2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚(yáng)中第二高級(jí)中學(xué)高三（上）段考數(shù)學(xué)試卷（三）（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚(yáng)中第二高級(jí)中學(xué)高三（上）段考數(shù)學(xué)試卷（三）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.直線l與平面α不平行，則(

)A.l與α相交 B.l?α

C.l與α相交或l?2.如圖，α∩β=l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l=M，過(guò)AA.點(diǎn)A

B.點(diǎn)B

C.點(diǎn)C但不過(guò)點(diǎn)M

D.點(diǎn)C和點(diǎn)M3.平面α與平面β平行的充分條件可以是(

)A.α內(nèi)有無(wú)窮多條直線都與β平行

B.直線a?α，直線b?β，且b//α，a//β

C.直線a//α，a4.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，A.22 B.32 C.5.龍洗，是我國(guó)著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍線，故稱龍洗，為古代皇宮盥洗用具，其盆體可以近似看作一個(gè)圓臺(tái).現(xiàn)有一龍洗盆高18cm，盆口直徑36cm，盆底直徑18cm.A.655πcm3 B.666πc6.下列結(jié)論中正確是(

)A.若直線a，b為異面直線，則過(guò)直線a與直線b平行的平面有無(wú)數(shù)多個(gè)

B.若直線m與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，則直線m與平面α平行

C.若平面α//平面β，直線a?α，點(diǎn)M∈β，則過(guò)點(diǎn)M有且只有一條直線與a平行

D.若直線l⊥7.在正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，AB=2AA.152 B.46 C.58.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AA.8π B.24π C.32π二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等，下列結(jié)論正確的是(

)A.圓柱的側(cè)面積為2πR2

B.圓錐的側(cè)面積為5πR2

C.圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等

10.如圖，多面體EABCDF的所有棱長(zhǎng)均為2，則(

)A.BE//DF B.平面EAB⊥平面FAB

C.直線EA與平面11.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O為底面ABCDA.A1，E，O三點(diǎn)共線

B.異面直線BD與AC1所成的角為60°

C.點(diǎn)C1到平面A1BD的距離為23

12.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，MA.直線A1G，EF是異面直線

B.平面DMC1截正方體所得截面的面積為122

C.三棱錐A三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知空間中兩個(gè)角∠AOB，∠A1O1B1，且OA/14.在正三棱錐A?BCD中，側(cè)棱長(zhǎng)為3，底面邊長(zhǎng)為2，則點(diǎn)A到平面BCD的距離為_(kāi)_____；AB15.已知腰長(zhǎng)為22的等腰直角△ABC，現(xiàn)沿斜邊BC上的高AD翻折，使得二面角B?AD?C的大小為60°，則點(diǎn)B16.如圖，已知四面體ABCD中，△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，AB=2，∠BAD=∠CBD=π2四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

一副三角板(△ABC為等腰直角三角形，△BCD為一個(gè)銳角為30°的直角三角形)按如圖所示的方式拼接，現(xiàn)將△ABC沿BC邊折起，使得平面ABC⊥平面BCD．

18.(本小題12.0分)

已知異面直線ME，NF所成角為θ，ME?α，ME//β，NF?β，NF//α，MN⊥ME，19.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD是平行四邊形，BA=BD=2，AD=2，PA=PD=5，E，F(xiàn)分別是棱AD，PC的中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明：EF/20.(本小題12.0分)

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．

(1)21.(本小題12.0分)

如圖，已知斜三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，AB1與平面ACC1A1所成角的正切值為217，所有側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)均為2，D是邊22.(本小題12.0分)

三棱臺(tái)ABC?A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，A1C1=

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：因?yàn)榭臻g中直線和平面的位置關(guān)系有三種，即直線和平面平行、直線和平面相交及直線在平面內(nèi)，

因直線l與平面α不平行，所以直線l與平面α的位置關(guān)系是：直線l與平面α相交或l?α．

故選：C．

由直線與平面之間的位置關(guān)系即可求解．2.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查平面與平面之間的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，比較基礎(chǔ)．

直線AB∩l=M，過(guò)A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，可得β∩γ=MC，即可得出結(jié)論．

