2023-2024學(xué)年湖南省部分學(xué)校高二上學(xué)期8月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年湖南省部分學(xué)校高二上學(xué)期8月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知集合U={?3,?2A.{?2,?1,0,12.復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)為?2,?1，則A.5 B.2 C.2 3.將一個(gè)棱長為1的正方體鐵塊磨制成一個(gè)球體零件，則可能制作的最大零件的體積為(

)A.4π3 B.6π8 4.已知向量a=(1,1)，b=A.8 B.?8 C.2 D.5.如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABA.13 B.23 C.1 6.設(shè)點(diǎn)Px,y滿足ax+by+c=0A.

充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.過點(diǎn)0,?2與圓x2+y2A.15 B.14 C.?18.已知a>0，若函數(shù)fx=ax2?A.1,+∞ B.1,+∞二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知x，y是正數(shù)，且x+y=2，下列敘述正確的是

A.xy最大值為1 B.2x+2y有最大值4

C.x+10.2022年10月22日，黨的二十大勝利閉幕．為了更好的學(xué)習(xí)二十大精神，某市市委宣傳部面向全市各部門開展了二十大宣講活動(dòng)．某部門為了鞏固活動(dòng)成果，面向其下屬甲、乙、丙三個(gè)單位開展“領(lǐng)悟二十大精神”知識競賽，競賽成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照[50,60)，[60,70)，[70,A.a=0.03 B.眾數(shù)為80

C.第71百分位數(shù)是82 D.11.已知直線l：x?my+A.直線l的斜率可以等于0

B.若直線l與y軸的夾角為30°，則m=33或m=?33

C.直線l12.如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1A.存在點(diǎn)Q，使得C1Q//A1C

B.存在

點(diǎn)Q，使得C1Q⊥A1C

C.對于任意點(diǎn)Q三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知直線l:x+y?1=0：與圓C14.為了得到函數(shù)y=sinx+π3的圖象，只需把函數(shù)y=cosx的圖象向15.在正四棱錐P?ABCD中，PB=AB=1，點(diǎn)M16.已知圓C1:x2+y2?kx?y=0和圓四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)如圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染．某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，次日離開．

(1(2)求此人在該市停留期間恰有118.(本小題12.0分)直線l過點(diǎn)P3,2且與x軸、y軸正半軸分別交于A

(1)若直線與直線2x(2)如圖，若AP=2PB，過點(diǎn)P作平行于x軸的直線交y軸于點(diǎn)M，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在線段MP和O19.(本小題12.0分)已知銳角?ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.(1)求角(2)若c=120.(本小題12.0分)

如圖，在四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠AB21.(本小題12.0分)已知圓O:x2+y2=4，過點(diǎn)P(?22,0)的直線

(1)求直線l

的(2)?ABO的面積為S22.(本小題12.0分)已知函數(shù)f(x)(1)若函數(shù)y=f((2)記g(x)=f(x)x，若y=g答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】先求出集合

A

，再根據(jù)補(bǔ)集的定義即可得解．解：由

x+2x?1≤0

，得

又因?yàn)?/p>

U=?3,?2故選：C．2.【答案】B

【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何含義以及復(fù)數(shù)模長的定義計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)

z

所對應(yīng)的點(diǎn)為

?2,?1

，所以所以

z+i所以|故選：B．3.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出該正方體的內(nèi)切球的體積即可作答．解：棱長為1的正方體鐵塊磨制成一個(gè)球體零件，當(dāng)磨成的球是這個(gè)正方體的內(nèi)切球時(shí)，球體零件體積最大，此時(shí)球體的半徑為

r=12

，球體的體積為

故選：C4.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)題意，由平面向量垂直的坐標(biāo)表示即可求得

λ

．解：由

a=1,1

，

b=2,?1

因?yàn)?/p>

λa+2b⊥a?b

，所以故選：A．5.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算及空間向量基本定理求出

x

、

y

、

z

，即可得解．解：因?yàn)?/p>

EC=2PE

所以

A=23又

AE=所以

x=13y=1故選：D．6.【答案】B

【解析】【分析】根據(jù)幾何意義，將所求式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而研究圖像求解．解：若

x+2即點(diǎn)

Px,y

到直線

顯然，這兩條直線平行，如圖，

所以當(dāng)點(diǎn)

Px,y

在與這兩條直線平行的直線上時(shí)，此時(shí)直線

ax+by+c=即

b=2a

，且

a≠0,所以“

b=2a

”是“

故選：B7.【答案】A

【解析】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，記點(diǎn)

P0,?2

，求出

PC

，在

Rt?PBC解：圓

x2+y2?2x?1=0

可化為

設(shè)

P0,?2

，切線為

PA

、

PB

在

Rt?PBC

中，

sinα故選：A．8.【答案】B

【解析】【分析】本題考查利用分段函數(shù)存在最小值求參數(shù)的取值范圍，分析每支函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題．分

