《二次函數(shù)與一元二次方程》PPT-滬科版課件

21.3二次函數(shù)與一元二次方程第21章

二次函數(shù)與反比例函數(shù)第1課時(shí)

二次函數(shù)與一元二次方程間的關(guān)系逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系課時(shí)導(dǎo)入復(fù)習(xí)提問

引出問題復(fù)習(xí)提問引出問題以前我們從一次函數(shù)的角度看一元一次方程，認(rèn)識(shí)了一次函數(shù)與一元一次方程的聯(lián)系．本節(jié)我們從二次函數(shù)的角度看一元二次方程，認(rèn)識(shí)二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系．先來看下面的問題．二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)知1－導(dǎo)感悟新知11.當(dāng)拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的y值為0時(shí)，就得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，拋物線與x軸是否有公共點(diǎn)取決于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情況．(1)當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，拋物

線與x軸有2個(gè)公共點(diǎn)；(2)當(dāng)b2－4ac＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線

與x軸有1個(gè)公共點(diǎn)；知1－導(dǎo)感悟新知

(3)當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸沒有公共點(diǎn)．反之亦成立．2.拓展：如果二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)A(m，0)，B(n，0)，令其中Δ＝b2－4ac.此時(shí)A，B兩點(diǎn)間的距離我們把叫做拋物線y＝

ax2＋bx＋c在x軸上的截距．

求拋物線y＝3x2－8x＋4與x軸的兩個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)．導(dǎo)引：要求拋物線y＝3x2－8x＋4與x軸的公共點(diǎn)的坐標(biāo)，需求y＝0時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值．可令y＝0，根據(jù)3x2－8x＋4＝0的根來確定拋物線與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

解：令y＝0，則3x2－8x＋4＝0，解方程得x1＝,x2＝2.∴拋物線y＝3x2－8x＋4與x軸的兩個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，(2，0)．知1－練感悟新知例11．小蘭畫了一個(gè)函數(shù)y＝x2＋ax＋b的圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(

)A．無解B．x＝1C．x＝－4D．x＝－1或x＝4知1－練感悟新知D拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系知2－導(dǎo)感悟新知知識(shí)點(diǎn)2二次函數(shù)y=x2+x-2,y=x2-6x+9,y=x2–x+1的圖象如圖所示.知2－導(dǎo)感悟新知(1)每個(gè)圖象與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)？(2)一元二次方程

x2+x-2=0,x2-6x+9=0有幾個(gè)根?

驗(yàn)證一下一元二次方程x2–x+1=0有根嗎?(3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關(guān)系?知2－導(dǎo)感悟新知（1）2個(gè)，1個(gè)，0個(gè).（2）2個(gè)根，2個(gè)相等的根，無實(shí)數(shù)根.（3）二次函數(shù)y=x2+x-2y=x2-6x+9y=x2-x+1與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)(-2,0),(1,0)(3,0)無交點(diǎn)相應(yīng)方程的根x1=-2,x2=1x1=x2=3無實(shí)根解：知2－導(dǎo)感悟新知

(1)根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸的公共點(diǎn)情況，可以判斷一

元二次方程的根的情況；反之，根據(jù)一元二次方程的

根的情況，可以判斷二次函數(shù)的圖象與x軸的公共點(diǎn)的情況．(2)拓展：一元二次方程的根的情況由根的判別式?jīng)Q定，而當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，兩公共點(diǎn)間的距離為，并且兩公共點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱．知2－練感悟新知例2

若拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，且過點(diǎn)A(m，n)，B(m＋6，n)，則n＝____．

9知2－練感悟新知導(dǎo)引：∵拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，y＝0，且b2－4c＝0，即b2＝4c.又∵拋物線過點(diǎn)A(m，n)，B(m＋6，n)，點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱,∴將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，得∵b2＝4c，∴知2－練感悟新知1．拋物線y＝－x2＋4x－4與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

)A．0B．1C．2D．3C

已知二次函數(shù)y＝2x2－(m＋1)x＋m－1.(1)求證：不論m為何值，函數(shù)的圖象與x軸總有公共點(diǎn)，并指出當(dāng)m為何值時(shí)，只有一個(gè)公共點(diǎn)．(2)當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)？(3)在(2)的圖象中，求出y＜0時(shí)x的取值范圍及y＞0時(shí)x的取值范圍．

導(dǎo)引：要說明二次函數(shù)的圖象與x軸總有公共點(diǎn)，只要

說明Δ＝b2－4ac≥0即可．知2－練感悟新知例3知2－練感悟新知

(1)證明：b2－4ac＝[－(m＋1)]2－4×2(m－1)＝m2＋2m＋1－8m＋8＝m2－6m＋9＝(m－3)2.顯然不論m為何值，總有b2－4ac＝(m－3)2≥0，且當(dāng)m＝3時(shí)，b2－4ac＝0.故不論m為何值，拋物線與x軸總有公共點(diǎn)，且當(dāng)m＝3時(shí)，只有一個(gè)公共點(diǎn)．(2)解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)(0，0)，∴0＝2×02－(m＋1)×0＋m－1，∴m＝1.即當(dāng)m＝1時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)．(本問也可直接由m－1＝0得出)知2－練感悟新知