【解答】

解：∵直線AB∩l=M，過(guò)A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，

3.【答案】D

【解析】解：對(duì)于A，α內(nèi)有無(wú)窮多條直線都與β平行，推不出平面α與平面β平行，平面α與平面β可以相交，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，推不出平面α與平面β平行，平面α與平面β也可以相交，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，推不出平面α與平面β平行，平面α與平面β也可以相交，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，由面面平行的定義知能推出平面α與平面β平行，D正確．

故選：D．

由直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系結(jié)合充分條件的概念依次判斷即可．

本題考查了直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】C

【解析】【分析】本題考查異面直線所成角的正切值的求法，屬于基礎(chǔ)題．

作出異面直線所成的角，然后求出其正切值即可．【解答】

解：如下圖，取DD1的中點(diǎn)F，連接EF，AF，

因?yàn)镋，F(xiàn)為CC1，DD1的中點(diǎn)，ABCD?A1B1C1D1為正方體，

所以EF//CD，

所以∠AEF為異面直線AE與CD所成角或其補(bǔ)角，

由正方體可得EF⊥平面A5.【答案】B

【解析】解：如圖所示，畫(huà)出圓臺(tái)的立體圖形和軸截面平面圖形，并延長(zhǎng)

EC

與FD交于點(diǎn)G．

根據(jù)題意，AB=18cm，CD=9cm，AC=18cm，EC=6cm，

設(shè)

CG=xcm，E6.【答案】C

【解析】解：若直線a，b為異面直線，則過(guò)直線a與直線b平行的平面有且僅有一個(gè)，故A錯(cuò)誤；

若直線m與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，則直線m與平面α平行或m?α，故B錯(cuò)誤；

若平面α//平面β，直線a?α，點(diǎn)M∈β，則過(guò)直線a與點(diǎn)M可確定平面γ，設(shè)γ∩β=b，

則b為過(guò)點(diǎn)M的唯一一條與直線a平行的直線，故C正確；

若直線l⊥平面α，則過(guò)直線l7.【答案】A

【解析】解：取C1D1的中點(diǎn)Q，連接PQ，B1D1，則PQ//B1D1,PQ=12B1D1，

又BD//B1D1，則PQ//BD，又根據(jù)正四棱臺(tái)的性質(zhì)得DQ=BP，

則BDQP為等腰梯形，即過(guò)B，D，P三點(diǎn)截面為等腰梯形BDQP．

取BC的中點(diǎn)M，連接MP，

在等腰梯形B1C1CB中，8.【答案】D

【解析】解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

A1(0,0,2)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，E(0,2,0)，

設(shè)三棱錐A1?CDE外接球的球心為O(x,y,z9.【答案】BC【解析】解：球半徑為R，圓柱側(cè)面積為2πR?2R=4πR2，A錯(cuò)誤；

圓錐側(cè)面積為πR?5R=5πR2，B正確；

球的表面積為4πR2，C正確；

10.【答案】AC【解析】解：對(duì)于A：如圖，由題意得△BAE，△BEC，△BCF，△BFA為正三角形，

則四邊形AECF為正方形，故AE//CF，故A正確；

對(duì)于B：取AB中點(diǎn)為M，在△BAE，△BAF中，

又EM⊥AB，F(xiàn)M⊥AB，平面ABE∩平面ABF=AB，EM?平面ABE，F(xiàn)M?平面ABF，

則∠EMF為二面角E?AB?F的平面角，

又EM=FM=3，EF=22，則∠EMF≠90°，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：由題意得四棱錐E?ABCD、四棱錐F?ABCD均為正四棱柱，

