北大光華衍生品定價(jià)理論第八章Black-Scholes模型

第八章Black-Scholes模型金融學(xué)是一門具有髙度分析性的學(xué)科，并且沒有什么能夠超過連續(xù)時(shí)間情形。概率論和最優(yōu)化理論的一些最優(yōu)美的應(yīng)用在連續(xù)時(shí)間金融模型中得到了很好地體現(xiàn)。RobertC.Merton,1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主，在他的著名教科書《連續(xù)時(shí)間金融》的前言中寫到：過去的二十年證明，連續(xù)時(shí)間模型是一種最具有創(chuàng)造力的多功能的工具。雖然在數(shù)學(xué)上更復(fù)雜，但相對(duì)離散時(shí)間模型而言，它能夠提供充分的特性來得到更精確的理論解和更精練的經(jīng)驗(yàn)假設(shè)。因此，在動(dòng)態(tài)跨世模型中引入的真實(shí)性越多，就能夠得到比離散時(shí)間模型越合理的最優(yōu)規(guī)則。在這種意義上來說，連續(xù)時(shí)間模型是靜態(tài)和動(dòng)態(tài)之間的分水嶺。直到目前為止，我們已經(jīng)利用二項(xiàng)樹模型來討論了衍生證券的左價(jià)問題。二項(xiàng)樹模型是一種離散時(shí)間模型，它是對(duì)實(shí)際市場(chǎng)中交易離散進(jìn)行的一種真實(shí)刻畫。離散時(shí)間模型的極限情況是連續(xù)時(shí)間模型。事實(shí)上，大多數(shù)衍生左價(jià)理論是在連續(xù)時(shí)間背景下得到的。與離散時(shí)間模型比較而言，盡管對(duì)數(shù)學(xué)的要求更高，但連續(xù)時(shí)間模型具有離散時(shí)間模型所沒有的優(yōu)勢(shì)：(1)可以得到閉形式的解。這對(duì)于節(jié)省計(jì)算量、比較靜態(tài)分析加價(jià)問題至關(guān)重要。(2)可以方便的利用隨機(jī)分析工具。任何一個(gè)變量，如果它的值隨著時(shí)間的變化以一種不確怎的方式發(fā)生變化，我們稱它為隨機(jī)過程。如果按照隨機(jī)過程的值發(fā)生變化的時(shí)間來分，隨機(jī)過程可以分為離散時(shí)間隨機(jī)過程和連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程。如果按照隨機(jī)過程的值所取的范用來分，隨機(jī)過程可以分為連續(xù)變量隨機(jī)過程和離散變量隨機(jī)過程?在這一章中，我們先介紹股票價(jià)格服從的連續(xù)時(shí)間、連續(xù)變量的隨機(jī)過程：布朗運(yùn)動(dòng)和幾何布朗運(yùn)動(dòng)。理解這個(gè)過程是理解期權(quán)和其他更復(fù)雜的衍生證券立價(jià)的第一步。與這個(gè)隨機(jī)過程緊密相關(guān)的一個(gè)結(jié)果是Ito引理，這個(gè)引理是充分理解衍生證券定價(jià)的關(guān)鍵。本章的第二部分內(nèi)容在連續(xù)時(shí)間下推導(dǎo)Black-Scholes歐式期權(quán)左價(jià)公式，我們分別利用套期保值方法和等價(jià)鞅測(cè)度方法。并對(duì)所需的參數(shù)進(jìn)行估訃。最后討論標(biāo)的股票支付紅利的歐式期權(quán)定價(jià)問題。1.連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程我們先介紹Makov過程。定義：一個(gè)隨機(jī)過程{x,}^稱為Makov過程，如果預(yù)測(cè)該過程將來的值只與它的目前值相關(guān)，過程過去的歷史以及從過去運(yùn)行到現(xiàn)在的方式都是無關(guān)的，即E[Xx^,]=E[Xs\Xt] (1)這里，5>r,出表示直到時(shí)間f的信息。我們通常假設(shè)股票的價(jià)格過程服從Makov過程。假設(shè)IBM公司股票的現(xiàn)在的價(jià)格是100元。如果股票價(jià)格服從Makov過程，則股票一周以前、一個(gè)月以前的價(jià)格對(duì)于預(yù)測(cè)股票將來價(jià)格是無用的。唯一相關(guān)的信息是股票當(dāng)前的價(jià)格100元。由于我們對(duì)將來價(jià)格的預(yù)測(cè)是不確左的，所以必須按照概率分布來表示。股票價(jià)格的Makov性質(zhì)說明股票在將來任何時(shí)間的價(jià)格的槪率分布不依賴于價(jià)格在過去的特殊軌道。