20233010/6/20233110/6/202332

〔2〕臨界阻尼單位斜坡響應(yīng)10/6/202333

〔3〕過阻尼單位斜坡響應(yīng)10/6/202334改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施五、改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施二階系統(tǒng)超調(diào)產(chǎn)生過程[0,t1]誤差信號為正，產(chǎn)生正向修正作用，以使誤差減小，但因系統(tǒng)阻尼系數(shù)小，正向速度大，造成響應(yīng)出現(xiàn)正向超調(diào)。[t1,t2]誤差信號為負(fù)，產(chǎn)生反向修正作用，但開始反向修正作用不夠大，經(jīng)過一段時間才使正向速度為零，此時輸出到達(dá)最大值。[t2,t3]誤差信號為負(fù)，此時反向修正作用，大，使輸出返回過程中又穿過穩(wěn)態(tài)值，出現(xiàn)反向超調(diào)。[t3,t4]誤差信號為正，產(chǎn)生正向修正作用，但開始正向修正作用不夠大，經(jīng)過一段時間才使反向速度為零，此時輸出到達(dá)反向最大值。10/6/202335改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施二階系統(tǒng)超調(diào)產(chǎn)生原因[0,t1]正向修正作用太大，特別在靠近t1點時。[t1,t2]反向修正作用缺乏。減小二階系統(tǒng)超調(diào)的思路[0,t1]減小正向修正作用。附加與原誤差信號相反的信號。[t1,t2]加大反向修正作用。附加與原誤差信號同向的信號。[t2,t3]減小反向修正作用。附加與原誤差信號相反的信號。[t3,t4]加大正向修正作用。附加與原誤差信號同向的信號。即在[0,t2]內(nèi)附加一個負(fù)信號，在[t2,t4]內(nèi)附加一個正信號。減去輸出的微分或加上誤差的微分都具有這種效果。10/6/202336改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施a.輸出量的速度反響控制--+-b.誤差的比例+微分控制將輸出量的速度信號c’(t)采用負(fù)反響形式反響到輸入端并與誤差信號e(t)比較，構(gòu)成一個內(nèi)反響回路。簡稱速度反響。以誤差信號e(t)與誤差信號的微分信號e’(t)的和產(chǎn)生控制作用。簡稱PI控制。又稱微分順饋為了改善系統(tǒng)性能而改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)或附加具有一定功能的環(huán)節(jié)的方法稱為對系統(tǒng)進行校正。附加環(huán)節(jié)稱為校正環(huán)節(jié)。速度反響和速度順饋是較常用的校正方法。10/6/202337改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施a.輸出量的速度反響控制---與典型二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式比較⒈不改變無阻尼振蕩頻率⒉等效阻尼系數(shù)為由于，即等效阻尼系數(shù)加大，將使超調(diào)量δ%和調(diào)節(jié)時間ts變小。10/6/202338改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施+-b.誤差的比例+微分控制-與典型二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式比較⒈不改變無阻尼振蕩頻率⒉等效阻尼系數(shù)為由于，即等效阻尼系數(shù)加大，將使超調(diào)量δ%和調(diào)節(jié)時間ts變小。⒊閉環(huán)傳遞函數(shù)有零點，將會給系統(tǒng)帶來影響。10/6/202339改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施c.比例+微分控制與速度反響控制的關(guān)系--比例+微分控制相當(dāng)于分別對輸入信號和反響信號進行比例+微分。其中對反響信號進行比例+微分相當(dāng)于速度反響。所以誤差的比例+微分控制相當(dāng)于輸出的速度反響構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)再串聯(lián)比例+微分環(huán)節(jié)。因此可以將其分別討論。-10/6/202340具有零點的二階系統(tǒng)零極點分布圖四、具有零點的二階系統(tǒng)分析具有零點的二階系統(tǒng)比典型的二階系統(tǒng)多一個零點，(和不變)。其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：，零點為：具有零點的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：10/6/202341由上圖可看出：使得比響應(yīng)迅速且有較大超調(diào)量。具有零點的二階系統(tǒng)分析10/6/202342設(shè)為零點和極點實部之比具有零點的二階系統(tǒng)分析10/6/202343具有零點的二階系統(tǒng)分析具有零點的二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)為：式中：，零極點分布圖10/6/202344具有零點的二階系統(tǒng)分析根據(jù)上式可以得出主要性能指標(biāo)如下：式中：，，10/6/202345具有零點的二階系統(tǒng)分析具有零點的二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)為：10/6/202346比例+微分控制的性能+-比例+微分控制的性能顯然，這是一個典型二階環(huán)節(jié)加微分順饋。不同的是其原二階環(huán)節(jié)的阻尼系數(shù)增加了，變?yōu)?，而無阻尼振蕩頻率不變。我們知道，當(dāng)阻尼系數(shù)不變時，附加零點會使系統(tǒng)的超調(diào)量增大。但是，增加了順饋環(huán)節(jié)雖然增加了一個零點，卻使系統(tǒng)的阻尼系數(shù)增加了。一般來講，超調(diào)量會下降。這樣，就能改善系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。10/6/202347具有零點的二階系統(tǒng)分析10/6/202348我們可以不證明地給出c(t)的緊湊形式：20根據(jù)上式可以得出主要性能指標(biāo)如下：①②③具有零點的二階系統(tǒng)分析10/6/202349瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)例3-1[解]：①③當(dāng)T不變時，T=0.25，②[例3-1]：如圖所示系統(tǒng)，試求：①和;②和③若要求時，當(dāng)T不變時K=?10/6/202350瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)例3-2[解]：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：[例3-2]：上例中，用速度反饋改善系統(tǒng)的性能。如下圖所示。為使，求的值。并計算加入速度反饋后的瞬態(tài)指標(biāo)。--1610/6/202351這時的瞬態(tài)性能指標(biāo)為：瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)例3-2顯然，加入了速度反饋后，不變，而增加了倍。上例中，若要求