（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）隨機(jī)向量

一、多維隨機(jī)變量二、二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)三、邊緣分布四、二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布下頁多維隨機(jī)變量(向量)及其分布第三章多維隨機(jī)變量(向量)及其分布下頁多維隨機(jī)變量(向量)的概念

例1.對(duì)某作物新品種進(jìn)行指標(biāo)觀察，觀察其產(chǎn)量(X)，品質(zhì)(Y)，抗病力(Z)情況.則(X,Y,Z)為三個(gè)隨機(jī)變量.

例2.對(duì)某市成年男子身體狀況進(jìn)行抽樣調(diào)查，了解身高(X),體重(Y)情況.則(X,Y)為兩個(gè)隨機(jī)變量.

總之，在實(shí)際問題中某些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果經(jīng)常用多個(gè)隨機(jī)變量來描述.

定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω={ω}，X1，X2，…，Xn是定義在Ω上的n個(gè)隨機(jī)變量，稱隨機(jī)變量組

(X1，X2，…，Xn)為定義在Ω上的n維隨機(jī)變量(或n維隨機(jī)向量).下頁第三章多維隨機(jī)變量(向量)及其分布多維隨機(jī)變量(向量)的概念一、二維隨機(jī)向量（X,Y）的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)=P({X≤x}∩{Y≤y})=P{X≤x,Y≤y}F(x,y)表示隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在以(x,y)為頂點(diǎn)，且位于該點(diǎn)左下方的無窮矩形區(qū)域內(nèi)的概率.為二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布函數(shù)，或稱X,Y的聯(lián)合分布函數(shù).下頁yo(x,y)(X,Y)x設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)向量，x,y為兩個(gè)任意實(shí)數(shù),則稱二元函數(shù)1.定義2.幾何意義

對(duì)于任意的x1＜x2，y1＜y2，

P{x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2}=F(x2,y2)－F(x2,y1)－F(x1,y2)+F(x1,y1)

下頁yxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)F(x,y)=P({X≤x}∩{Y≤y})=P{X≤x,Y≤y}為二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布函數(shù)，或稱X,Y的聯(lián)合分布函數(shù).設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)向量，x,y為兩個(gè)任意實(shí)數(shù),則稱二元函數(shù)3.常用計(jì)算公式①

F(x,y)是x和y的單調(diào)不減函數(shù).即

對(duì)于任意固定的y，當(dāng)x1＜x2時(shí)，F(xiàn)(x1

,y)≤F(x2

,y)，對(duì)于任意固定的x，當(dāng)y1＜y2時(shí)，F(xiàn)(x,y1)≤F(x,y2).②0≤F(x,y)≤1,F(-∞，-∞)=0，F(xiàn)(+∞，+∞)=1，對(duì)任意固定的y，F(xiàn)(-∞，y)=0，對(duì)任意固定的x，F(xiàn)(x，-∞)=0.③F(x,y)關(guān)于x右連續(xù)，關(guān)于y也是右連續(xù)的，即

F(x+0,y)=F(x,y)，F(xiàn)(x,y+0)=F(x,y).④對(duì)于任意的x1＜x2,y1＜y2有下列不等式

F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)≥0.4.F(x,y)的基本性質(zhì)下頁二、二維離散型隨機(jī)向量的概率分布

若（X,Y）的所有可能取值為（xi,yj），i,j=1,2,…；且取這些值時(shí)的概率表示為

pij=P{X=xi

,Y=yj},i,j=1,2,…，則稱這一列式子為（X,Y）的聯(lián)合概率分布或聯(lián)合分布律.①pij≥0，i,j=1,2,…;②下頁1.定義

若隨機(jī)向量（X,Y）所有可能取值只有限對(duì)或可列多對(duì)時(shí),則稱（X,Y）為二維離散型隨機(jī)向量.2.（X,Y）的聯(lián)合分布列(律)3.聯(lián)合分布(律)的性質(zhì)4.（X,Y）的聯(lián)合分布(律)常用表示形式5.（X,Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為其中和式是對(duì)一切滿足xi≤x，yj≤y的i,j求和.

y1

y2…yj…x1

p11

p12…p

1j

…x2p21

p22…p

2j

…

：：：：

xi

pi1

pi2…pij

…

：：：：XY下頁（i=0,1,2;j=0,1,2;且i+j≤2）下頁

例1.

