考研數(shù)學(xué)三(概率統(tǒng)計(jì))模擬試卷23(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)三（概率統(tǒng)計(jì)）模擬試卷23(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．設(shè)隨機(jī)變量X和y獨(dú)立同分布，記U=X—Y，V=X+Y，則隨機(jī)變量U與V必然A．不獨(dú)立B．獨(dú)立C．相關(guān)系數(shù)不為零D．相關(guān)系數(shù)為零正確答案：D解析：∵X與Y同分布，∴DX=DY得cov(U，V)=cov(X—Y，X+Y)=cov(X，X)+cov(X，Y)一cov(Y，X)一cov(Y，Y)=DX—DY=0∴相關(guān)系數(shù)ρ=0知識(shí)模塊：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2．將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則X和Y的相關(guān)系數(shù)等于A．一1B．0C．D．1正確答案：A解析：知識(shí)模塊：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)3．設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)服從二維正態(tài)分布，且X與y不相關(guān)，fX(x)，fY(y)分別表示X，Y的概率密度，則在Y=y的條件下，X的條件概率密度，fX|Y(x|y)為A．fX(x)B．fY(y)C．fX(x)fY(y)D．正確答案：A解析：由(X，Y)服從二維正態(tài)分布，且X與Y不相關(guān)，故X與y獨(dú)立，∴(X，y)的概率密度f(wàn)(x，y)=故選(A)。知識(shí)模塊：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4．設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相關(guān)系數(shù)ρXY=1，則A．P{Y=一2X一1)=1B．P{Y=2X一1)=1C．P{Y=一2X+1}=1D．P{Y=2X5-1}=1正確答案：D解析：如果(A)或(C)成立，則應(yīng)ρXY=1，矛盾；如果(B)成立，那么EY=2EX一1=一1，與本題中EY=1矛盾。只有(D)成立時(shí)，ρXY=1，EY=2EX+1=1，DY=4DX=4，符合題意，故選(D)。知識(shí)模塊：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)填空題5．設(shè)隨機(jī)變量Xij(i，j=1，2，…，n；n≥2)獨(dú)立同分布，EXij=2，則行列式的數(shù)學(xué)期望EY=________。正確答案：0解析：由n階行列式的定義知，p1，…，pn為(1，…，n)的排列，r(p1p2…pn)為排列p1p2…pn的逆序數(shù)。而Xij(i，j=1，2，…，n)獨(dú)立同分布且EXij=2，故知識(shí)模塊：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6．設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間[一1，2]上服從均勻分布，隨機(jī)變量則方差DY=________。正確答案：解析：由題意，X的概率密度為：知識(shí)模塊：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)7．設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布為則X2和Y2的協(xié)方差cov(X2，Y2)=________。正確答案：一0．02解析：E(X2Y2)=02×(一1)2×0．07+02×02×0．18+02×12×0．15+12×(一1)2×0．08+12×02×0．32+12×12×0．20=0．28而關(guān)于X的邊緣分布律為：關(guān)于Y的邊緣分布律為：∴EX2=02×0．4+12×0．6=0．6，EY2=(一1)2×0．15+02×0．5+12×0．35=0．5故cov(X2，Y2)一E(X2Y2)一EX2．FY2=0．28—0．6×0．5=一0．02．知識(shí)模塊：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)8．設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0．9，若Z=X-0．4，則y與Z的相關(guān)系數(shù)為_(kāi)_______。正確答案：0．9解析：因?yàn)镈(Z)=D(X一0．4)=DX，且cov(Y，Z)=cov(Y，X一0．4)=cov(Y，X)=cov(X，Y)知識(shí)模塊：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)9．設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為1的泊松分布，則P{X=EX2)=________。正確答案：解析：由EX2=DX+(EX)2=1+12=2，故P{X=EX2}=P{X=2)=知識(shí)模塊：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)10．設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)服從正態(tài)分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，則E(XY2)=________。正確答案：μ2+μσ2解析：由題意知X與Y獨(dú)立同分布，且X～N(μ，σ2)，故EX=μ，E(Y2)=DY+(EY)2=σ2+μ2∴E(XY2)=EX．E(Y2)=μ(σ2+μ2)=μ3+μσ2知識(shí)模塊：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)解答題解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。11．設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)在圓域x2+y2≤r2上服從聯(lián)合均勻分布。(1)求(X，Y)的相關(guān)系數(shù)ρ；(2)問(wèn)X和Y是否獨(dú)立?正確答案：由題意，(X，Y)的聯(lián)合概率密度為涉及知識(shí)點(diǎn)：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)12．某設(shè)備由三大部件構(gòu)成。在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0．10，0．20和0．30．設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立，以X表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù)，試求E(X)和D(X)。正確答案：設(shè)這三個(gè)部件依次為第1、2、3個(gè)部件，記Ai=(第／個(gè)部件需調(diào)整)，i=1，2，3．則A1，A2，A3相互獨(dú)立。顯然，X1，X2，X3相互獨(dú)立則E(Xi)=1．P(Ai)=，i=1，2，3．且X=X1+X2+X3涉及知識(shí)點(diǎn)：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)13．設(shè)隨機(jī)變量X和Y同分布，X的概率密度為(1)已知事件A={X＞a}和B={y＞a}獨(dú)立，且P{A∪B}=求常數(shù)a；(2)求的數(shù)學(xué)期望。正確答案：由題意，P(A)=P(B)=∫0+∞f(x)dx涉及知識(shí)點(diǎn)：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)14．