廣東省東莞市翰林實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

廣東省東莞市翰林實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，2．計(jì)算cos(－780°)的值是()A.－ B.－C. D.3．已知是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，滿足，且，若，則a與b的關(guān)系是A. B.C. D.4．設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的解且則的取值范圍是A. B.C. D.5．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.（0，2] B.[0，2]C.[0，2） D.（0，2）6．如圖所示，液體從一圓錐形漏斗漏入一圓柱形桶中，開始時(shí)，漏斗盛滿液體，經(jīng)過3分鐘漏完.已知圓柱中液面上升的速度是一個(gè)常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則H與下落時(shí)間(分)的函數(shù)關(guān)系表示的圖象只可能是（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.B.f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.f（x）在[－，－]上單調(diào)遞減D.該圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象8．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，，則該直線的斜率是A. B.C. D.9．已知，，且，則的最小值為（）A. B.C.2 D.110．已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知扇形的圓心角為，半徑為，則扇形的面積為______12．的單調(diào)增區(qū)間為________.13．函數(shù)的定義域?yàn)開____________.14．如圖是函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，則其解析式是________15．已知函數(shù)若關(guān)于x的方程有4個(gè)解，分別為，，，，其中，則______，的取值范圍是______16．函數(shù)的部分圖像如圖所示，軸，則_________，_________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，且向量在向量的方向上的投影為，求：（1）與的夾角;（2）.18．已知函數(shù)，.（1）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（2）定義表示中較小者，設(shè)函數(shù).①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；②若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．已知圓C過點(diǎn)，且與圓M：關(guān)于直線對(duì)稱求圓C的方程；過點(diǎn)P作兩條相異直線分別與圓C相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OP和AB是否平行？請(qǐng)說明理由20．已知函數(shù)為奇函數(shù)（1）求實(shí)數(shù)k值；（2）設(shè)，證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；（3）若函數(shù)，且在上只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍21．定義在上奇函數(shù)，已知當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值；求在上的解析式；若存在時(shí)，使不等式成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】根據(jù)相同函數(shù)的定義，分別判斷各個(gè)選項(xiàng)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否都相同，即可得出答案.【題目詳解】解：對(duì)于A，兩個(gè)函數(shù)的定義域都是，，對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，所以兩函數(shù)是相同函數(shù)，故A符合題意；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?，故兩函?shù)不是相同函數(shù)，故B不符題意；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?，故兩函?shù)不是相同函數(shù)，故C不符題意；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋蕛珊瘮?shù)不是相同函數(shù)，故D不符題意.故選：A.2、C【解題分析】直接利用誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)求解即可【題目詳解】cos（-780°）=cos780°=cos60°=故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查余弦函數(shù)的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查計(jì)算能力3、A【解題分析】由題意，設(shè)，則，又由，求得，得t值，確定函數(shù)的解析式，據(jù)此分析可得，即，又由，利用換底公式，求得，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)分析可得答案【題目詳解】根據(jù)題意，是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，滿足，則為常數(shù)，設(shè)，則，又由，即，則有，解可得，則，若，即，則，若，必有，則有，又由，則，解可得，即，所以，故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題意，設(shè)，求得實(shí)數(shù)的值，確定出函數(shù)的解析式，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及換元思想的應(yīng)用，屬于中檔試題4、A【解題分析】畫出函數(shù)的圖像，通過觀察的圖像與的交點(diǎn)，利用對(duì)稱性求得與的關(guān)系，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到與的關(guān)系.再利用函數(shù)的單調(diào)性求得題目所求式子的取值范圍.【題目詳解】畫出函數(shù)的圖像如下圖所示，根據(jù)對(duì)稱性可知，和關(guān)于對(duì)稱，故.由于，故.令，解得，所以.，由于函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，故，故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查函數(shù)的對(duì)稱性，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，還考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域的方法，屬于中檔題.5、A【解題分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，結(jié)合二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【題目詳解】由題意可知：，故選：A6、A【解題分析】利用特殊值法，圓柱液面上升速度是常量，表示圓錐漏斗中液體單位時(shí)間內(nèi)落下相同的體積，當(dāng)時(shí)間取分鐘時(shí)，液面下降的高度與漏斗高度的比較.【題目詳解】由于所給的圓錐形漏斗上口大于下口，當(dāng)時(shí)間取分鐘時(shí)，液面下降的高度不會(huì)達(dá)到漏斗高度的，對(duì)比四個(gè)選項(xiàng)的圖象可得結(jié)果.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)圖象的判斷，常利用特殊值和函數(shù)的性質(zhì)判斷，屬于中檔題.7、C【解題分析】先根據(jù)圖像求出即可判斷A，利用正弦函數(shù)的對(duì)稱軸及單調(diào)性即可判斷BC，通過平移變換即可判斷D.