0<a≤12

、

12<a<1

、

a=1

、

a>1

四種情況討論，分析函數(shù)

fx

在區(qū)間

解：①當(dāng)

0<a≤12

時(shí)，二次函數(shù)

fx此時(shí)函數(shù)

fx

在區(qū)間

?∞,1

上單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)

fx=ax?1?1

在區(qū)間若使得函數(shù)

fx=ax2?x,x≤②當(dāng)

12<a<1

時(shí)，二次函數(shù)

fx此時(shí)函數(shù)

fx

在區(qū)間

?∞,1

上的最小值為函數(shù)

fx=ax?1?1

在區(qū)間若使得函數(shù)

fx=ax2?x,x≤③當(dāng)

a=1

時(shí)，函數(shù)

f則函數(shù)

fx

在區(qū)間

?∞,1

上的最小值為當(dāng)

x∈1,+∞

此時(shí)，函數(shù)

fx=④當(dāng)

a>1

時(shí)，二次函數(shù)

fx=ax此時(shí)函數(shù)

fx

在區(qū)間

?∞,1

上的最小值為函數(shù)

fx=ax?1?1

在區(qū)間若使得函數(shù)

fx=ax2?x,x≤1ax?綜上所述，實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是

1,+故選：B．9.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，由基本不等式對選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果．解：

∵x

，

y

是正數(shù)，

2=x+y≥2xy

，當(dāng)且僅當(dāng)2x+2y≥22x?2y=2因?yàn)?/p>

(x+y)2=x+y+對于D，

1x+4y=121故選：AC10.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，小矩形面積之和為1可判斷A；利用眾數(shù)的定義可判斷B；根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算公式可判斷C；利用平均數(shù)的計(jì)算公式可判斷D．解：對于A，根據(jù)頻率分布直方圖可知，

0.010+0.015+0.040+a+0.005對于B，眾數(shù)的估計(jì)值為75，故B錯(cuò)誤；對于C，前三組數(shù)據(jù)的頻率之和為

0.010+0.015前四組數(shù)據(jù)的頻率之和為

0.010+0.015則設(shè)第71百分位數(shù)是

x,x所以

0.65+x?80×0.030=0.71

，解得

x對于D，由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)為

0.010×10×55故選：AC11.【答案】BD【解析】【分析】本題考查直線過定點(diǎn)問題，直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，直線方程的應(yīng)用，屬于較易題．

根據(jù)題意由直線的相關(guān)知識，逐個(gè)分析即可．【解答】

解：當(dāng)m=0時(shí)，直線l的斜率不存在，

當(dāng)m≠0時(shí)，直線l的斜率為1m，不可能等于0，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

∵直線l與y軸的夾角為30°，

∴直線l的傾斜角為60°或120°，

∴直線l的斜率為1m，

∴1m=tan60°=3或1m=tan120°=?3，

∴m=33或m=?33，

故B選項(xiàng)正確；

直線l的方程可化為(12.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，以

A

為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，對選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果．解：由題知，在正方體

ABCD?A1B1C1建立以

A

為原點(diǎn)，分別以

AB

，

AD

，

AAI

的方向?yàn)?/p>

x

軸、

y

軸、

z

軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系

所以

A10,0,1

，

C1,1,0

，

所以

C1Q=?1,當(dāng)

C1Q=λA1C

，即

所以不存在

λ

使得

C1Q=λA1C

，即不存在點(diǎn)

Q

當(dāng)

C1Q?A1C=?因?yàn)?/p>

A1Q=(0,所以點(diǎn)

Q

到

A1C

的距離為=2a?因?yàn)?/p>

QC=1,0,?a

，所以

cosQC所以三角形

A1CQ

故選：BC13.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意，利用圓的弦長公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解．解：由圓

C:x?32+y+42又由圓心

C

到直線

l:x+y?1根據(jù)圓的弦長公式，可得

AB=故答案為：

2314.【答案】右(或左)π6

(或

π6+2kπ

，

k∈Z

中的任何一個(gè)值)(或

11π6

【解析】【分析】首先變形

y=cosx=sinx解：函數(shù)

y=cosx=sinx所以

y=cosx

的圖象向右平移

π6

個(gè)單位長度，或是向右平移

π6+2kπ

或是

y=cosx=sinx所以

y=cosx

的圖象向左平移

11π6

個(gè)單位長度，或是向左平移

11π6+2k故答案為：右；

π6

(或

π6+2kπ

，

k∈Z

中的任何一個(gè)值)；或左；

11π6

(15.【答案】3【解析】【分析】作出輔助線，得到

∠BMO

為異面直線

PA

和

BM

所成的角或其補(bǔ)角，根據(jù)邊長求出

∠M解：如圖，連接

AC,BD

相交于

O

，連接

OM

，則

O

又

M

為

PC

的中點(diǎn)，所以

OM所以

∠BMO

為異面直線

PA

和又

?PCB

為等邊三角形，且邊長為1，故

又

OM=12PA=12

所以

∠MOB=90°異面直線

PA

和

BM

所成的角的余弦值為

故答案為：

3316.【答案】45【解析】【分析】利用圓與圓之間的關(guān)系求出公共直線所過的定點(diǎn)，將其代入

mx+ny=2

中，用

m

表示

n解：由圓

C1:x2+y可得圓

C1

和

C2

的公共弦所在的直線方程為

k聯(lián)立

x?2y=0y?1=0又因?yàn)辄c(diǎn)

