江蘇省蘇州五中2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

江蘇省蘇州五中2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的直角梯形，其中BC=AB=2，則原平面圖形的面積為（）A. B.C. D.2．17世紀(jì)，在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法，數(shù)學(xué)家拉普拉斯稱(chēng)贊為“對(duì)數(shù)的發(fā)明在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長(zhǎng)了許多倍”.已知，，設(shè)，則所在的區(qū)間為（）A. B.C. D.3．已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，則D.若，則4．方程的實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間是（）A. B.C. D.5．下列集合與集合相等的是（）A. B.C. D.6．已知a=1.50.2，b=log0.21.5，c=0.21.5，則（）A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.a>c>b7．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是增函數(shù)又是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.8．在直角梯形中，，，，分別為，的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓交于，點(diǎn)在弧上運(yùn)動(dòng)（如圖）.若，其中，，則的取值范圍是A. B.C. D.9．定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)恒滿(mǎn)足，且時(shí)，，則（）A. B.C.1 D.10．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積是（）A.12512πC.1256π二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任都有，則m的取值范圍是_________12．已知集合，則的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.13．設(shè)函數(shù)；若方程有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是__________14．已知函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______15．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________16．已知，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知全集為實(shí)數(shù)集R，集合，求，；已知集合，若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍18．已知向量，滿(mǎn)足，，.（1）求向量與夾角；（2）求的值.19．溶液酸堿度是通過(guò)pH計(jì)量的.pH的計(jì)算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升.（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)及上述的計(jì)算公式，說(shuō)明溶液酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的變化關(guān)系；（2）已知胃酸中氫離子的濃度為摩爾/升，計(jì)算胃酸的.（精確到）（參考數(shù)據(jù)：）20．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)取值范圍.21．（1）計(jì)算：；（2）已知，，求證：

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】先求出直觀圖中，∠ADC=45°，AB=BC=2，，DC=4，即可得到原圖形是一個(gè)直角梯形和各個(gè)邊長(zhǎng)及高，直接求面積即可.【題目詳解】直觀圖中，∠ADC=45°，AB=BC=2，DC⊥BC，∴，DC=4，∴原來(lái)的平面圖形上底長(zhǎng)為2，下底為4，高為的直角梯形，∴該平面圖形的面積為.故選：C2、C【解題分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出，由此可得答案.【題目詳解】,所以.故選：C3、B【解題分析】利用不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【題目詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，，則，故，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，，則，所以，，故，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，則，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，所以，，D錯(cuò).故選：B.4、B【解題分析】令，因?yàn)?，且函?shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故方程的解所在的區(qū)間是，故選B.5、C【解題分析】根據(jù)各選項(xiàng)對(duì)于的集合的代表元素，一一判斷即可；【題目詳解】解：集合，表示含有兩個(gè)元素、的集合，對(duì)于A：，表示含有一個(gè)點(diǎn)的集合，故不相等；對(duì)于B：，表示的是點(diǎn)集，故不相等；對(duì)于C：，表示方程的解集，因?yàn)榈慕鉃?，或，所以?duì)于D：，故不相等故選：C6、D【解題分析】由對(duì)數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【題目詳解】因?yàn)?，所以故選：D7、D【解題分析】在定義域每個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)，排除.是非奇非偶函數(shù)，排除.故選.8、D【解題分析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F(xiàn)（1，1.5），P（cosα，sinα）（0≤α），由λμ得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，），λ，μ用參數(shù)α進(jìn)行表示，利用輔助角公式化簡(jiǎn)，即可得出結(jié)論【題目詳解】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F(xiàn)（1，1.5），P（cosα，sinα）（0≤α），由λμ得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，）?cosα＝2λ﹣μ，sinα＝λ?