一輪復習 7 平面解析幾何

[歸納·知識整合]1．直線的傾斜角與斜率

(1)直線的傾斜角①一個前提：直線l與x軸

；一個基準：取

作為基準；兩個方向：x軸正方向與直線l向上的方向．②當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定：它的傾斜角為

.③傾斜角的取值范圍為

．

(2)直線的斜率①定義：若直線的傾斜角θ不是90°，則斜率k=

.②計算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)確定的直線不垂直于x軸，則k＝.相交x軸0°[0，π)tanα[探究]

1.直線的傾角θ越大，斜率k就越大，這種說法正確嗎？2．兩條直線的斜率與它們平行、垂直的關系[探究]

2.兩條直線l1，l2垂直的充要條件是斜率之積為－1，這句話正確嗎？

提示：不正確，當一條直線與x軸平行，另一條與y軸平行時，兩直線垂直，但一條直線斜率不存在．3．直線方程的幾種形式名稱條件方程適用范圍點斜式斜率k與點(x0，y0)_______________不含直線x＝x0斜截式斜率k與截距b___________不含垂直于x軸的直線y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b名稱條件方程適用范圍兩點式兩點(x1，y1)，(x2，y2)不含直線x＝x1(x1＝x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1＝y(tǒng)2)截距式截距a與b不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式平面直角坐標系內的直線都適用Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)[自測·牛刀小試]1．(教材習題改編)若直線x＝2的傾斜角為α，則α(

)答案：C

2．(教材習題改編)過點M(－2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為

(

)A．1

B．4C．1或3 D．1或4答案：A

3．過兩點(0,3)，(2,1)的直線方程為

(

)A．x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0C．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0答案：B

4．直線l的傾斜角為30°，若直線l1∥l，則直線l1的斜率k1＝________；若直線l2⊥l，則直線l2的斜率k2＝________.5．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三點共線，則x等于________．答案：－36．若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標為(1，－1)，則直線l的斜率為(

)答案：B

直線的平行與垂直的判斷及應用3．已知l1的傾斜角為45°，l2經過點P(－2，－1)，Q(3，m)，若l1⊥l2，則實數(shù)m＝________.答案：－64．已知過點A(－2，m)，B(m,4)的直線與直線2x＋y－1＝0平行，則m的值為________．答案：－8易誤警示——有關直線方程中“極端”情況的易誤點[典例]

(2013·常州模擬)過點P(－2,3)且在兩坐標軸上的截距相等的直線l的方程為______________________．[答案]

x＋y－1＝0或3x＋2y＝01．因忽略截距為“0”的情況，導致求解時漏掉直線方程3x＋2y＝0而致錯．所以，可以借助幾何法先判斷，再求解，避免漏解．

2．在選用直線方程時，常易忽視的情況還有：

(1)選用點斜式與斜截式時忽視斜率不存在的情況；

(2)選用兩點式方程時忽視與x軸垂直的情況及與y軸垂直的情況．[歸納·知識整合]交點坐標(1)若方程組有唯一解，則兩條直線

，此解就是

；相交交點的坐標(2)若方程組無解，則兩條直線

，此時兩條直線

，反之，亦成立．無公共點平行[探究]

1.如何用兩直線的交點判斷兩直線的位置關系？提示：當兩條直線有一個交點時，兩直線相交；沒有交點時，兩條直線平行，有無數(shù)個交點時，兩條直線重合．2．距離點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝

點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝[探究]

1.使用點到直線的距離公式和兩條平行線間的距離公式時應注意什么？

提示：使用點到直線距離公式時要注意將直線方程化為一般式．使用兩條平行線間距離公式時，要將兩直線方程化為一般式且x、y的系數(shù)對應相等．[自測·牛刀小試]1．(教材習題改編)原點到直線x＋2y－5＝0的距離是(

)答案：D

2．點A在x軸上，點B在y軸上，線段AB的中點M的坐標是(3,4)，則AB的長為

(

)A．10 B．5C．8 D．6解析：設A(a,0)，B(0，b)，則a＝6，b＝8，即A(6,0)，B(0,8)．答案：A

答案：B

3．若三條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一點，則b＝

(

)答案：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝05．點(2,3)關于直線x＋y＋1＝0的對稱點是________．答案：(－4，－3)

[例1]

經過直線l1：x＋y＋1＝0與直線l2：x－y＋3＝0的交點P，且與直線l3：2x－y＋2＝0垂直的直線l的方程是________．[歸納·知識整合]1．圓的定義