股票價(jià)格的Makov性質(zhì)與市場(chǎng)的弱形式的有效性有關(guān)。這說明股票現(xiàn)在的價(jià)格已經(jīng)包含了隱含在過去價(jià)格中的有用信息?？紤]一個(gè)隨機(jī)過程的變MXro假設(shè)它現(xiàn)在的值為10,在任何時(shí)間區(qū)間△/內(nèi)它的值的變化量，Xg-X’,服從正態(tài)分布N(O,zV),且不相交時(shí)間區(qū)間變化量視獨(dú)立的。在任何兩年內(nèi)它的值的變化量為X*-X「滿足X屈_x嚴(yán)x“2_x屮+x“_x,由假設(shè)，Xj+2—Xe與 獨(dú)立，且Xz+2-X/+I服從N（O,1）,Xe—Xj服從N（O,1）。兩個(gè)獨(dú)立正態(tài)分布隨機(jī)變量的和為正態(tài)分布隨機(jī)變量，均值為務(wù)個(gè)均值的和，方差為各個(gè)方差的和。所以X,+2-Xf服從正態(tài)分布N（O,、/I）在任何半年內(nèi)，X/+0.s-服從正態(tài)分布N（0,705）不確定性于時(shí)間的平方根成比例。上而假設(shè)的過程稱為布朗運(yùn)動(dòng)（Brownianmotion）,也稱為Wienerprocesso這是一種特殊的Makov隨機(jī)過程，在每年的變化量的均值為0,方差為1。定義：一個(gè)（標(biāo)準(zhǔn)的、1-維）布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)連續(xù)的適應(yīng)過程z={s出；0</<CO}，其值域?yàn)榍覞M足如下性質(zhì)：（1） 5=0U.S.（2） 對(duì)任意的0MV,增量乙一。獨(dú)立于屮,.，且服從以0為均值，以（?$）為方差的正態(tài)分布。有時(shí)，我們將用到區(qū)間[07]上的布朗運(yùn)動(dòng)日“比；0</<T},這里7>0?這個(gè)概念可以類似地定義。性質(zhì)：1）一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)既是Markov過程又是鞅。2）在任何小時(shí)間區(qū)間△/內(nèi)的變化量為△z=￡>/Xt這里￡是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。3）任何兩個(gè)小時(shí)間區(qū)間的變化量是獨(dú)立的?？紤]變量在時(shí)間T內(nèi)的值的增加量Z7-5。可以把它視為z在N個(gè)小時(shí)間區(qū)間△f的增量的和，這里N丄A/因此NZT （2）/-I這里?視獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。E[“-z（）]=0var[z7.-^0]=N't=T例子：

推廣的Wiener過程推廣的Wiener過程(3)這里“小視常數(shù)。為了理解(3),分別考慮它右邊的兩部分說明x在單位時(shí)間的期望漂移率為adx=adt或者x=x{)+at這里旺是x在時(shí)間0的值。bdz是加在*軌道上的噪聲或者擾動(dòng)。在一個(gè)小時(shí)間區(qū)間At,x的變化量心為心=a△/+bsyfKt因此At服從正態(tài)分布E[Ax]=r/A7var(A.v)=Z?2AZ在一個(gè)時(shí)間區(qū)間7\x的變化為正態(tài)分布E[xt-x^\=aTvar[x7-x0]=h2T所以推廣的Wiener過程的期望漂移率為d,方差率為慶°Ito過程dx=a(x,t)dt+b(x、f)dz. (4)在一個(gè)小時(shí)間區(qū)間zV,x的變化量心為Ajv= +b(X,t)￡y/Xt所以19過程在一個(gè)小時(shí)間區(qū)間△/的期望漂移率為a(xj),方差率為h(xj)2O

Ito引理2.股票的價(jià)格過程我們討論不支付紅利股票價(jià)格服從的隨機(jī)過程。假設(shè)的過程應(yīng)該滿足股票價(jià)格的一個(gè)關(guān)鍵特征：投資者要求的股票期望回報(bào)率應(yīng)該獨(dú)立于股票價(jià)格，股票回報(bào)率在短時(shí)間內(nèi)的變動(dòng)也應(yīng)該獨(dú)立于股票的價(jià)格。如下的19過程滿足要求dS=pSdt+aSdz這里“b為常數(shù)。我們稱之為幾何布朗運(yùn)動(dòng)。如果沒有隨機(jī)項(xiàng)，則AS .——=z/ArS在極限狀態(tài)下dS 7S例子:模型的離散時(shí)間版本為正態(tài)分布參數(shù)“和＜7

