遼寧省大連市一0三中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一上期末達標檢測試題含解析

遼寧省大連市一0三中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一上期末達標檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．定義運算：，則函數(shù)的圖像是（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)，若存在互不相等的實數(shù)，，滿足，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知三個函數(shù)，，的零點依次為、、，則A. B.C. D.4．函數(shù)（，且）的圖象恒過定點，且點在角的終邊上，則（）A. B.C. D.5．設(shè)函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，且，則（）A. B.C. D.6．設(shè)集合A={-2，1}，B={-1，2}，定義集合AB={x|x=x1x2，x1∈A，x2∈B}，則AB中所有元素之積A.-8B.-16C.8D.167．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是A. B.C. D.8．若函數(shù)，，則函數(shù)的圖像經(jīng)過怎樣的變換可以得到函數(shù)的圖像①先向左平移個單位，再將橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標保持不變.②先向左平移個單位，再將橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標保持不變.③將橫坐標縮短到原來的倍，再向左平移個單位，縱坐標保持不變.④將橫坐標縮短到原來的倍，再向左平移個單位，縱坐標保持不變.A.①③ B.①④C.②③ D.②④9．函數(shù)f(x)=|x-2|-lnx在定義域內(nèi)零點的個數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.310．若集合，則A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．不等式tanx+12．如圖，扇形的面積是，它的周長是，則弦的長為___________.13．將函數(shù)y=sin2x+π4的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的14．已知為第二象限角，且，則_____15．某種商品在第天的銷售價格（單位：元）為，第x天的銷售量（單位：件）為，則第14天該商品的銷售收入為________元，在這30天中，該商品日銷售收入的最大值為________元.16．命題“”的否定是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)全集，已知函數(shù)的定義域為集合A，函數(shù)的值域為集合B.（1）求；（2）若且,求實數(shù)a的取值范圍.18．已知集合，B=[3，6].（1）若a=0，求；（2）xB是xA的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.19．某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮，這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼蓮覆蓋面積為24m2，三月底測得覆蓋面積為36m2，鳳眼蓮覆蓋面積y（單位：m2）與月份x（單位：月）的關(guān)系有兩個函數(shù)模型與可供選擇（1）試判斷哪個函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；（2）求鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入面積10倍以上的最小月份（參考數(shù)據(jù)：lg2≈03010，lg3≈0.4771）20．人口問題是世界普遍關(guān)注的問題，通過對若干個大城市的統(tǒng)計分析，針對人口密度分布進行模擬研究，發(fā)現(xiàn)人口密度與到城市中心的距離之間呈現(xiàn)負指數(shù)關(guān)系．指數(shù)模型是經(jīng)典的城市人口密度空間分布的模型之一，該模型的計算是基于圈層距離法獲取距城市中心距離和人口密度數(shù)據(jù)的，具體而言就是以某市中心位置為圓心，以不同的距離為半徑劃分圈層，測量和分析不同圈層中的人口狀況．其中x是圈層序號，將圈層序號是x的區(qū)域稱為“x環(huán)”（時，1環(huán)表示距離城市中心0～3公里的圈層；時，2環(huán)表示距離城市中心3～6公里的圈層；以此類推）；是城市中心的人口密度（單位：萬人/平方公里），為x環(huán)的人口密度（單位：萬人/平方公里）；b為常數(shù)；．