(3)解：由(2)得y＝2x2－2x，其圖象如圖所示．∵拋物線與x軸的兩個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，0)，(1，0)，∴當(dāng)y＜0時(shí)，0＜x＜1；當(dāng)y＞0時(shí)，x＜0或x＞1.知2－講感悟新知圖象函數(shù)值自變量的取值(范圍)

y＞0x＜x1或x＞x2

y＝0x＝x1或x＝x2y＜0x1＜x＜x2

y＞0x1＜x＜x2y＝0x＝x1或x＝x2y＜0x＜x1或x＞x2課堂小結(jié)Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的圖象ax2+bx+c=0(a>0)的實(shí)根方程無實(shí)數(shù)根零點(diǎn)無零點(diǎn)21.3二次函數(shù)與一元二次方程第21章

二次函數(shù)與反比例函數(shù)第2課時(shí)

閱讀與思考——由二次函

數(shù)的圖象認(rèn)識(shí)一元二次

不等式的解集

逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2利用二次函數(shù)的圖象解一元二次方程利用二次函數(shù)的圖象解一元二次不

等式課時(shí)導(dǎo)入復(fù)習(xí)提問

引出問題復(fù)習(xí)提問引出問題我們已經(jīng)知道，二次函數(shù)與一元二次方程有著緊密聯(lián)系，我們是否可以利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根呢？利用二次函數(shù)的圖象解一元二次方程知識(shí)點(diǎn)知1－導(dǎo)感悟新知1

觀察：觀察右圖，說一說二次函數(shù)y＝x2＋3x＋2的圖象與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)？交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與一元二次方程x2＋3x＋2＝0的根有什么關(guān)系？知1－導(dǎo)感悟新知

由上面的觀察看出，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，當(dāng)Δ＝b2－4ac≥0時(shí)有實(shí)數(shù)根，這個(gè)實(shí)數(shù)根就是對(duì)應(yīng)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c當(dāng)y=0時(shí)自變量x的值，這個(gè)值就是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．由上面可知，我們可以利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根．由于作圖或觀察可能有誤差，由圖象求得的根一般是近似的．

用圖象法求一元二次方程x2＋2x－1＝0的近似解(精確到0.1)．

解：畫出函數(shù)y＝x2＋2x－1的圖象，如圖.由圖象可知，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，一個(gè)在－3和－2之間，另一個(gè)在0和1之間．先求位于－3和－2之間的根．由圖象可估計(jì)這個(gè)根是－2.5或－2.4，利用計(jì)算器進(jìn)行探索，見下表：知1－練感悟新知例1知1－練感悟新知

觀察上表可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x分別?。?.5和－2.4時(shí)，對(duì)應(yīng)的y由正變負(fù)，可見在－2.5與－2.4之間肯定有一個(gè)x使y＝0，即有方程x2＋2x－1＝0的一個(gè)根．題目只要求精確到0.1，這時(shí)取x＝－2.5或x＝－2.4作為根都符合要．x…－2.5－2.4…y…0.25－0.04…知1－練感悟新知但當(dāng)x＝－2.4時(shí)，y＝－0.04比y＝0.25(x＝－2.5)更接近0，故選x＝－2.4.因而，方程x2＋2x－1＝0在－3和－2之間精確到0.1的根為x＝－2.4.1．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為(

)A．x1＝1，x2＝－3B．x1＝x2＝－1C．x1＝x2＝3D．x1＝－1，x2＝3知1－練感悟新知D利用二次函數(shù)的圖象解一元二次不等式知2－練感悟新知知識(shí)點(diǎn)2

畫出拋物線y=-x2+4x+5，觀察拋物線，回答下列問題：（1）x為何值時(shí)，函數(shù)值y>0？（2）x為何值時(shí)，函數(shù)值y=0？（3）x為何值時(shí)，函數(shù)值y<0？例2知2－練感悟新知知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)引：求一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集，先畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的圖象，求該圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后結(jié)合圖象，找出函數(shù)值y大于0的部分對(duì)應(yīng)的x的取值范圍，即為不等式ax2+bx+c>0的解集.知2－練感悟新知解：

∵y=-x2+4x+5=-（x2-4x）+5=-（x2-4x+4）+9=-（x-2）2+9，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9），對(duì)稱軸為直線x=2.令-x2+4x+5=0，即x2-4x-5=0，∴x1=5，x2=-1，∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（-1，0），（5，0）.令x=0，則y=5，即拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，5）.由拋物線的對(duì)稱性知拋物線上與點(diǎn)（0，5）關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)為（4，5）.知2－練感悟新知在坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)，并連線得到如圖所示的拋物線.觀察拋物線發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)-1<x<5時(shí)，函數(shù)值y>0；（2）當(dāng)x=-1或