連接EF，AC交點(diǎn)為正方形ABCD的中心，則EF⊥平面ABCD，

即∠EAC為直線EA與平面ABCD所成的角，

又EA=EC11.【答案】AC【解析】解：因?yàn)镺為底面ABCD的中心，

所以O(shè)為BD和AC的中點(diǎn)，則O∈BD，O∈AC，

因?yàn)锽D?平面A1BD，AC?平面ACC1A1，

所以O(shè)∈平面A1BD，O∈平面ACC1A1，

所以點(diǎn)O是平面A1BD與平面ACC1A1的公共點(diǎn)；

顯然A1是平面A1BD與平面ACC1A1的公共點(diǎn)；

因?yàn)锳C1交平面A1BD于點(diǎn)E，AC1?平面ACC1A1，

所以E也是平面A1BD與平面ACC1A1的公共點(diǎn)，

所以A1，E，O三點(diǎn)都在平面A1BD與平面ACC1A1的交線上，

即A1，E，O三點(diǎn)共線，故A正確；

因?yàn)镃1C⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

所以BD⊥C1C，

又BD⊥AC，AC?C1C=C，AC，C1C?平面ACC1A1，

所以BD⊥平面ACC1A1，

又AC1?平面ACC1A1，

所以BD⊥AC1，即異面直線BD與AC1所成的角為90°，故B不正確；

根據(jù)證明BD⊥AC1的方法，同理可得AC1⊥A1B，

因?yàn)锽D?A1B=B，BD，A1B?平面A1BD，

所以AC1⊥平面A12.【答案】AC【解析】解：對(duì)于A，如圖，取B1C1的中點(diǎn)P，連接PE，取PE的中點(diǎn)Q，連接A1Q，

則A1F//EQ，A1F=EQ，

所以四邊形A1FEQ是平行四邊形，所以EF//A1Q，

又因A1G∩A1Q=A1，所以直線A1G，EF是異面直線，故A正確；

對(duì)于B，如圖，延長(zhǎng)C1M，CB交于點(diǎn)H，連接HD交AB點(diǎn)N，連接MN，AB1，

因?yàn)锽B1//CC1，M為BB1的中點(diǎn)，則BM=12CC1，

所以B為HC的中點(diǎn)，

因?yàn)锳B//CD，所以N為AB的中點(diǎn)，則MN//AB1，

因?yàn)锳D//B1C1，AD=B1C1，

所以AB1C1D為平行四邊形，所以AB1//DC1，

所以MN//DC1，

則平面DMC1截正方體所得截面為等腰梯形MNDC1，

在等腰梯形MNDC1中，

DC1=42,MN=22,DN=MC1=25，

則梯形的高為20?2=32，

所以等腰梯形MNDC1的面積為(42+22)×313.【答案】600或120【解析】解：∵空間中兩個(gè)角∠AOB，∠A1O1B1，且OA//O1A1，OB//O1B1，∠AOB=14.【答案】693

【解析】解：在正三棱錐A?BCD中，設(shè)頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影為O，則AO⊥平面BCD，且O為底面△BCD的中心，

連結(jié)DO并延長(zhǎng)，與BC交于點(diǎn)E，則E為BC的中點(diǎn)，

因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為2，所以DE=32×2=3，

故EO=13DE=33,OD=23DE=233，

又側(cè)棱長(zhǎng)AD=3，所以AO=AD2?OD2=32?(233)2=693，

故點(diǎn)A到平面BCD的距離為15.【答案】142

【解析】解：如圖，

圖①中，由題意AB=AB=22，∠BAC=90°，∴BC=2BD=CD=4，

∵BD⊥AD，CD⊥AD，∴∠BDC為二面角B?AD?C的平面角，

即∠16.【答案】π2

【解析】解：分別取BD，CD中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，AE，AF，

由△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，∠BAD=∠CBD=π2，

可得AE⊥BD，EF⊥BD，則∠AEF為二面角A?BD?C的平面角，

又由△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，AB=2，∠BAD=∠CBD=π2，

∴BD=BC=2，AE=EF=1，BF=CF=DF=2，

若四面體ABCD外接球的表面積為8π，可得四面體ABCD外接球的半徑為2，

由CD=22和∠CBD=π217.【答案】解：(1)證明：因?yàn)锽C⊥CD，平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，