下表為某市2006年和2016年人口分布的相關(guān)數(shù)據(jù)：年份b20062.20.1320162.30.10（1）求該市2006年2環(huán)處的人口密度（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留一位小數(shù)）；（2）2016年該市某環(huán)處的人口密度為市中心人口密度的，求該環(huán)是這個城市的多少環(huán)．（參考數(shù)據(jù)：）21．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I，對于區(qū)間，若，x2∈D（x1＜x2）滿足f（x1）＋f（x2）＝1，則稱區(qū)間D為函數(shù)f（x）的V區(qū)間（1）證明：區(qū)間（0，2）是函數(shù)的V區(qū)間；（2）若區(qū)間[0，a]（a＞0）是函數(shù)的V區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍；（3）已知函數(shù)在區(qū)間[0，＋∞）上的圖象連續(xù)不斷，且在[0，＋∞）上僅有2個零點，證明：區(qū)間[π，＋∞）不是函數(shù)f（x）的V區(qū)間

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】先求解析式，再判斷即可詳解】由題意故選：A【題目點撥】本題考查函數(shù)圖像的識別，考查指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，是基礎(chǔ)題2、D【解題分析】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)題意，得到，結(jié)合圖象求出的范圍，即可得出結(jié)果.【題目詳解】假設(shè)，作出的圖象如下；由，所以，則令，所以，由，所以，所以，故.故選：D.【題目點撥】方法點睛：已知函數(shù)零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.3、C【解題分析】令，得出，令，得出，由于函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，且直線與直線垂直，利用對稱性可求出的值，利用代數(shù)法求出函數(shù)的零點的值，即可求出的值.【題目詳解】令，得出，令，得出，則函數(shù)與函數(shù)、交點的橫坐標分別為、.函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，且直線與直線垂直，如下圖所示：聯(lián)立，得，則點，由圖象可知，直線與函數(shù)、的交點關(guān)于點對稱，則，由題意得，解得，因此，.故選：C.【題目點撥】本題考查函數(shù)的零點之和的求解，充分利用同底數(shù)的對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)這一性質(zhì)，結(jié)合圖象的對稱性求解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.4、D【解題分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)恒過定點得到定點，再根據(jù)點在角的終邊上，由三角函數(shù)的定義得，即可得到答案.【題目詳解】由于函數(shù)（，且）的圖象恒過定點，則，點，點在角的終邊上，.故選：D.5、C【解題分析】根據(jù)圖像求出，由得到，代入即可求解.【題目詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得：A=1;因為，，結(jié)合五點法作圖可得，，如果，且，結(jié)合，可得，，，故選：C6、C【解題分析】∵集合A={-2，1}，B={-1，2}，定義集合AB={x|x=x1x2，x1∈A，x2∈B}，∴AB={2，-4，-1}，故AB中所有元素之積為：2×（-4）×（-1）=8故選C7、D【解題分析】化簡函數(shù)，根據(jù)表示不超過的最大整數(shù)，可得結(jié)果.【題目詳解】函數(shù)，當時，；當時，；當時，，函數(shù)的值域是，故選D.【題目點撥】本題考查指數(shù)的運算、函數(shù)的值域以及新定義問題，屬于難題.新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.8、A【解題分析】依次判斷四種變換方式的結(jié)果是否符合題意，選出正確變換【題目詳解】函數(shù)，先向左平移個單位，再將橫坐標縮短到原來的倍，函數(shù)變?yōu)?，所以①合題意；先向左平移個單位，再將橫坐標縮短到原來的倍，函數(shù)變?yōu)椋寓诓缓项}意；將橫坐標縮短到原來的倍，再向左平移個單位，函數(shù)變?yōu)?，所以③合題意；將橫坐標縮短到原來的倍，再向左平移個單位，函數(shù)變?yōu)?，所以④不合題意，故選擇A【題目點撥】在進行伸縮變換時，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?；向左或向右進行平移變換注意平移單位要加或減在“”上9、C【解題分析】分別畫出函數(shù)y＝lnx(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的圖像，可得2個交點，故f(x)在定義域中零點個數(shù)為2.10、D【解題分析】詳解】集合，所以.