【題目詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得所以，故A正確；利用五點(diǎn)法作圖，可得，可得，所以，令x，求得，為最小值，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)f（x）沒有單調(diào)性，故C錯(cuò)誤；把f（x）的圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象，故D正確故選：C.8、D【解題分析】根據(jù)斜率公式，，選D.9、A【解題分析】由已知條件得出，再將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【題目詳解】已知，且，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用基本不等式求代數(shù)式的最值，考查的妙用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】先化簡(jiǎn)，再令，求出范圍，根據(jù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，作圖分析，求得的取值范圍.【題目詳解】，由，又，則可令，又函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，作圖分析：則，解得.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了輔助角公式，換元法的運(yùn)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】∵扇形的圓心角為，半徑為，∴扇形的面積故答案為12、【解題分析】求出給定函數(shù)的定義域，由對(duì)數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)單調(diào)性結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解作答.【題目詳解】依題意，，則，解得，函數(shù)中，由得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，正確求出函數(shù)的定義域是解決問題的關(guān)鍵.13、【解題分析】根據(jù)偶次根式和分式有意義的要求可得不等式組，解不等式組可求得結(jié)果.【題目詳解】由題意得：，解得：且，即的定義域?yàn)?故答案為：.14、【解題分析】由圖可得；，則；由五點(diǎn)作圖法可得，解得，所以其解析式為考點(diǎn)：1．三角函數(shù)的圖像；2．五點(diǎn)作圖法；15、①.1②.【解題分析】作出圖象，將方程有4個(gè)解，轉(zhuǎn)化為圖象與圖象有4個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得的、的范圍與關(guān)系，結(jié)合圖象，可得m的范圍，綜合分析，即可得答案.【題目詳解】作出圖象，由方程有4個(gè)解，可得圖象與圖象有4個(gè)交點(diǎn)，且，如圖所示：由圖象可知：且因?yàn)?，所以，由，可得，因?yàn)?，所以所以，整理得；?dāng)時(shí)，令，可得，由韋達(dá)定理可得所以，因?yàn)榍?，所以或，則或，所以故答案為：1，【題目點(diǎn)撥】解題的關(guān)鍵是將函數(shù)求解問題，轉(zhuǎn)化為圖象與圖象求交點(diǎn)問題，再結(jié)合二次函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可，考查數(shù)形結(jié)合，分析理解，計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬中檔題.16、①.2②.##【解題分析】根據(jù)最低點(diǎn)的坐標(biāo)和函數(shù)的零點(diǎn)，可以求出周期，進(jìn)而可以求出的值，再把最低點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中，最后求出的值.【題目詳解】通過函數(shù)的圖象可知，點(diǎn)B、C的中點(diǎn)為，與它隔一個(gè)零點(diǎn)是，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，而，把代入函數(shù)解析式中，得.故答案為：；三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】（1）由題知，進(jìn)而得出，即可求得.（2）根據(jù)數(shù)量積的定義即可得出答案.【題目詳解】解：（1）由題意，，所以.又因?yàn)椋?（2）.【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的夾角、向量的數(shù)量積，考查學(xué)生對(duì)公式的熟練程度，屬于基礎(chǔ)題.18、(1)；(2)①.答案見解析；②..【解題分析】（1）為上的單調(diào)增函數(shù)，故值域?yàn)?（2）計(jì)算得，由此得到的單調(diào)性和最值，而有兩個(gè)不同的根則可轉(zhuǎn)化為與的函數(shù)圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)去考慮.解析：（1）∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，即，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?（2）當(dāng)時(shí)，有，故；當(dāng)時(shí)，，故，故，由（1）知：在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.有最大值4，無最小值.②∵在上單調(diào)遞減，∴.又在上單調(diào)遞增，∴.∴要使方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則需滿足.即的取值范圍是.點(diǎn)睛：求函數(shù)值域，優(yōu)先函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于形如的函數(shù)，其圖像是兩個(gè)圖像中的較低者.19、（1）（2）直線AB和OP一定平行．證明見解析【解題分析】由已知中圓C過點(diǎn)，且圓M：關(guān)于直線對(duì)稱，可以求出圓心坐標(biāo)，即可求出圓C的方程；由已知可得直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，設(shè)PA：，PB：，求出A，B坐標(biāo)后，代入斜率公式，判斷直線OP和AB斜率是否相等，即可得到答案【題目詳解】由題意可得點(diǎn)C和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且圓C和圓M的半徑相等，都等于r設(shè)，由且，解得：，故原C的方程為再把點(diǎn)代入圓C的方程，求得故圓的方程為：；證明：過點(diǎn)P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則得直線OP和AB平行，理由如下：由題意知，直線PA和直線PB斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)PA：，PB：由，得，因?yàn)榈臋M坐標(biāo)一定是該方程的解，，同理可得由于AB的斜率的斜率，所以直線AB和OP一定平行【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了直線和圓的方程的應(yīng)用，關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程，其中根據(jù)已知條件求出圓C的方程是解答本題的關(guān)鍵，考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題20、（1）－1；（2）見解析；（3）.【解題分析】(1)由于為奇函數(shù)，可得，即可得出；(2)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)通過作差即可得出；(3)利用(2)函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及零點(diǎn)存在性定理即可得出m取值范圍【小問1詳解】為奇函數(shù)，，即，，整理得，使無意義而舍去)【小問2詳解】由(1)，故，設(shè)，(a)(b)時(shí)，，，，(a)(b)，在上時(shí)減函數(shù)；【小問3詳解】由(2)知，h(x)在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在遞增，又∵y＝在R上單調(diào)遞增，在遞增，在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，(4)(5)≤0，解得.21、（1）；（2）；（3）.【解題分析】根據(jù)題