設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑X(毫米)服從正態(tài)分布N(μ，1)，內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，其余為合格品。銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損。已知銷售利潤(rùn)T(單位：元)與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系：?jiǎn)柶骄鶅?nèi)徑μ取何值時(shí)，銷售一個(gè)零件的平均利潤(rùn)最大?正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)15．設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0．2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作。一周五個(gè)工作日，若無(wú)故障，可獲利潤(rùn)10萬(wàn)元；發(fā)生一次故障仍可獲利潤(rùn)5萬(wàn)元，若發(fā)生兩次故障，獲利潤(rùn)0元；若發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬(wàn)元。求一周內(nèi)的利潤(rùn)期望。正確答案：設(shè)這部機(jī)器一周內(nèi)有X天發(fā)生故障，這一周的利潤(rùn)為y萬(wàn)元。由題意可知X～B(5，0．2)故EY=10．P(X=0)+5P(X=1)+0．P(X=2)+(一2)．P(X≥3)=10×C50．0．20．0．85+5×C51．0．21．0．84一2[1一C50．0．2．0．85一C51．0．21．0．84一C52．0．220．83]=5．20896涉及知識(shí)點(diǎn)：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)16．游客乘電梯從底層到電視塔的頂層觀光。電梯于每個(gè)整點(diǎn)的第5分鐘、第25分鐘和第55分鐘從底層起行。設(shè)一游客在早上八點(diǎn)的第X分鐘到達(dá)底層候梯處，且X在[0，60]上服從均勻分布，求該游客等候時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。正確答案：設(shè)y(分鐘)為該游客的等候時(shí)間，由題意知：涉及知識(shí)點(diǎn)：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)17．兩臺(tái)同樣的自動(dòng)記錄儀，每臺(tái)無(wú)故障工作的時(shí)間服從參數(shù)為5的指數(shù)分布。先開(kāi)動(dòng)其中一臺(tái)，當(dāng)其發(fā)生故障時(shí)停用而另一臺(tái)自動(dòng)開(kāi)動(dòng)。試求兩臺(tái)自動(dòng)記錄儀無(wú)故障工作的總時(shí)間T的概率密度f(wàn)(t)、數(shù)學(xué)期望和方差。正確答案：設(shè)第i臺(tái)自動(dòng)記錄儀無(wú)故障工作的時(shí)間為Xi，(i=1，2)，由題意，X1與X2獨(dú)立同分布，概率密度為下面求f(t)。解T的分布函數(shù)F(t)=P(T≤t)=P(X1+X2≤t)涉及知識(shí)點(diǎn)：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)18．一商店經(jīng)銷某種商品，每周的進(jìn)貨量X與顧客對(duì)該種商品的需求量Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都服從區(qū)間[10，20]上的均勻分布。商店每售出一單位商品可得利潤(rùn)1000元；若需求量超過(guò)了進(jìn)貨量，可以其他商店調(diào)劑供應(yīng)，這時(shí)每單位商品的售出獲利潤(rùn)為500元。試求此商店經(jīng)銷該種商品每周所得利潤(rùn)的期望值。正確答案：設(shè)此商店經(jīng)銷該種商品每周所得利潤(rùn)為ξ元，則由題意得：而X和Y的概率密度均為：故(X，Y)的聯(lián)合密度為G2、G2見(jiàn)圖4．6．涉及知識(shí)點(diǎn)：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)19．假設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)在矩形G={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤1}上服從均勻分布，記(1)求U和V的聯(lián)合分布；(2)求U和V的相關(guān)系數(shù)r。正確答案：G的面積為SG一2．如圖4．7分得G=D1∪D2∪D3于是寫出(U，V)的分布列(附帶寫出邊緣分布列)如下：涉及知識(shí)點(diǎn)：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)20．設(shè)A，B是二隨機(jī)事件，隨機(jī)變量試證明隨機(jī)變量X和y不相關(guān)的充分必要條件是A與B相互獨(dú)立。正確答案：由已知得：涉及知識(shí)點(diǎn)：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)假設(shè)隨機(jī)變量U在區(qū)間[一2，2]上服從均勻分布，隨機(jī)變量試求21．X和Y的聯(lián)合概率分布；正確答案：二維隨機(jī)變量可能取的值為(一1，一1)，(一1，1)，(1，一1)，(1，1)。由題意，可設(shè)U的概率密度為涉及知識(shí)點(diǎn)：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)22．D(X+Y)。正確答案：由(1)可得關(guān)于X和Y的邊緣分布律分別為：涉及知識(shí)點(diǎn)：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)23．設(shè)一設(shè)備開(kāi)機(jī)后無(wú)故障工作的時(shí)間X服從指數(shù)分布，平均無(wú)故障工作的時(shí)間(EX)為5小時(shí)。設(shè)備定時(shí)開(kāi)機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī)，而在無(wú)故障的情況下工作2小時(shí)便關(guān)機(jī)。試求該設(shè)備每次開(kāi)機(jī)無(wú)故障工作的時(shí)間y的分布函數(shù)F(y)。正確答案：設(shè)X的分布參數(shù)為λ，由已知，即知X的概率密度為涉及知識(shí)點(diǎn)：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)24．設(shè)隨機(jī)變量x服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則正確答案：解析：知識(shí)模塊：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)25．設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且求：(Ⅰ)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率分布；(Ⅱ)X與y的相關(guān)系數(shù)ρ(X，Y)；(Ⅲ)X=X2+Y2的概率分布。正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)26．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為令Y=X2，F(xiàn)(x，y)為二維隨機(jī)變量(X，Y)的分布函數(shù)。求(Ⅰ)Y的概率密度FY(y)；(Ⅱ)cov(X，Y)；正確答案：(Ⅰ)Y的分布函數(shù)為Fy(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)y≤0時(shí)，F(xiàn)y(y)=0，∴fY(y)=F