設(shè)袋中共有3紅2藍(lán)4白球，現(xiàn)從中任取2只，以X,Y記錄取得的紅、藍(lán)色球數(shù)，求解下列問題.①求(X,Y)的聯(lián)合分布---解法1（不推薦）解:

令X表示取出的紅球數(shù)，Y表示取出的藍(lán)球數(shù)，則(X,Y)所有可能取值為（0,0）,（0,1）,（0,2),（1,0）,（1,1）,（2,0），依古典概型得解:

令X表示取出的紅球數(shù)，Y表示取出的藍(lán)球數(shù)，則①求(X,Y)的聯(lián)合分布---解法2（通常解法）X可能取的值為0,1,2；

Y可能取的值為0,1,2.

Y012X01020

0依古典概型得…所以（X,Y）的聯(lián)合分布律為下頁

例1.

設(shè)袋中共有3紅2藍(lán)4白球，現(xiàn)從中任取2只，以X,Y記錄取得的紅、藍(lán)色球數(shù)，求解下列問題.②P{X+Y=1}③P{X+Y≤1}④P{X=0}=P{X=1，Y=0}+P{X=0，Y=1}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=2}=5/12.下頁

Y012X010200=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=1}=1/3+2/9=5/9.=1/6+1/3+2/9=13/18.=P{X=0，Y<+∞}三、二維連續(xù)型隨機(jī)向量的概率分布則稱（X,Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)向量，f(x,y)為（X,Y）的（聯(lián)合）概率密度，或（聯(lián)合）分布密度.

設(shè)（X,Y）的分布函數(shù)為F(x,y)，如果存在非負(fù)可積函數(shù)

f(x,y)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y有z=f(x,y)示意圖下頁f(x,y)1.定義2.概率密度f(x,y)的性質(zhì)①f（x,y）≥0;③若f(x,y)在（x,y）處連續(xù)則有

f(x,y)=④點(diǎn)(X,Y)落在xoy的平面區(qū)域D內(nèi)的概率為下頁例2.

已知二維連續(xù)型隨機(jī)向量（X,Y）的聯(lián)合概率密度，解:①由聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)知計(jì)算得求：①

k；②

F(x,y)；③

P{0<X<1,0<Y<1}；④

P{X+Y≤1}.下頁從而得k=1.解:②記D={（x,y）|0＜x＜1,0＜y＜1}，則下頁例2.

已知二維連續(xù)型隨機(jī)向量（X,Y）的聯(lián)合概率密度，求：①

k；②

P{0<X<1,0<Y<1}

；③

P{X+Y≤1}

；④

F(x,y).011解:③記D={（x,y）|x+y≤1}，則有下頁x+y=1例2.

已知二維連續(xù)型隨機(jī)向量（X,Y）的聯(lián)合概率密度，求：①

k；②

F(x,y)；③

P{0<X<1,0<Y<1}；④

P{X+Y≤1}.下頁解:④所以聯(lián)合分布函數(shù)為例2.

已知二維連續(xù)型隨機(jī)向量（X,Y）的聯(lián)合概率密度，求：①

k；②

F(x,y)；③

P{0<X<1,0<Y<1}；④

P{X+Y≤1}.ovux(x

,y)yx(x

,y)yx(x

,y)yx(x

,y)y當(dāng)x>0,y>0時(shí)，例3.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的密度函數(shù)為

下頁解:011(1)當(dāng)0≤x≤1,0≤y≤1時(shí),(2)當(dāng)0≤x≤1,y>1時(shí),(3)當(dāng)x>1,0≤y≤1時(shí),下頁011(x,y)011(x,y)011(x,y)(4)當(dāng)x>1,y>1時(shí),(5)其它情況時(shí),即下頁011(x,y)四、兩個(gè)重要分布1.均勻分布則稱隨機(jī)向量(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布.②若區(qū)域D內(nèi)任一部分區(qū)域D1，其面積為A1，則有下頁①設(shè)平面區(qū)D的面積為A,若隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度為

其中m1,m2,s1,s2,r均為常數(shù)，且s1＞0,s2＞0，|r|＜1，則稱(X,Y)服從參數(shù)為m1,m2,s1,s2,r的二維正態(tài)分布，記作（X,Y）~N(m1,m2,s12,s22,r).2.二維正態(tài)分布下頁