所以CD⊥平面ABC，

又AB?平面ABC，

所以CD⊥AB，

又AB⊥AC，AC⊥AB，CD∩AC=C，

所以AB⊥面ACD．

(2)由(1)知AB⊥面ACD，

所以BD在平面ACD內(nèi)的射影為AD，

所以直線BD與平面ACD所成角的為∠【解析】(1)根據(jù)題意可得BC⊥CD，平面ABC⊥平面BCD，又面面垂直的性質(zhì)定理可得CD⊥平面ABC，進(jìn)而可得CD⊥AB，又AB18.【答案】證明：(1)由題知M，N，E三點(diǎn)可確定一個(gè)平面MNE，

N∈平面MNE，N∈β，ME?平面MNE，

可設(shè)平面MNE與平面β的交線為NA，因?yàn)镸E//β，所以ME//NA，

又ME?α，NA?α，故NA//α，

又同理NF//α，NF?β，NA?β，NA?NF=N，所以α//β；

(2)在直線NA取點(diǎn)C，使NC=ME=m，連接EC，F(xiàn)C，

由(1)知NC//ME，得四邊形ME【解析】(1)根據(jù)線面平行得出線線平行，再由面面平行的判定定理得證；

(2)通過(guò)作輔助線得Rt19.【答案】(Ⅰ)證明：連接AC，AC∩BD=H，

∵底面ABCD是平行四邊形，

∴H為BD中點(diǎn)，

∵E是棱AD的中點(diǎn)．

∴在△ABD中，EH//AB，

又∵AB?平面PAB，EH?平面PAB，

∴EH//平面PAB．

同理可證，F(xiàn)H//平面PAB．

又∵EH∩FH=H，EH，F(xiàn)H?面EFH，

∴平面EFH//平面PAB，

∵EF?平面EFH，

∴EF//平面PAB；

(Ⅱ)證明：(i)如圖，連接PE，BE．

∵BA=BD=2，AD=2，PA=PD=5，

∴BE=1，PE=2．

又∵E為AD的中點(diǎn)，

∴BE⊥AD，PE⊥AD，

∴∠PEB即為二面角P?AD?B的平面角，

即∠PEB=60°，∴PB=3．

∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，

∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，

而【解析】本題主要考查空間直線與平面平行的判定定理以及線面角大小的求法，要求熟練掌握相關(guān)的判定定理，屬于拔高題．

(Ⅰ)要證明EF//平面PAB，可以先證明平面EFH//平面PAB，而要證明面面平行則可用面面平行的判定定理來(lái)證；

(Ⅱ)(i)要證明平面PBC⊥平面ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需證P20.【答案】解：(1)證明：如圖所示：連接AD1交A1D于點(diǎn)O，則O為AD1的中點(diǎn)．

由題意可知，四邊形ADD1A1是正方形，

所以A1D⊥AD1．

因?yàn)锳B⊥平面ADD1A1，A1D?平面ADD1A1，

所以AB⊥AD1．

又因?yàn)锳B?平面AD1E，AD1?平面AD1E，AB?AD1=A，

所以A1D⊥平面AD1E，

又D1E?平面AD1E，

所以A1D⊥D1E，即D1E⊥A1D.

(2)存在一點(diǎn)P滿足DPDD1=12時(shí)，使得AP//平面ED1C，

當(dāng)點(diǎn)P滿足DPDD1=12，即P為DD1的中點(diǎn)，

取CD1的中點(diǎn)Q，連接PQ，EQ，

在△DD1C中，PQ//QC且PQ=12DC，

因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，長(zhǎng)方體AC1，

所以AE//DC且AE=12DC，【解析】(1)連接AD1交A1D于點(diǎn)O，則O為AD1的中點(diǎn)，由幾何體的特征結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理可得AB⊥AD1，再由線面垂直的判定定理可得A1D⊥平面AD1E，即可得出答案．

(2)當(dāng)點(diǎn)P滿足DPDD1=12，即P為DD1的中點(diǎn)，取CD1的中點(diǎn)Q，連接PQ，EQ，由三角形中位線定理可得PQ//QC且21.【答案】解：(1)證明：如圖，連接B1C與BC1交于點(diǎn)O，連DO，

在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，

四邊形BCC1B1是菱形，

則O是B1C的中點(diǎn)，又D是AC中點(diǎn)，

即OD為△AB1C的中位線，

所以AB1//DO，

又AB1?平面BDC1