λ，∴6λ+μ＝6（）2（sinα+cosα）＝2sin（）∵，∴sin（）∴2sin（）∈[2，2]，即6λ+μ的取值范圍是[2，2]故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確利用坐標(biāo)系是關(guān)鍵．屬于中檔題9、B【解題分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和等量關(guān)系，求出函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，利用函數(shù)的周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可【題目詳解】解：奇函數(shù)恒滿(mǎn)足，，即，則，即，即是周期為4的周期函數(shù)，所以，故選：B10、C【解題分析】由矩形的對(duì)角線互相平分且相等即球心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等推出球心為AC的中點(diǎn)，即可求出球的半徑，代入體積公式即可得解.【題目詳解】因?yàn)榫匦螌?duì)角線互相平分且相等，根據(jù)外接球性質(zhì)易知外接球球心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以球心在對(duì)角線AC上，且球的半徑為AC長(zhǎng)度的一半，即r=12AC=故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查球與幾何體的切、接問(wèn)題，二面角的概念，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、，【解題分析】作出當(dāng)，時(shí)，的圖象，將其圖象分別向左、向右平移個(gè)單位（橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的或2倍），得到函數(shù)的圖象，令，求得的最大值，可得所求范圍【題目詳解】解：因?yàn)闈M(mǎn)足，即；又由，可得，畫(huà)出當(dāng)，時(shí)，的圖象，將在，的圖象向右平移個(gè)單位（橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍），再向左平移個(gè)單位（橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍），由此得到函數(shù)的圖象如圖：當(dāng)，時(shí)，，，，又，所以，令，由圖像可得，則，解得，所以當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足對(duì)任意的，，都有，故的范圍為，故答案為：，12、5【解題分析】直接求出集合A、B，再求出，即可得到答案.【題目詳解】因?yàn)榧?，集合，所以，所以的元素個(gè)數(shù)為5.故答案為：5.13、【解題分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式作出函數(shù)圖象，將方程有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有一個(gè)交點(diǎn)，然后數(shù)形結(jié)合即可求解.【題目詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖：結(jié)合圖象可得：，故答案為：.14、【解題分析】求出二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，即可得的單增區(qū)間，即可求解.【題目詳解】函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是，開(kāi)口向上，若函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)，則，故答案為：15、【解題分析】反比例函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，還要滿(mǎn)足在上單調(diào)遞增，故求出結(jié)果【題目詳解】函數(shù)根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得：在區(qū)間上單調(diào)遞減要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞增則，解得故實(shí)數(shù)的取值范圍是【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，需要注意反比例函數(shù)在每個(gè)象限內(nèi)是單調(diào)遞減的，而在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞減的16、【解題分析】利用商數(shù)關(guān)系，由得到代入求解.【題目詳解】方法一：，則.方法二：分子分母同除，得.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)；(2).【解題分析】(1)借助題設(shè)條件求集合,再求其交集與補(bǔ)集；(2)借助題設(shè)運(yùn)用數(shù)軸分類(lèi)建立不等式組求解.試題解析：（1），（2）(i)當(dāng)時(shí)，，此時(shí).（ii）當(dāng)時(shí)，，則綜合（i）（ii），可得的取值范圍是考點(diǎn)：函數(shù)的定義域集合的運(yùn)算等有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用.18、（1）（2）【解題分析】（1）先求得，然后利用夾角公式求得向量與的夾角.（2）利用平方的方法求得的值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)向量與的夾角為，由于，所以.所以，由于，所以.【小問(wèn)2詳解】.19、（1）溶液中氫離子的濃度越大，溶液的酸性就越強(qiáng)（2）【解題分析】（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷說(shuō)明；（2）由已知公式計(jì)算【小問(wèn)1詳解】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，有.在上，隨著的增大，減小，相應(yīng)地，也減小，即減小，所以，隨著的增大，減小，即溶液中氫離子的濃度越大，溶液的酸性就越強(qiáng).【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，.20、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解題分析】（1）先由三角恒等變換化簡(jiǎn)解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出單調(diào)區(qū)間；（2）由的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)的定義求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由得故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.由得故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為【小問(wèn)2詳解】由（1）