對(duì)InS利用19引理得到這說明InS服從推廣的Wiener程。從而InS在時(shí)間0和T之間的變化量過程正態(tài)分布的期望值St的方差例子：股票在時(shí)間0和T之間連續(xù)復(fù)利回報(bào)率〃的分布:例子:3.Black-Scholes公式：套期保值方法有許多種方法可以得到Black-Scholes期權(quán)泄價(jià)公式。我們?cè)诒竟?jié)中給出的方法盡管不是最短的，卻是最直觀、最具有創(chuàng)造性的一種方法。Black-Scholes-Merton微分方程是以不支付紅利股票為標(biāo)的物的衍生證券價(jià)格都必須服從的方程。得到這個(gè)方程是得到Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的關(guān)鍵。Black-Scholes-Merton分析類似于二項(xiàng)樹模型中的套期保值方法。由標(biāo)的股票和期權(quán)構(gòu)成的證券組合是無風(fēng)險(xiǎn)的，所以由無套利原理，該證券組合的回報(bào)率應(yīng)該是無風(fēng)險(xiǎn)利率。能夠構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)證券組合的原因在于，導(dǎo)致股票價(jià)格和期權(quán)價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)的不確左因素是系統(tǒng)的：股票價(jià)格的波動(dòng)。在任何短時(shí)間內(nèi)，看漲期權(quán)價(jià)格和標(biāo)的股票價(jià)格是完全正相關(guān)的。看跌期權(quán)價(jià)格和標(biāo)的股票價(jià)格是完全負(fù)相關(guān)的。在任何情況下，利用股票和期權(quán)，通過恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造證券組合，股票上的收益或者損失總是正好抵消期權(quán)上的損失或者收益。從而這個(gè)證券組合的回報(bào)是無風(fēng)險(xiǎn)的。這個(gè)特點(diǎn)事Black-Scholes-Merton分析的中心和得到左價(jià)公式的關(guān)鍵。例子：Black-Scholes-Merton分析和二項(xiàng)樹模型之間的主要差別在于，在Black-Scholes-Merton分析中，證券組合是無風(fēng)險(xiǎn)的只是瞬間的事，收益必須時(shí)時(shí)刻刻調(diào)整股票和期權(quán)的頭寸來保證無風(fēng)險(xiǎn)的性質(zhì)。假設(shè)1：標(biāo)的股票的價(jià)格S(/)服從如下的隨機(jī)微分方程dS(f)= ,S(O)=x,這里，〃為常數(shù)，稱為漂移項(xiàng)，可以視為股票的瞬時(shí)期望回報(bào)率，b為常數(shù)，稱為擴(kuò)散項(xiàng)，可以視為股票的瞬時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差，{VV(Z)}r>0為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，X為常數(shù)。假設(shè)2：無風(fēng)險(xiǎn)債券的價(jià)格3(/)服從如下的方程=r/3(t)dr? ⑸這里，3(0)、「為常數(shù)。假設(shè)3：市場(chǎng)無摩擦(無交易成本.無買賣差價(jià)bid-askspread,無抵押，無賣空限制，無稅收)假設(shè)4：無違約風(fēng)險(xiǎn)假設(shè)5：市場(chǎng)是完全競(jìng)爭(zhēng)的假設(shè)G價(jià)格一直調(diào)整到市場(chǎng)無套利下而，我們給出求Black-Scholes期權(quán)宦價(jià)公式的方法。對(duì)于給泄的歐式看漲期權(quán)，由于它的到期日支付是標(biāo)的股票的函數(shù)，我們假設(shè)期權(quán)的價(jià)格為標(biāo)的股票價(jià)格的函數(shù)C,=C(S(/),/),這里，我們并不知道函數(shù)c()的具體形式，只知道它在(0.-wo)x[0.r)是兩次連續(xù)可微的。對(duì)函數(shù)c()利用ltd引理，我們得到clcf=卩丫⑴〃/+(S,t<T, (6)這里，“y(f)=Ci(s(r),f)“s⑴+C,(s(/),f)+*c’,(s(f),f02sa)2o下面，我們利用套期保值的思想，希望通過股票和債券構(gòu)造證券組合來模擬歐式看漲期權(quán)的價(jià)格。