M

在直線

mx+ny=2所以

n=2所以

m2+當(dāng)

m=45

取等號，所以

m2+n故答案為：

45

17.【答案】解：(1)由圖看出，1日至13日這13天的時(shí)間內(nèi)，空氣質(zhì)量重度污染的是5日、8日共故此人到達(dá)當(dāng)日該市空氣重度污染的概率為

213

(2)此人在該市停留兩天的空氣質(zhì)量指數(shù)的所有情況為

86,25

，

25,57

，

57,143

，

143,220

，

220,160

，

160,40

，

40,217

，

217,160

，

160,121其中只有1天空氣重度污染的是

143,220

，

220,160

，

40,217

，故此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率為

413

【解析】【分析】(1(2)明確此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的事件等價(jià)于此人在4日或5日或7日或18.【答案】解：(1)由題設(shè)直線

l:3x?2y+C解得

C=?5

，故直線

(2)因?yàn)?/p>

AP=2PB

，設(shè)

Aa,0

，

B0,b

即有

3?a可得

a=9

，

b=3

，

M0,2

，

梯形

AOMP

的面積為

12×2×3設(shè)

Em,2

，

Fn,0

，可得

1當(dāng)

m≠n

時(shí)，直線

EF

的方程為

將

n=6?m

代入上式可得由

y?1=06y+2x?12=0

當(dāng)

m=n=3

時(shí)，

EF

的方程為

x=3

，

EF

過點(diǎn)

3,1

【解析】【分析】(1)由題設(shè)直線

l:3x?2y+C(2)設(shè)

Aa,0

，

B0,b

，根據(jù)

AP=2PB

求出

a

、

b

，從而求出直角梯形

OAPM

的面積，設(shè)

Em,2

，

Fn,0

，依題意可得

m19.【答案】解：(1)因?yàn)?/p>

2可得

acosC由正弦定理得

sinAcos又因?yàn)?/p>

sinB=可得

3sin且

C∈0,π2

，則

sinC>0

，可得又因?yàn)?/p>

A∈0,π2

，則

A?π6∈?(2)由正弦定理

bsinB=c則

?ABC

=3因?yàn)?/p>

?ABC

為銳角三角形，故

0<C<所以

tanC>33

，則

0<所以

S?ABC

的取值范圍為

【解析】【分析】(1(2)根據(jù)題意利用正弦定理和面積公式，并結(jié)合三角恒等變換可得

S?ABC=20.【答案】解：(1)證明：四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，AA1，CC1延長后交于一點(diǎn)，故A，C，C1，A1共面，

因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，故AA?1⊥BD，

連接AC，

因?yàn)榈酌嫠倪呅蜛BCD為菱形，故AC⊥BD，

又AA1∩AC=A，AA1，AC?平面ACC1A1，

故BD⊥平面ACC1A1，

因?yàn)镃C1?平面ACC1A1，

所以BD⊥CC1；

(2)過點(diǎn)A作BC的垂線交BC于點(diǎn)N，以AN方向作為x軸，以【解析】本題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，二面角的求法，屬于中檔題．

(1)連接AC，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得到AA1⊥BD，再根據(jù)線面垂直的判定定理得到BD⊥平面ACC1A1，進(jìn)而證明BD⊥CC1；

(2)過點(diǎn)A作BC的垂線交B21.【答案】解：(1)解法一；設(shè)直線

l

的斜率為

k

，則直線

l

的方程：

y由題意知：圓心到直線的距離

d=2因?yàn)橹本€

l

與圓

O

相交于不重合的

A,B

兩點(diǎn)，且

A所以

0<22kk2+1<2

.得所以

k

的取值范圍為

?1,解法二：設(shè)直線

l

的斜率為

k

，則直線

l

的方程：

y=k聯(lián)立

y=kx+2Δ=32k4?4因?yàn)?/p>

A,B,O

三點(diǎn)構(gòu)成三角形，所以所以

k

的取值范圍為

?1,(2)直線

l:y=k點(diǎn)

O

到直線

l

距離：

d=2所以

AB=所以

S=12ABd設(shè)

k2+1=t1所以

S=4所以當(dāng)

1t=34

，即

t=43

，即

所以

S

的最大值為2