甘肅省蘭州市第五十一中學2024屆數(shù)學高一上期末綜合測試試題含解析

甘肅省蘭州市第五十一中學2024屆數(shù)學高一上期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數(shù)以下關于的結論正確的是（）A.若，則B.的值域為C.在上單調遞增D.的解集為2．將化為弧度為A. B.C. D.3．定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足，當x∈[0，1]時，則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點的和為（）A.10 B.9C.8 D.64．Logistic模型是常用數(shù)學模型之一，可應用于流行病學領域．有學者根據公布數(shù)據建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)（的單位：天）的Logistic模型：其中為最大確診病例數(shù)．當時，標志著已初步遏制疫情，則約為（）A.60 B.65C.66 D.695．在平面直角坐標系中，設角的終邊上任意一點的坐標是，它與原點的距離是，規(guī)定：比值叫做的正余混弦，記作.若，則（）A. B.C. D.6．一半徑為2m的水輪，水輪圓心O距離水面1m；已知水輪按逆時針做勻速轉動，每3秒轉一圈，且當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計算時間．如圖所示，建立直角坐標系，將點P距離水面的高度h（單位：m）表示為時間t（單位：s）的函數(shù)，記，則（）A.0 B.1C.3 D.47．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調遞增的函數(shù)為A. B.C. D.8．三棱柱中，側棱垂直于底面，底面三角形是正三角形，是的中點，則下列敘述正確的是①與是異面直線；②與異面直線，且③面④A.② B.①③C.①④ D.②④9．給定四個函數(shù)：①；②（）；③；④．其中是奇函數(shù)的有（）A.1個 B.2個C.3個 D.4個10．設，，，則的大小關系是（）A B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，若，則實數(shù)的取值范圍為__________12．方程的解為__________13．函數(shù)的反函數(shù)為___________14．設，若存在使得關于x的方程恰有六個解，則b的取值范圍是______15．已知一元二次不等式對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍是___________．16．若，，，則的最小值為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，且側面平面，點是的中點（1）求證:（2）若，求證:平面平面18．已知.（1）指出函數(shù)的定義域，并求，，，的值；（2）觀察（1）中的函數(shù)值，請你猜想函數(shù)的一個性質，并證明你的猜想；（3）解不等式：.19．已知函數(shù)，其中（1）若的最小值為1，求a的值；（2）若存在，使成立，求a取值范圍；（3）已知，在（1）的條件下，若恒成立，求m的取值范圍20．判斷并證明在的單調性.21．6月17日是聯(lián)合國確定的“世界防治荒漠化和干旱日”，旨在進一步提高世界各國人民對防治荒漠化重要性的認識，喚起人們防治荒漠化的責任心和緊迫感.為增強全社會對防治荒漠化的認識與關注，聚集聯(lián)合國2030可持續(xù)發(fā)展目標——實現(xiàn)全球土地退化零增長.自2004年以來，我國荒漠化和沙化狀況呈現(xiàn)整體遏制、持續(xù)縮減、功能增強、成效明顯的良好態(tài)勢.治理沙漠離不開優(yōu)質的樹苗，現(xiàn)從苗圃中隨機地抽測了400株樹苗的高度（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中實數(shù)的值和抽到的樹苗的高度在的株數(shù)；（2）估計苗圃中樹苗的高度的平均數(shù)和中位數(shù).（同一組中數(shù)據用該組區(qū)間的中點值作代表）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】A選項逐段代入求自變量的值可判斷;B選項分別求各段函數(shù)的值域再求并集可判斷;C選項取特值比較大小可判斷不單調遞增;D選項分別求各段范圍下的不等式的解集求并集即可判斷.【題目詳解】解:A選項:當時,若,則;當時,若,則,故A錯誤;B選項:當時,;當時,,故的值城為,B正確;C選項:當時,,當時,,在上不單調遞增,故C錯誤;D選項:當時,若,則;當時,若,則,故的解集為,故D錯誤;故選:B.2、D【解題分析】根據角度制與弧度制的關系求解.【題目詳解】因為，所以.故選：D.3、A【解題分析】根據條件可得函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝1對稱；根據函數(shù)的解析式及奇偶性，對稱性可得出函數(shù)f(x)在的圖象；令，畫出其圖象，進而得出函數(shù)的圖象．根據函數(shù)圖象及其對稱性，中點坐標公式即可得出結論【題目詳解】因為定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足，所以函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，當x∈[0，1]時，，可以得出函數(shù)f(x)在上的圖象，進而得出函數(shù)f(x)在的圖象.畫出函數(shù)，的圖象；令，可得周期T1，畫出其圖象，進而得出函數(shù)的圖象由圖象可得：函數(shù)在區(qū)間上共有10個零點，即5對零點，每對零點的中點都為1，所以所有零點的和為.故選：A4、B【解題分析】由已知可得方程，解出即可【題目詳解】解：由已知可得，解得，兩邊取對數(shù)有，解得.故選：B5、D【解題分析】由可得出，根據題意得出，結合可得出關于和的方程組，解出這兩個量，然后利用商數(shù)關系可求出的值.