假設(shè)自融資交易策略(n,h)={(ae,^):O<r<r}滿足此要求,這里，①表示在時(shí)間/購買的股票份數(shù)，勺表示在時(shí)間/購買的債券的份數(shù)，則arS(t)+ =c「rw[O.T]o (7)由(5-4).(5-5)和上式，我們得到dct=①邀⑴+b(clB(t)=(^r//S(r)+btB(t)r)clt+6zza5(r)tAtV)， (8)通過比較(6)與(7)兩式中dw(t)與d/的系數(shù)，我們來確定滿足要求的自融資交易策略。首先，我們比較伽⑴的系數(shù)，得到6/,=Cv(S(r),r)a由⑺，我們得到cx(S⑴,f)s⑴+/zB(f)=C(S(/),t),從而[c(S(r),/)-G(S(/)j)S(/)L其次，我們比較力的系數(shù)，得到，對(duì)于『<卩有一rC(S⑴」)+Cf(S⑴,f)+rS⑴Q(S⑴,/)+^2S(t)2CjS(t)J)=0 (9)為了(9)成立，只需C(?)滿足如下的偏微分方程-rC(x9f)+C,(a\/)+rxCx(.v,f)+1cr2x2Cxr(x,/)=0> (10)(xj)G(0,oo)x[0,r),方程(10)稱為Black-Scholes-Merton微分方程。針對(duì)以股票為標(biāo)的物的不同的衍生證券，該方程有不同的邊界條件.解帶邊界條件的Black-Scholes-Merton微分方程就得到衍生證券的價(jià)格。注：1)證券市場(chǎng)是動(dòng)態(tài)完備的，即任何證券都可以由股票和債券來模擬其支付。為了模擬衍生證券的價(jià)格，交易策略需要每時(shí)每刻進(jìn)行調(diào)整。方程(10)的任何解是一種可交易的衍生證券的價(jià)格，如果這種衍生證券存在。不會(huì)產(chǎn)生任何套利機(jī)會(huì)，但如果一個(gè)函數(shù)/(S,/)不是方程(10)的解，在不產(chǎn)生套利機(jī)會(huì)的條件下，它不會(huì)是某種衍生證券的價(jià)格。方程(10)不包含“。例子：以不支付紅利的股票為標(biāo)的物的遠(yuǎn)期合約是一種衍生證券，它的價(jià)格/=S_KeFTf滿足方程(10)：由歐式期權(quán)的到期曰支付得邊界條件TOC\o"1-5"\h\zC(So，T)=(So-KT，S°e(O,s)。 dD利用Feynman-Kac公式，通過解帶邊界條件(10)的偏微分方程(11),我們得到Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式c°=SoN(〃J—Ke-〃N(d2) (12)這里〃?>=〃］—CJy/T°根據(jù)平價(jià)公式我們可以歐式看跌期權(quán)的價(jià)格為=K("N(—d2)—SoN(—〃J (13)Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的性質(zhì)下面我們討論Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的性質(zhì)。當(dāng)股票價(jià)格S。變的充分大的時(shí)候，看漲期權(quán)一泄會(huì)被執(zhí)行。這時(shí)，看漲期權(quán)非常類似于執(zhí)行價(jià)格為K遠(yuǎn)期合約。由遠(yuǎn)期合約的價(jià)值方程，我們預(yù)期期權(quán)的價(jià)格為S。一Ke~rl由公式(12)我們知道，當(dāng)S。變的充分大的時(shí)候，看漲期權(quán)價(jià)格確實(shí)趨近于這個(gè)價(jià)格?？吹跈?quán)價(jià)格趨近于0。當(dāng)股票價(jià)格的波幅b趨近于0時(shí)，股票的風(fēng)險(xiǎn)趨近于0,股票價(jià)格以廠增長(zhǎng)。到時(shí)間T,股票價(jià)格為S/",看漲期權(quán)的支付為max\soer,_K,oj以/?進(jìn)行折現(xiàn)，看漲期權(quán)現(xiàn)在的價(jià)格為e~rImax卜。/'_K,o]=max\so-Ke~'',o]為了證明這個(gè)價(jià)格與方程(12)給出的價(jià)格一致，我們分情況討論：當(dāng)＞K時(shí)當(dāng)Sow"vK時(shí)類似的可以證明，當(dāng)股票價(jià)格的波幅o?趨近于0時(shí)，看跌期權(quán)的價(jià)格為max[Ki廠"-凡對(duì)。