故選D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、kπ,π4【解題分析】根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)求解、【題目詳解】由正切函數(shù)性質(zhì)，由tanx+π4≥1得所以kπ≤x<kπ+π4，故答案為：[kπ,kπ+π412、【解題分析】由扇形弧長、面積公式列方程可得，再由平面幾何的知識即可得解.【題目詳解】設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，則由題意，解得，則由垂徑定理可得.故答案為：.13、f【解題分析】利用三角函數(shù)圖象的平移和伸縮變換即可得正確答案.【題目詳解】函數(shù)y=sin2x+π得到y(tǒng)=sin再向右平移π4個單位，得到y(tǒng)=故最終所得到的函數(shù)解析式為：fx故答案為：fx14、【解題分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式計算得到答案.【題目詳解】為第二象限角，且，故，.故答案為：.15、①.448②.600【解題分析】銷售價格與銷售量相乘即得收入，對分段函數(shù)，可分段求出最大值，然后比較．【題目詳解】由題意可得（元），即第14天該商品的銷售收入為448元.銷售收入，，即，.當時，，故當時，y取最大值，，當時，易知，故當時，該商品日銷售收入最大，最大值為600元.故答案為：448；600.【題目點撥】本題考查分段函數(shù)模型的應(yīng)用．根據(jù)所給函數(shù)模型列出函數(shù)解析式是基本方法．16、【解題分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，寫出結(jié)論.【題目詳解】原命題是全稱命題，故其否定是特稱命題，所以原命題的否定是“”.【題目點撥】本小題主要考查全稱命題的否定是特稱命題，除了形式上的否定外，還要注意否定結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）{1}；（2）【解題分析】（1）求出函數(shù)的定義域為集合，函數(shù)的值域為集合，即可求得答案；（2）根據(jù)集合的包含關(guān)系，列出相應(yīng)的不等式，求得答案.【題目詳解】（1）由題意知,,則，∴（2）若則；若則，綜上，.18、（1）（2）【解題分析】（1）先化簡集合A，再去求；（2）結(jié)合函數(shù)的圖象，可以簡單快捷地得到關(guān)于實數(shù)a的不等式組，即可求得實數(shù)a的取值范圍.【小問1詳解】當時，，又，故【小問2詳解】由是的充分條件，得，即任意，有成立函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，故，解得，所以a的取值范圍為19、（1）選擇較為合適；（2）6月【解題分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)可得合適的函數(shù)的模型.（2）根據(jù)選擇的函數(shù)模型可求最小月份.小問1詳解】指數(shù)函數(shù)隨著自變量的增大其函數(shù)的增長速度越大，冪函數(shù)隨著自變量的增大其函數(shù)的增長速度越小，因為鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，故選擇較為合適.故，故，.所以.【小問2詳解】由（1），放入面積為，令，則，故鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入面積10倍以上的最小月份為6月.20、（1）1.7（2）4【解題分析】（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，由求解；（2）根據(jù)2016年該市某環(huán)處的人口密度為市中心人口密度的，由求解.【小問1詳解】解：由表中數(shù)據(jù)得：；【小問2詳解】因為2016年該市某環(huán)處的人口密度為市中心人口密度的，所以，即，所以，解得，所以該環(huán)是這個城市的4環(huán).21、（1）證明詳見解析；（2）a＞1；（3）證明詳見解析.【解題分析】（1）取特殊點可以驗證；（2）利用的單調(diào)遞減可以求實數(shù)a的取值范圍；（3）先證f（x）在上存在零點，然后函數(shù)在區(qū)間[0，＋∞）上僅有2個零點，f（x）在[π，＋∞）上不存在零點，利用定義說明區(qū)間[π，＋∞）不是函數(shù)f（x）的V區(qū)間.詳解】（1）設(shè)x1，x2∈（0，2）（x1＜x2）若f（x1）＋f（x2）＝1，則所以lgx1＋lgx2＝lgx1x2＝0，x1x2＝1，取，，滿足定義所以區(qū)間（0，2）是函數(shù)的V區(qū)間（2）因為區(qū)間[0，a]是函數(shù)的V區(qū)間，所以，x2∈[0，a]（x1＜x2）使得因為在[0，a]上單調(diào)遞減所以，，所以，a-1＞0，a