(1)在平面內，到

的距離等于

的點的軌跡叫做圓．

(2)確定一個圓的要素是

和

．定點定長圓心半徑2．圓的方程(1)標準方程①兩個條件：圓心(a，b)，

；②標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.半徑r(2)圓的一般方程①一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；②方程表示圓的充要條件為：

；③圓心坐標，半徑r＝.D2＋E2－4F>0[探究]

1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圓嗎？

提示：不一定．只有當D2＋E2－4F>0時，上述方程才表示圓．2．如何實現(xiàn)圓的一般方程與標準方程的互化？

提示：一般方程與標準方程互化，可用下圖表示：3．點與圓的位置關系(1)理論依據(jù)：

與

的距離與半徑的大小關系．(2)三個結論圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點M(x0，y0)①

?點在圓上；②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?點在圓外；③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?點在圓內．點圓心(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2[自測·牛刀小試]1．(教材習題改編)圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標是

(

)A．(2,3)

B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析：圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圓心坐標是(2，－3)．答案：D

2．已知方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示一個圓，則實數(shù)k的取值范圍是

(

)A．－1<k<4 B．－4<k<1C．k<－4或k>1 D．k<－1或k>4解析：由(2k)2＋42－4(3k＋8)＝4(k2－3k－4)>0，解得k<－1或k>4.答案：D

答案：A3．若點(2a，a＋1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內部，則a的取值范圍是

(

)解析：∵點(2a，a＋1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內部，∴(2a)2＋a2<5，解得－1<a<1.4．以線段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)為直徑的圓的方程為

(

)A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝8答案：B

5．(教材習題改編)經過圓(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圓心，且與直線2x＋y＝0垂直的直線方程是______________．答案：x－2y－3＝0求圓的方程[例1]

(1)經過點A(5,2)，B(3，－2)，且圓心在直線2x－y－3＝0上的圓的方程為______________．

(2)已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為________．[答案]

(1)x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)

(2)(x＋1)2＋y2＝21．求下列圓的方程：(1)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)；(2)過三點A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．2．已知點M(1,0)是圓C：x2＋y2－4x－2y＝0內的一點，那么過點M的最短弦所在直線的方程是________．答案：x＋y－1＝0[歸納·知識整合]1．直線與圓的位置關系設直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，設d為圓心(a，b)到直線l的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ.方法位置關系幾何法代數(shù)法相交相切相離d<rΔ>0d＝rΔ＝0d>rΔ<0[探究]

1.在求過一定點的圓的切線方程時，應注意什么？

提示：應首先判斷定點與圓的位置關系，若點在圓上，則該點為切點，切線只有一條；若點在圓外，切線應有兩條；若點在圓內，則切線不存在．方法位置關系幾何法：圓心距d與r1，r2的關系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況相離________________相外切______________________相交__________________________________相內切___________________________內含_________________________d>r1＋r2無解d＝r1＋r2一組實數(shù)解|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實數(shù)解d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實數(shù)解0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無解[探究]

2.若兩圓相交時，公共弦所在直線方程與兩圓的方程有何關系？

提示：兩圓的方程作差，消去二次項得到關于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直線方程．[自測·牛刀小試]答案：A

1．直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關系是

(

)A．相交B．相切C．相離

D．不確定2．(2012·山東高考)圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關系為

(

)A．內切

B．相交C．外切

D．相離答案：B

答案：A

答案：D

4．已知圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2－6x＋6y＋14＝0關于直線l對稱，則直線l的方程是

(

)A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝05．(2012·重慶高考)設A，B為直線y＝x與圓x2＋y2＝1的兩個交點，則|AB|＝

(

)解析：因為直線y＝x過圓x2＋y2＝1的圓心(0,0)，所以所得弦長|AB|＝2.答案：D

1．直線l：y－1＝k(x－1)和圓x2＋y2－2y－3＝0的位置關系是________．解析：將x2＋y2－2y－3＝0化為x2＋(y－1)2＝4.由于直線l過定點(1,1)，且由于12＋(1－1)2＝1<4，即直線過圓內一點，從而直線l與圓相交．答案：相交有關圓的弦長問題