4.Black-Scholes公式：等價(jià)鞅測(cè)度方法我們?cè)诙?xiàng)樹模型中證明了，市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)等價(jià)于存在唯一的等價(jià)鞅測(cè)度。在連續(xù)時(shí)間模型中我們也能夠證明同樣的結(jié)論：在目前的框架下，市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)等價(jià)于存在唯一的等價(jià)鞅測(cè)度。我們?cè)谶@里不給出正式的證明，而是通過分析Black-Scholes-Merton微分方程的一個(gè)重要性質(zhì)來得到這一重要的龍價(jià)理論。Black-Scholes-Merton微分方程的一個(gè)重要性質(zhì)是，方程中不包含任何與投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好有關(guān)的變量，只包括股票現(xiàn)在價(jià)格、時(shí)間、波幅和無風(fēng)險(xiǎn)利率。這些變量都獨(dú)立于投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好。這與我們?cè)诙?xiàng)樹模型中得到的結(jié)論一樣。如果方程Black-Scholes-Merton微分方程包含“，則不獨(dú)立于風(fēng)險(xiǎn)偏好，因?yàn)椤ㄒ蕾囉陲L(fēng)險(xiǎn)偏好。投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越高，“越大。既然Black-Scholes-Merton微分方程不依賴于任何投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好，所以它對(duì)于任何投資者都成立，或者說任何投資者都認(rèn)為衍生證券的價(jià)格應(yīng)該滿足該方程。特別地，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)中性的投資者而言，衍生證券地價(jià)格也滿足該方程。在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性的幣場(chǎng)中，在等價(jià)鞅測(cè)度下，所有證券的回報(bào)率應(yīng)該為無風(fēng)險(xiǎn)利率，原因是投資者承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)不需要酬金。同樣的，在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性市場(chǎng)中，任何現(xiàn)金流的目前值等于該現(xiàn)金流的期望值的以無風(fēng)險(xiǎn)利率為折現(xiàn)率的折現(xiàn)值。這個(gè)性質(zhì)簡(jiǎn)化了衍生證券的定價(jià)問題。考慮一種衍生證券，在特上的時(shí)間提供一次支付。利用等價(jià)鞅測(cè)度方法，我們可以按照如下的程序來計(jì)算價(jià)格：假設(shè)標(biāo)的物的期望回報(bào)率是無風(fēng)險(xiǎn)利率I即“=廠。在等價(jià)鞅測(cè)度下，訃算衍生證券在到期日的期望支付。以無風(fēng)險(xiǎn)利率對(duì)這個(gè)期望值進(jìn)行折現(xiàn)。應(yīng)該提到的是，等價(jià)鞅測(cè)度方法僅僅是一種人為構(gòu)造的泄價(jià)方法，這種方法為Black-Scholes-Merton微分方程提供了一種求解的方法。盡管這個(gè)解是在等價(jià)鞅測(cè)度下得到的，但是這個(gè)解在原始的槪率測(cè)度下也成立，因?yàn)锽lack-Scholes-Merton微分方程不依賴具體的概率測(cè)度。例子：以股票為標(biāo)的物的遠(yuǎn)期合約的價(jià)格假設(shè)利率是常數(shù)，等于廠。遠(yuǎn)期利率的到期日為7\交割價(jià)格為K°下面我們利用等價(jià)鞅測(cè)度方法來再一次給出Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式，在所有推導(dǎo)Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的方法中，這種方法是最簡(jiǎn)潔的一種。因?yàn)楫?dāng)標(biāo)的股票不支付紅利時(shí)，c=C,所以方程也給出了美式看漲期權(quán)的餓價(jià)格。但對(duì)