圓的標準方程+課件-2023-2024學年高二上學期數(shù)學人教A版(2019)選擇性必修第一冊

2.4圓的方程

多邊形和圓是平面幾何中的兩類基本圖形.建立直線的方程后,我們可以運用它研究多邊形這些“直線形”,解決邊所在直線的平行或垂直、邊與邊的交點以及點到線段所在直線的距離等問題.類似地，為了研究圓的有關性質(zhì),解決與圓有關的問題,我們首先需要建立圓的方程.2.4.1

圓的標準方程

類似于直線方程的建立過程，為建立圓的方程，我們首先考慮確定一個圓的幾何要素.

在平面直角坐標系中，如果一個圓的圓心坐標和半徑確定了，圓就唯一確定了．由此，我們可以建立圓上點的坐標應滿足的關系式,進而得到圓的方程.

你還記得圓的定義嗎？

在平面直角坐標系中，如何確定一個圓呢?

平面內(nèi),與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)是圓.定點就是圓心,定長就是半徑.一、探究新知一、探究新知

如右圖，在平面直角坐標系中，⊙A的圓心A的坐標為(a，b)，半徑為r,M(x,y)為圓上任意一點,⊙A就是以下點的集合P={M||MA|=r}

根據(jù)兩點間的距離公式,點M的坐標(x，y)滿足的條件可以表示為兩邊平方，得(x-a)2+(y-b)2=r2

由上述過程可知,若點M(x，y)在⊙A上，點M的坐標就滿足方程(1);

反過來,若點M的坐標(x，y)滿足上面方程，就說明點M與圓心A間的距離為r，點M就在⊙A上.二、圓的標準方程

圓的標準方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(2)確定圓的標準方程必須具備三個條件.(1)(a，b)表示圓心坐標,r表示圓的半徑.

圓心在坐標原點，半徑為r的圓的標準方程是什么?x2+y2=r2點與圓的位置關系幾何角度判斷(d表示點到圓心的距離)代數(shù)角度判斷點在圓內(nèi)：點在圓上：點在圓外：三、點與圓的位置關系

點M(x0,y0)在圓x2＋y2=r2內(nèi)的條件是什么?

在圓x2＋y2=r2上的條件是什么?

在圓x2＋y2=r2外的條件是什么?x02+y02=r2x02+y02<r2x02+y02>r2d<rd=rd>r點與圓的位置關系幾何角度判斷(d表示點到圓心的距離)代數(shù)角度判斷點在圓內(nèi)：點在圓上：點在圓外：三、點與圓的位置關系

點M(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2內(nèi)條件是什么?在圓(x-a)2+

(y-b)2=r2上條件是什么?

在圓(x-a)2+(y-b)2=r2外條件是什么?(x0-a)2+(y0-b)2=r2(x0-a)2+(y0-b)2<r2(x0-a)2+(y0-b)2>r2d<rd=rd>r四、典型例題例1

求圓心為A(2，-3)，半徑為5的圓的標準方程，并判斷

點M1(5，-7)、M2(-2，-1)是否在這個圓上.三、典型例題

方法歸納1.求兩條直線的交點坐標，就是將兩條直線的方程聯(lián)立所得的方程組的解.2.在直角坐標系中畫直線時，通常找出直線與兩條坐標軸的交點，然后連接這兩個點.例2△ABC的三個頂點分別是A(5，1),B(7，-3)，C(2，-8)，求

△ABC的外接圓的標準方程.三、典型例題三、典型例題

方法歸納

判斷兩條直線的位置關系，關鍵是看將兩條直線的方程聯(lián)立所得的方程組的解的情況.

解題過程中應注意:

(1)解方程組的一個重要方法是消元法，即先消去一個變量,將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來求解，再將所求得的值代入任意一個方程解出變量的值;

(2)若方程組中含有參數(shù)，則應對其進行分類討論;

(3)一定要將方程組解的情況還原為直線的位置關系.例3

已知圓心為C的圓經(jīng)過A(1，1)、B(2，-2)兩點，且圓心C在直

線l:x-y＋1=0上，求此圓的標準方程.三、典型例題三、典型例題

方法歸納

過兩條直線交點的直線方程的求法:

(1)方程組法:

一般是先解方程組求出交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.

(2)直線系法:

先設出過兩條直線交點的直線方程，再結(jié)合條件，利用待定系數(shù)法求出待定系數(shù)，最后確定直線方程.

常見的直線系：

①與直線l:Ax+By+C=0平行的直線方程為Ax+By十C?=0(其

中C?≠C,C?為待定系數(shù));

②與直線l:Ax+By+C=0垂直的直線方程為Bx-Ay+C?=0(C?為

待定系數(shù));

③若直線l1:A1x+B1y+C1=0與直線l2:A2x+B2y+C2=0相交于點

M(x0,y0)，則方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)

表示過l與l2交點的直線系方程(但不包括直線l2),其中λ

為待定系數(shù).例4求證:不論m取何實數(shù)，直線(2m－1)x－(m+3)y－(m－11)=0

恒過一個定點，并求出此定點的坐標.三、典型例題三、典型例題

方法歸納

解含有參數(shù)的直線過定點問題：

(1)賦值法：給直線中的參數(shù)賦兩個不同的值，得到兩條不同的直線，然后驗證這兩條直線的交點就是題目中含參數(shù)直線所過的定點,從而問題得解.

(2)轉(zhuǎn)化法：將含有一個參數(shù)的二元一次方程變?yōu)殛P于參數(shù)的一元一次方程，則一次項系數(shù)和常數(shù)項為0，解出x、y的值就為定點坐標.

(3)公式法：若整理成y-y0=k(x-x0)的形式，則表示的所有直線必過定點(x0,y0).五、課堂小結(jié)1.圓的標準方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(2)確定圓的標準方程必須具備三個條件.(1)(a，b)表示圓心坐標,r表示圓的半徑.圓心在坐標原點的圓方程為：x2+y2=r2注意五、課堂小結(jié)點與圓的位置關系幾何角度判斷(d表示點到圓心的距離)代數(shù)角度判斷點在圓內(nèi)：點在圓上：點在圓外：2.點M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關系：(x0-a)2+(y0-b)2=r2(x0-a)2+(y0-b)2<r2(x0-a)2+(y0-b)2>r2d<rd=rd>r五、課堂小結(jié)3.圓的標準方程的兩種求法：(1)幾何法：它是利用圖形的幾何性質(zhì),如圓的性質(zhì)等,直接求出圓的圓心和半徑,代入圓的標準方程,從而得到圓的標準方程.(2)待定系數(shù)法：由三個獨立條件得到三個方程,解方程組以得到圓的標準方程中三個參數(shù),從而確定圓的標準方程.它是求圓的方程最常用的方法,一般步驟是:

①設——設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2;