[例2](2012·北京高考)直線y＝x被圓x2＋(y－2)2＝4截得的弦長為________．—————————————————求圓的弦長的常用方法答案：D

5．已知點M(3,1)，直線ax－y＋4＝0及圓(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過M點的圓的切線方程；(2)若直線ax－y＋4＝0與圓相切，求a的值．解：(1)圓心C(1,2)，半徑為r＝2，當直線的斜率不存在時，方程為x＝3.由圓心C(1,2)到直線x＝3的距離d＝3－1＝2＝r知，此時，直線與圓相切．當直線的斜率存在時，設方程為y－1＝k(x－3)，[歸納·知識整合]1．橢圓的定義

(1)滿足以下條件的點的軌跡是橢圓①在平面內；②與兩個定點F1、F2的距離之

等于常數(shù)；③常數(shù)大于

.(2)焦點：兩定點．

(3)焦距：兩

間的距離．

[探究]

1.在橢圓的定義中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，則動點的軌跡如何？

提示：當2a＝|F1F2|時動點的軌跡是線段F1F2；當2a<|F1F2|時，動點的軌跡是不存在的．和|F1F2|焦點2．橢圓的標準方程和幾何性質－aa－bbb－bax軸、y軸(0,0)－a(－a,0)(a,0)(0，－b)(0，b)(0，－a)(0，a)(－b,0)(b,0)2a2b2c(0,1)a2－b2[探究]

2.橢圓離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關系？[自測·牛刀小試]答案：D

答案：AA．6 B．5C．4 D．3解析：根據(jù)橢圓定義，知△AF1B的周長為4a＝16，故所求的第三邊的長度為16－10＝6.3．橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為

(

)答案：A

答案：C

答案：4橢圓的定義、標準方程答案：3答案：B

[歸納·知識整合]1．拋物線的定義滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線：

(1)在平面內；

(2)動點到定點F距離與到定直線l的距離

；

(3)定點

定直線上．

[探究]

1.當定點F在定直線l上時，動點的軌跡是什么圖形？

提示：當定點F在定直線l上時，動點的軌跡是過定點F且與直線l垂直的直線．相等不在2．拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點M(x0，y0)到焦點F的距離與點M的橫坐標x0有何關系？若拋物線方程為x2＝2py(p>0)，結果如何？2．拋物線的標準方程和幾何性質標準方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形1[自測·牛刀小試]1．設拋物線的頂點在原點，準線方程為x＝－2，則拋物線的方程是

(

)A．y2＝－8x

B．y2＝－4xC．y2＝8x D．y2＝4x解析：拋物線準線方程為x＝－2知p＝4，且開口向右，故拋物線方程為y2＝8x.答案：C

2．已知d為拋物線y＝2px2(p>0)的焦點到準線的距離，則pd等于

(

)答案:D

4．若點(3,1)是拋物線y2＝2px的一條弦的中心，且這條弦所在直線的斜率為2，則p＝________.答案：21．(1)若點P到直線y＝－1的距離比它到點(0,3)的距離小2，則點P的軌跡方程是________．

(2)過拋物線y2＝4x的焦點作直線l交拋物線于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標為3，則|AB|等于_______．解析：(1)由題意可知點P到直線y＝－3的距離等于它到點(0,3)的距離，故點P的軌跡是以點(0,3)為焦點，以y＝－3為準線的拋物線，且p＝6，所以其標準方程為x2＝12y.(2)拋物線的準線方程為x＝－1，則AB中點到準線的距離為3－(－1)＝4.由拋物線的定義得|AB|＝8.答案：(1)x2＝12y

(2)8拋物線的標準方程與性質[例2]

(1)拋物線y2＝24ax(a>0)上有一點M，它的橫坐標是3，它到焦點的距離是5，則拋物線的方程為(

)A．y2＝8x

B．y2＝12xC．y2＝16x D．y2＝20x(2)設拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點A(0,2)．若線段FA的中點B在拋物線上，則B到該拋物線準線的距離為________．2．已知直線l過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|＝12，P為C的準線上一點，則△ABP的面積為

(

)A．18B．24C．36D．48答案：C

3．已知直線y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A，B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若|FA|＝2|FB|，求k的值．

[典例]

(2012·陜西高考)右圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬____________米．1．拋物線y＝x2上一點到直線2x－y－4＝0的距離最短的點的坐標是

(

)3．如圖，直線l：y＝x＋b與拋物線C：x2＝4y相切于點為A.(1)求實數(shù)b的值；(2)求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程．(2)由(1)知b＝－1，方程(*)為x2－