【題目詳解】，則，由正余混弦的定義可得.則有，解得，因此，.故選：D.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的新定義，涉及同角三角函數(shù)基本關系的應用，根據題意建立方程組求解和的值是解題的關鍵，考查運算求解能力，屬于基礎題.6、C【解題分析】根據題意設h＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+k，求出φ、A、T和k、ω的值，寫出函數(shù)解析式，計算f（t）+f（t+1）+f（t+2）的值【題目詳解】根據題意，設h＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+k，（φ＜0），則A＝2，k＝1，因為T＝3，所以ω，所以h＝2sin（t+φ）+1，又因為t＝0時，h＝0，所以0＝2sinφ+1，所以sinφ，又因為φ＜0，所以φ，所以h＝f（t）＝2sin（t）+1；所以f（t）sint﹣cost+1，f（t+1）＝2sin（t）+1＝2cost+1，f（t+2）＝2sin（t）+1sint﹣cost+1，所以f（t）+f（t+1）+f（t+2）＝3故選：C7、C【解題分析】選項A中，函數(shù)的定義域為,不合題意，故A不正確；選項B中，函數(shù)的定義域為,無奇偶性，故B不正確；選項C中，函數(shù)為偶函數(shù)，且當x>0時，，為增函數(shù)，故C正確；選項D中，函數(shù)為偶函數(shù)，但在不是增函數(shù)，故D不正確選C8、A【解題分析】對于①，都在平面內，故錯誤；對于②，為在兩個平行平面中且不平行的兩條直線，底面三角形是正三角形，是中點，故與是異面直線，且，故正確；對于③，上底面是一個正三角形，不可能存在平面，故錯誤；對于④，所在的平面與平面相交，且與交線有公共點，故錯誤.故選A9、B【解題分析】首先求出函數(shù)的定義域，再由函數(shù)的奇偶性定義即可求解.【題目詳解】①函數(shù)的定義域為，且，，則函數(shù)是奇函數(shù)；②函數(shù)的定義域關于原點不對稱，則函數(shù)（）為非奇非偶函數(shù)；③函數(shù)的定義域為，，則函數(shù)不是奇函數(shù)；④函數(shù)的定義域為，，則函數(shù)是奇函數(shù).故選：B10、C【解題分析】詳解】，即，選.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】求出a的范圍，利用指數(shù)函數(shù)的性質轉化不等式為對數(shù)不等式，求解即可【題目詳解】由loga0得0＜a＜1．由得a﹣1，∴≤﹣1=，解得0<x≤，故答案為【題目點撥】本題考查指數(shù)函數(shù)的單調性的應用，對數(shù)不等式的解法，考查計算能力，屬于中檔題12、【解題分析】令，則解得：或即，∴故答案為13、【解題分析】先求出函數(shù)的值域有，再得出，從而求得反函數(shù).【題目詳解】由，可得由，則，所以故答案為：.14、【解題分析】作出f(x)的圖像，當時，，當時，.令，則，則該關于t的方程有兩個解、，設＜，則，.令，則，據此求出a的范圍，從而求出b的范圍【題目詳解】當時，，當時，，當時，，則f(x)圖像如圖所示：當時，，當時，令，則，∵關于x的方程恰有六個解，∴關于t的方程有兩個解、，設＜，則，，令，則，∴且，要存a滿足條件，則，解得故答案為：15、【解題分析】由題意，函數(shù)的圖象在x軸上方，故，解不等式組即可得k的取值范圍【題目詳解】解：因為不等式為一元二次不等式，所以，又一元二次不等式對一切實數(shù)x都成立，所以有，解得，即，所以實數(shù)k的取值范圍是，故答案為：．16、【解題分析】利用基本不等式求出即可.【題目詳解】解：若，，則，當且僅當時，取等號則的最小值為.故答案為：.【題目點撥】本題考查了基本不等式的應用，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】分析：（1）可根據為等腰三角形得到，再根據平面平面可以得到平面，故.（2）因及是中點，從而有，再根據平面得到，從而平面，故平面平面.詳解：（1）證明:因為，點是棱的中點，所以，平面.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以.（2）證明:因為，點是的中點，所以.由（1）可得，又因為，所以平面，又因為平面，所以平面平面點睛：線線垂直的證明，可歸結為線面垂直，也可以轉化到平面中的某兩條直線的垂直問題，而面面垂直的證明，可轉化為線面垂直問題，也轉化為證明二面角為直二面角.18、（1）的定義域;;;;;（2）詳見詳解;（3）【解題分析】（1）根據真數(shù)大于零,列出不等式組,即可求出定義域;代入函數(shù)解析式求出,,,的值.（2）與,與關系,猜想是奇函數(shù),利用奇函數(shù)的定義可證明.（3）求出,由對數(shù)的運算性質和對數(shù)的單調性即可得到所求.【題目詳解】（1）要使函數(shù)有意義須,函數(shù)的定義域是；;;;.（2）由從（1）得到=,=,猜想是奇函數(shù),以下證明：在上任取自變量,所以是奇函數(shù).（2）所以，原不等式等價于所以原不等式的解集為【題目點撥】本題考查函數(shù)的定義域的求法和奇偶性的判斷與證明,考查不等式的解法,注意應用函數(shù)的單調性轉化不等式,求解不等式不要忽略了定義域,是解題的易錯點,屬于中檔題.19、（1）5（2）（3）【解題分析】（1）采用換元法，令，并確定的取值范圍，化簡為關于二次函數(shù)后，根據其性質進行計算；（2）將存在，使成立，轉化為存在，，求出的最大值列不等式即可；（3）根據第（1）問的信息，將轉化為關于的不等式，采用分離參數(shù)法，使用基本不等式，求得的取值范圍.【小問1詳解】令，則，，當時，，解得【小問2詳解】存在，使成立，等價于存在，，由（1）可知，，當時，，解得【小問3詳解】由（1）知，，則又，則恒成立，等價于恒成立，又，，則等價于即，當且僅當時等號成立20、函數(shù)在單調遞增【解題分析】根據函數(shù)單調性的定義進行證明即可【題目詳解】根據函數(shù)單調性定義：任取，所以因為，所以，所以所以原函數(shù)單調遞增。21、（